非线性回归方程归类赏析-《中学生数理化》高二数学2026年6月刊

解题篇经典题突破方法 高二数学2026年6月 中学生数理化 非线性凰归方程归类赏标 ■安徽省霍邱县师范学校 王春梅 ■安徽省霍邱县第一中学 余其权 在实际的统计分析中，变量之间的关系 表2 并非总是呈现线性特征，非线性回归方程成 年广告投入/万元 2 3 5 6 为刻画复杂变量关系的重要工具。它通过适 年利润/万元 3 当的变量代换，将非线性问题转化为线性问 估计值y 题求解，是数据分析与预测的核心方法之一。 模型甲 残差e: 下面将对二次函数型、反比例函数型、指数函 估计值 数型、对数函数型四类常见的非线性回归方 模型乙 残差e 程进行归类剖析，结合实例讲解解题思路，并 总结各类模型的应用要点。 ②分别计算模型甲与模型乙的残差平方 类型一、二次函数型经验回归方程 和Q,与Q。,并通过比较Q,,Q。的大小，判 断哪个模型拟合效果更好。 例1为了解某企业生产的某产品的 分析：(1)对于方程甲，设t=(x一1)，则 年利润y与年广告投入x的关系，该企业进 y=t十2.75，根据数据求出t,y,代入方程 行了调查统计，得出相关数据如表1所示。 即可求出：对于方程乙，求出x,y的值，代 表1 人方程，即可求出c。(2)①将数据分别代入 年广告投入/万元 方程甲和方程乙，计算求解，即可完成表格； 年利润/万元 3 ②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和 Q1与Q2,再进行比较。 根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙 两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方 解：(1)对于方程甲，设t=(x一1)2，则y =bt+2.75。 程甲是y=6(x一1)+2.75，方程乙是y= cx-1.6。 ×0+4+9+16+25)1义 (1)求（结果精确到0.01）与c的值。 ×(3+4+6+8+11)=6.4,所以6.4=6× (2)为了评价两种模型的拟合效果，完成 11+2.75,解得6≈0.33。 以下任务。 ①完成表2；（注：e:=y:一y:,e:为对应 对于方程乙，x= 5 ×(2+3+4+5+6) 于点(x:,y:)的残差) =4,所以6.4=c×4-1.6,解得c=2。 17 解题篇经典题突破方法 中学生数理化高数学2026年6月 (2)①经计算，可得表3。 (2)用相关系数判断上述两个模型哪一 表3 个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计 年广告投入/万元 2 3 4 5 6 产量为10千件时每件产品的非原料成本。 年利润/万元 3 6 8 11 参考数据：如表5，其中u,一工，。 1 估计值y 3.084.07 5.72 8.03 11 模型用 表5 残差e: 0.08-0.070.28 -0.03 0 估计值 √0.61×6185.5 e-2 2.44.4 6.4 8.4 10.4 模型乙 残差e, 0.6-0.4 一0.4 -0.4 0.6 183.4 0.340.115 1.53 360 22385. 61.4 0.135 ②Q1=(-0.08)+(-0.07)2+0.28 分析：(1)令u= +(-0.03)2=0.0906。 2 ,则y=a十bu,利用 Q2=0.62×2+(-0.4)×3=1.2。 最小二乘法即可计算回归方程。(2)根据数 因为Q<Q,所以模型甲的拟合效果更好。 据求出相关系数，并通过比较大小得出更优 评注：二次函数型回归模型适用于变量 模型。 呈现二次曲线变化趋势的场景，通过换元法 解：1)令u三，则y=2+ 可转化为 b 将二次关系转化为线性关系是解题的关键。 残差平方和是衡量拟合效果的重要指标，其 y=a十bu。 360 值越小，模型对数据的拟合程度越高。在实 因为y= 8 =45,所以6= 际应用中，需结合数据的变化特征选择合适 的多项式次数，避免过度拟合。 