对解含参函数零点问题的一点思考-《中学生数理化》高二数学2026年6月刊

知如篇做新高考名师护擠中学生数理化 高二数学2026年6月 一兴 对解含参函数零点问题的一点思考* ■河北黄骅中学 李河贤 函数零点问题是高中数学的一个重要知 ②若一1≤a≤0，当x∈(0，+∞)时， 识点，特别是与导数知识融合后，涉及函数零 g'(x)=e-2ax>0,所以g(x)在(0，+∞) 点求参数范围问题更是考试的热点。在解决 上单调递增。 这些含参数的函数零点问题时，我们通常把函 因此g(x)>g(0)=1十a≥0，即f'(x) 数∫(x)零点问题转化后解决。下面我们通过 >0,f(x)在(0，十∞)上单调递增。 一道高考题来赏析关于此类问题的几种解法。 因为f(x)>f(0)=0,所以f(x)在(0， 试题：(2022年高考全国乙卷理科第21 十©∞)上没有零点，不符合题意。 题)已知函数f(x)=ln(1十x)+a.xe。 ③若a<-1,当x∈(0，十o∞)时，g'(x)= (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点 e-2ax>0,故g(x)在(0，+∞)上单调递增。 (0,f(0))处的切线方程： 因为g(0)=1十a<0,g(1)=e>0,所以 (2)若f(x)在区间（一1,0），(0，十∞)上 存在m∈(0,1)，使得g(m)=0,即f'(m)=0。 各恰有一个零点，求a的取值范围。 当x∈(0，m时，f'(x)<0,f(x)单调 解析：(1)f(x)的定义域为（一1，十∞）。 递减： 当a=1时，f(x)=ln(1+x)+ 当x∈(m,+∞)时，f'(x)>0,f(x)单 调递增。 易知f(0)=0,所以切点为(0,0)。 当x∈(0m)时，f(x)<f(0)=0。 1+1一工，则f'(0)=2。 f'(x)=1+x+e 当x>+∞时，f(x)+∞。 因此f(x)在(m,十∞)上有唯一零点。 因此该切线的斜率为2。 又f(x)在(0，m)上没有零点，故f(x) 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的 在(0，十∞)上有唯一零点。 切线方程为y=2x。 当x∈(-1,0)时，g(x)=e+a(1-x2), (2)【方法1】直接讨论参数的取值范围， 则g'(x)=e-2a.x,g"(x)=e-2a>0。 分析函数的单调性 故g'(x)在（一1,0）上单调递增。 fx)=1n1+r)+(x>-1D.并且 g'(-1)=1+2a<0,g'(0)=1>0,故 f(0)=0。 存在n∈(-1,0)，使得g'(n)=0。 则f'(x)=，,1 当x∈(-1，n)时，g'(x)<0,g(x)单调 1+x +a1-x) e 递减； e+a(1-x2) 当x∈(n,0)时，g'(x)>0,g(x)单调递 (1+x)e 增，故g(x)<g(0)=1+a<0。 不妨设g(x)=e十a(1一x),则g(0) =a+1。 又g(-1)=1>0,故存在t∈(-1，n). ①若a>0,当x∈(-1,0)时，g(x)= 使得g(t)=0,即f'(t)=0。 e十a(1-x2)>0,即f'(x)>0,所以f(x) 当x∈（一1，t)时，f(x)单调递增；当 在（一1,0）上单调递增。 x∈(t,0)时，f(x)单调递减。 因此f(x)<f(0)=0。 当x>-1时，f(x)>一o∞。 故∫(x)在（一1,0）上没有零点，不符合 而f(0)=0,故当x∈(t,0)时，f(x)>0。 题意。 因此f(x)在（一1，t)上有唯一零点，在(t, 5 中学生数理化智数学年月 知识篇新高考名师护航 0)上无零点，即f(x)在（一1,0）上有唯一零点。 因为P(3-2)= (3-2) +5-2=1- 故a<一1，符 (3-1) 合题意，零点情况 5+-2-5 如图1所示。 -1<0,所以h'(3-2)<0。 故f(x)在区间 西为(-号)=1-1n2>0,所以存在 (一1,0)，(0，十∞) 上各恰有一个零点， x,∈(-1，√-2)，使得h'(x。)=0。 则a的取值范围为 又h'(0)=0,故h(x)在(-1，x。)上单调 图1 (一⊙∞，-1)。 递增，在(x。,0)上单调递减，在(0，十∞)上单 评注：直接讨论参数不同取值下函数 调递增。 f(x)的单调性，结合函数零，点存在定理判断 易知h(0)=0,当x·十o∞时，h(x)→ 函数零点的位置与个数，求得α的取值范围。 十a∞。 解答本题的关键是对α的取值范围进行合理 当x>-1时，h(x)>一∞。 分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边 h(x)的图 不满足即可，肯定要两方面都说明。 