之uy:一8uy i= 183.4-8×0.34×4561 类型二、反比例函数型经验回归方程 之u-8u 1.53-8×0.115 0.61 例2某企业新研发了一种产品，产品 =100,则a=y-6=45-100×0.34=11, 的成本由原料成本及非原料成本组成。每件 所以y=11+100u。 产品的非原料成本y(单位：元)与生产该产 品的数量x(单位：千件)有关，经统计得到如 故y关于x的回归方程为y=11+100 x 表4所示的数据。 (2)y与1 x 的相关系数r2= 表4 1 2 3 4 5 6 7 8 之uy,一8uy 112 6144.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据绘制 111 61 了散点图，如图1所示。 ≈0.99。 0.61×6185.5 由图可知，两个变量 84 75 因为|r1|<|r:|,所以反比例函数模型 不具有线性相关关系，现 的拟合效果更好。 考虑用反比例函数模型y 48 39 30 当x=10时，y=100+11=21. =a十么和指数函数模型 21 10 x 012345678主 所以当产量为10千件时，每件产品的非 y=cer,分别对两个变量 图1 原料成本为21元。 的关系进行拟合。已求得 评注：反比例函数型回归模型常用于变 用指数函数模型拟合的回归方程为y= 量之间呈反比例变化趋势的问题，通过令 96.54er,lny与x的相关系数r1=一0.94。 (1)用反比例函数模型求y关于x的回 =上实现非线性到线性的转化。相关系数的 x 归方程： 绝对值越接近1，变量间的线性相关程度越 18 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年6月 中学生数埋化 高，对应的模型拟合效果越好。此类模型在 分析：(1)y=a·b两边同时取自然对 成本分析、资源消耗等实际问题中应用广泛， 数得lny=-ln(a·br)=lna+xlnb,设lny 需注意自变量不能取0的限制条件。 =o,则v=lna十xlnb,从而将非线性方程 类型三、指数函数型经验回归方程 转化为线性方程，利用题中数据可求得lnb, 例3MCN(多频道网络)是一种新的 lna,可得y关于x的回归方程，进而可预测 网红经济运行模式，这种模式将不同类型和 2026年MCN市场规模。(2)X的可能取值 内容的PGC(专业生产内容)联合起来，在资 为1,2,3，计算出对应的概率，可得分布列， 本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最 再利用期望公式计算期望即可。 终实现商业的稳定变现。以直播电商、短视 解：(1)y=a·b两边同时取自然对数 频为代表的新兴网红经济的崛起，使MCN 得lny=ln(a·b)=lna+xlnb,设lny= 机构的服务需求持续增长。数据显示，近年 o,则0=lna+xlnb。 来MCN市场规模迅速扩大。表6为2019 因为x=3,0=0.84,之x}=55,所以 年一2023年MCN市场规模（单位：百亿元）， 其中2019年一2023年对应的代码依次为 In b= 15.99-5×3×0.84= 1-5。 2x-5x 55-5×3 =1 表6 0.339,则1na=v一x1nb=0.84一3×0.339 年份代码x 2 4 =-0.177。 MCN市场规模y 1.121.68 2.45 3.35 4.32 所以元=-0.177+0.339x,则1ny= -0.177十0.339x,故y关于x的回归方程 (1)由上表数据可知，可用指数函数模型 为y=e0.17+.339z y=a·b拟合y与x的关系，请建立y关于 易知2026年的年份代码是8，故预测 x的回归方程，并预测2026年MCN市场 2026年MCN市场规模为e0.17?+o.3s×#=e2. 规模。 =12.61(百亿元)。 (2)从2019年一2023年MCN市场规模 (2)2019年一2023年MCN市场规模的 中随机抽取3个数据，记这3个数据中与y 5个数据中，与y的差的绝对值小于1的数 的差的绝对值小于1的个数为X,求X的分 据有1.68,2.45,3.35，共3个，所以X的可 布列与数学期望。 能取值为1,2,3。 参考数据：如表7，其中o:=lny:,y P(X=1)= CC3 C 10: 5 12.61,e27=17.71。 P(X=2)= 表7 P(X=3)= C1 C10 2 所以X的分布列如表8所示。 2.580.84 46.83 15.99 表8 参考公式：对于一组数据(u1,o1),(u, 1 2 3 :),…,(un,℃n),其回归直线o=&十Bu的斜 3 3 1 10 5 10 率和截距的最小二乘估计公式分别为3= E(X)=1× 3 10+2× 1 9 u0:一n 5 +3×0= =1 -,a=o-Bu。 评注：指数函数型回归模型适用于变量 ui-nu 呈指数增长或衰减的场景，通过取对数将指 19 解题篇经典题突破方法 中学生数理化离二数学2026年6月 数关系线性化是核心方法。在进行预测时， r1,r2,由题意可得： 需注意年份代码的对应关系，同时结合概率 是(x-x)(y:一y) 统计知识可进一步分析数据的分布特征。此 类模型在经济增长、人口变化、技术扩散等领 域应用广泛。 19.519.5 ≈0.97： 类型四、对数函数型经验回归方程 W403 20.1 例4台州是全国三大电动车生产基 2(y:-y)(o,-0） =1 地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优 势。某电动车公司为了抢占更多的市场份 2(y:-y)产 N=1 额，计划加大广告投入，该公司近5年的年广 8.06 8.06 8.06 =1。 /40.3×1.612 告费x:(单 ◆年销售里/百万辆 所以|r1|<|r2|,则模型②的拟合程度 位：百万元)1 更好。 和年销售量 y:(单位：百 2 年广告费/百万元 (:-o)(y:一y） =1 8.06 万辆)的关系 345 (2)因为n= (,-)2 1.612 如图2所示。 图2 =1 =5,0= 12u,=0.96,y= 1多 令o:=lnx:(i=1,2,…,5),将数据初步处 5= 5y,=8.8,所 理，得到表9。 以m=y-no=8.8-0.96×5=4。 表9 故y=50+4,即y关于x的回归方程为 如 4, y=5lnx+4。 当x=6时，y=5ln6十4≈13。因此当 44 4.8 10 40.3 年广告费为6百万元时，产品的年销售量大 概是13百万辆。 2(,-) 2(y:-y)(u:-u) i= 2x,-x)(y:-) =1 评注：对数函数型回归模型适用于变量 增长速度逐渐放缓的场景，通过换元将对数 1.612 19.5 8.06 关系转化为线性关系。相关系数的计算是判 现有①y=bxr十a和②y=nlnx+m两 断模型拟合效果的关键，绝对值越接近1，拟 种方案作为年销售量y关于年广告费x的回 合效果越好。此类模型在市场营销、销量预 归分析模型，其中a,b,m,n均为常数。 测、资源开发等问题中具有重要应用。 (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模 非线性回归方程是处理复杂变量关系的 型的拟合程度更好？ 重要工具，其核心思想是通过变量代换将非 (2)根据(1)的分析，选取拟合程度更好 线性问题转化为线性问题求解。不同类型的 的回归分析模型及表中数据，求出y关于x 非线性模型适用于不同的数据变化特征，二 的回归方程，并预测年广告费为6百万元时 次函数型适合曲线起伏的趋势，反比例函数 产品的年销售量。 型适合反向变化的关系，指数函数型适合指 参考数据：√40.3×1.612=8.06，√403 数增长或衰减的情形，对数函数型适合增速 ≈20.1，ln6=1.8。 放缓的场景。在实际应用中，需结合数据的 分析：(1)分别求出两种模型的相关系 散点图特征，选择合适的模型，通过相关系 数，再根据相关系数的意义即可得出结论。 数、残差平方和等指标检验拟合效果，从而做 (2)先利用最小二乘法求出y关于x的回归 出准确的分析与预测。 方程，再令x=6,即可得解。 (责任编辑赵待) 解：(1)设模型①和②的相关系数分别为 20