像如图2所示。 【方法2】参变量分离，数形结合 存在x1∈ 由f(x)=ln(1+x)+a.xer,得f(0)=0。 (-1,x。),使得 - 若x≠0，则f(x)=0转化为一a=en(1+) h(x1)=0。 因此g(x) 则原问题转化为函数g(x)=en1十z) 在(-1，x1)上 x 单调递减，在 (x>一1，x≠0)的图像与直线y=一a的交点 (x1,0)上单调 图2 问题。 递增，在(0， 令g(x)= 1lm(1十x)(x>-1,x≠0)。 十∞)上单调递增。 x 对g(x)求导可得g'(x)= 由洛必达法则可知当x→0时，g(x)→1。 xerx g(x)的图 [千z+a-1n1+x)] 像如图3所示。 ,x+(x-1)1n(1+x),则 令h(x)=1十x 由图知当 a>1时，满足 h'(x)= +x)+ln(1+x),h”(x)= 曲线y=g(x)与 直线y=一a在 (x-√3+2)(x+√3+2) (-1,0)，(0, (1+x)3 十∞)内各有一 显然h'(x)在（一1，√3一2）上单调递减， 个交点。 图3 在（√3一2，+∞）上单调递增。 综上，符合题意的a的取值范围是 故h'(x)min=h'(V3-2)。 (-0∞，-1)。 易证ln(x十1)≤x。 评注：针对具体问题，分离参数得到类似 x? 因此'（x)=a十)+1n1+x)< a=g(x)的问题，主要研究函数g(x)的单调 性，讨论y=a与y=g（x)图像的交点，即通 (1+x)+x。 常所说的参变量分离问题。但需要式子中的 a能够分离，并且分离后函数g（x)的单调性 令P(x)= (1+x)+x。 和取值易于得到。此题中g(x)的单调性并 知登高考务护背中学生表理化 不容易计算，相对来说比较复杂，此法在考场 -ax,即ln(1+x)=-a2 上并不是最好的选择。 【方法3】转化为“线性与非线性函数图 构造函数g(x)=ln(1十x)与h(x)= 像之间的关系” 令f(x)=0,得到ln(1+x)·e=-a.x。 将原问题转化为函数g(x)=ln(1+ 因为g(0)=h(0)=0,所以两个函数的 x)·e的图像与直线y=一ax的交点问题。 图像必有交点(0,0)。 令g(x)=ln(1+x)·e。 根据g(x)=1n(1+x)与y=。的图像 则gx)=c[千+inx+D] 「1 (略)可知，当一a≤0，即a≥0时不成立。 若0<一a≤1，易证当x∈(0，十∞)时 1 令h(x)=++lnx+1D,则h'(x)= 1n1+x)>x+1° (x+1)29 故h(x)在(-1,0)上单调递减，在(0， 由于0>x+1.则←<十 十∞)上单调递增。 因为x∈(0，十∞)，所以 <千 因为h(0)=1,所以h(x)>0恒成立，即 ln(1十x)。因此，若0<-a≤1，则当x∈(0， g'(x)>0恒成立。 故g(x)在(-1，+∞)上单调递增。 +o)时，二az≤ln(x+1),即y=ln(x 设曲线y=g(x)与直线y=一ax在 (一1，十∞)内的切点为(x。,一ax。),则： 十1)与y=2“无交点，命题不成立。 /ln(1+xo)·e9 以下证明当a<一1时命题成立。 e[+n1+x)]=-a 同方法1。 1+xo 评注：把原函数转化为“非线性函数一非 解得x。=0,a=一1。 线性函数”的形式，进一步讨论两个曲线交，点 此时，如图4所示， g(x)1/y=-ax 方法。此方法主要是两个曲线的形状要判断 曲线y=g(x)与直线 准确，特别是求得的参数范围往往需要证明 y=-a.x在(0，+o∞)内 其充分性。 没有交点，在（一1,0）内 通过以上解法，对于含参函数f(x)零点 有一个交点。 问题我们可以通过几个等价转换来思考解决 所以当a<一1 方法：转化为函数∫(x)的图像与x轴交点问 时，满足曲线y=g(x) 题；转化为f(x)=0的根的问题；转化为a= 与直线y=一ax在 图4 g(x),即y=a与y=g(x)函数图像交点问 (-1,0),(0,十∞)内各有一个交点。 题；转化为g(x)=h(x),研究函数g(x)与 综上，符合题意的a的取值范围是 h(x)的图像交点问题。在学习中，同学们不 (一∞，一1)。 仅要掌握零点的概念，更应体会数学概念的 评注：把原函数转化为“线性函数=非线 本质，深刻理解每一个知识点，探究其核心内 性函数”的形式，进一步讨论两个曲线交，点问 容，探索概念与其他知识的联系，形成知识网 题，通常会涉及切线问题，并且对于非线性函 络。同学们既要掌握基本知识，又要掌握基 数的图像的变化形式要明确。 本解题技能，领悟基本的转化思想，形成基本 【方法4】转化为“两个非线性函数图像 活动经验，形成自已的解题逻辑。 之间的关系” (责任编辑徐利杰) 令f(x)=0,得到ln(1十x)·e=