直击随机变量及其分布中的数学思想-《中学生数理化》高二数学2026年6月刊

中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年6月 直击随机变量及其分布中的数学思想 ■新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学 陈辉 数学解题，贵在数学思想的合理运用，随 机变量及其分布问题也是如此，那么在求解 由图易知，P(X≤30)=P(Y≤34)=2： 这类问题中我们会“邂逅”哪些数学思想呢？ A错误。 结合实例我们一起来探个究竟。 由图易知，P(X≥34)<P(Y≥80)> 一、数形结合思想 1 例1（多选题）甲上学有时坐公交车， 2,所以P(X≥34)<P(Y≥30)，B正确。 有时骑自行车。他分别记录了30次坐公交车 由图易知，P(X≤28)>P(Y≤28)，所以 和30次骑自行车上学所花的时间，经统计数 甲应该选择坐公交车上学，C正确。 据分析得到：坐公交车上学平均用时30min, 由图易知，P(X≤36)>P(Y≤36)，所以 方差为16：骑自行车上学平均用时34min,方 甲应该选择坐公交车上学，D错误。 差为4。假设坐公交车上学用时X和骑自行 故选BC。 车上学用时Y都服从正态分布，则( 点评：本题根据X和Y的正态分布密度 )。 A.P(X≤30)>P(Y≤34) 曲线，直观地看出概率大小。一般地，对于正 B.P(X≥34)<P(Y≥30) 态分布问题可运用数形结合思想，由正态分 C.如果某天上学出发前有28min可用， 布密度曲线的对称性求解答案。 那么甲应选择坐公交车上学 二、函数与方程思想 D.如果某天上学出发前有36min可用， 例2已知随机变量X的分布列如表 那么甲应选择骑自行车上学 1所示，若E(X)=号，则D(X)=( )。 解析：由题意知，X~N(30,4),Y 表1 N(34,2)。图1为X和Y的正态分布密度 -2 0 1 曲线。 3 b 49 8 23 C.27 23 A.81 B.9 D.81 X的密度出线 y的密度曲线 解析：因为E(X)= 3,且各概率之和为 2a+0× +6 1 18222630343842 3, 1 9 1,所以 解得 图1 1 a+3+b=1, b= 14 解腰数曼典题赛壁方清中学生数理化 所以D(x)=号×(-2-）+× 概率关于p的函数，再根据函数特征，利用换 元法，将E(X),D(X)转化为二次函数问题， 0-)+号×1-)-8 进而求出取值范围。一般地，对于随机变量 的期望和方差的最值或取值范围问题，可运 故选B。 用函数思想，将原问题转化为函数的最值或 ,点评：本题利用期望公式与分布列的性 值域问题。 质得到a,b的方程组，从而求得a,b,再利用 三、分类讨论思想 方差公式即可得解。一般地，当题目中含有 参数时，往往可以根据随机变量及其分布的 例4有2n个人围坐在一个圆桌边 相关公式与性质列出关于参数的方程，进而 上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要求 求出参数的值。 所有人握手时手臂互不交叉，例如n=2时， 例3光明中学高一年级和高二年级 一共有4个人，以1、2、3、4表示，握手两人用 一条线连接，共有2种方式，如图2、3所示。 进行篮球比赛，赛制为三局两胜制，若比赛没 记一次握手中，共有Y对相邻的两人握手，当 有平局，且高二队每局获胜的概率都是 n=4时，Y的数学期望E(Y)= p(0<p<?),记比赛的最终局数为随机变 量X,则( )。 A.E(X)= 2 B.E(X) 8 图2 图3 c.D(x)e(o.) 解析：当n=3时，按顺时针方向把人标 记为1,2,3,4,5,6，用(i,j)表示i和j握手。 D.DX)∈（分） 若1和2握手，则余下4人有2种方法 解析：X的可能取值为2,3，则P(X 握手，即(3,4)，(5,6)和(3,6)，(4,5)。 若1和6握手，则余下4人有2种方法 2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,P(X=3) 握手，即(2,3)，(4,5)和(3,4)，(2,5)。 =Cp(1-p)=2p-2p2。 若1和4握手，则余下4人有1种方法 令t=2p-2p,因为0<p<2,所以 1 握手，即(2,3)，(5,6)。 <0 所以当n=3时，共有5种方法。 当n=4时，按顺时针方向把人标记为 则P(X=2)=t+1,P(X=3)=一t,所 1,2,3,4,5,6,7,8。 以E(X)=2(t+1)+3×(-t)=-t+2。 若1和2握手，则剩下6个人的情况同n D(X)=[2-E(X)]P(X=2)+[3 =3,有5种方法。 E(X)]P(X=3)=[2-(-t+2)](t+1) 若1和8握手，则剩下6个人的情况同n +[3-(-t+2)](-t)=t(t+1)-t(1+ =3,有5种方法。 t)2=-t2-t。 若1和4握手，则2和3握手，5,6,7,8 因为-名<1<0，所以E(X)=-+2∈ 之间的握手情况同n=2,从而有1×2=2 (种)方法。 (2,)D(x)=--∈(0，)。 若1和6握手，则由对称性知，情况同1 和4握手，有2种方法。 故选C。 所以共有5+5+2+2=14（种）方法。 ,点评：本题先确定随机变量X的可能取 其中，有2种方法使得Y=4,则P(Y= 值为2,3，并求出其对应值的概率，从而得到 15 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年6月 21 4)=14=7 由组合数性质C1十C=C,得C= C-C+1。又kC8-=nC(n≥2，n∈N)。 有4种方法使得Y=2,则P(Y=2)=14 则Eb)=空kP(b=k)=1kC 121 有8种方法使得Y=3,则P(Y=3) 8 14 三)-1+，三c-c C”1+(CC+CC+,中 所以Y的分布列如表2所示。 表2 C C+] nC C- 2 3 (2n)! 2 ”·(n+1)！(n-1) 2n2 7 7 (2n-1)! n十1。 n!(n-1)! 4 故E(Y)=2×7 +3× =20 +4×7 故E()=2n-E(b)=2n- 2n2 7 -7 n+1 点评：解决本题的关键在于善于分类讨 2n 2 论，先分析n=3的情况，再分析n=4的情 n+1=2 n+1 况，从而得解。一般地，当随机变量及其分布 23 故当n=3时，E()=2-3十1=2 问题中出现不确定的情形时，需对各种情形 分类讨论。 若对任意n≥2，E()<c恒成立，则c> 四、转化与化归思想 2 2- 恒成立。 例5随机将1,2，…，2m(n∈N”n≥ 2 设g(x)=2- 2)这2n个连续正整数分成A,B两组，每组 x+1x∈[2，+∞)，则 n个数，A组最大数为a,B组最大数为b,记 g(x)在[2，十∞)上单调递增。 =|a一b|。当n=3时，的数学期望E() 由n∈N”,n≥2，得g(n)单调递增。当 ；若对任意n≥2，E()<c恒成立，则 n→十o∞时，g(n)→2，故g(n)<2。 c的最小值为 要使g(n)<c恒成立，则c≥2，即c的 解析：由题意知a≠b,由对称性，不妨设 最小值为2。 a>b,则a=2n,5=a-b=2n-b。 点评：本题不妨设a>b,则随机变量 故E()=2n一E(b)。 |a一b|=2n一b,进而由E()=2n一E(b)转 下面先求E(b),即求从1,2,3，…，2n 化为求E(b),先求b的概率分布列，再求期 1中随机取n个数，这n个数中最大数b的 望。解决本题的关键在于两点，一是应用组 期望。 合数性质C1十C=C进行裂项求和；二 从1,2,3，…，2n一1中随机取n个数，共 是利用公式C=nCg将变系数转化为常 有C-1种取法。 系数。一般地，当遇到较为复杂的随机变量 b=k指n个数中最大数为k(nk2n 及其分布问题时，首先要想到转化，通过巧妙 一1)，取k后，再从1,2,3，…，k一1个数中取 转化，借助其他数学知识与方法解决问题。 n一1个数，共有C种取法。 由此可见，随机变量及其分布问题的解 则由古典概型的概率公式知P(b=k) 决离不开基本的数学思想，只有让数学思想 C 引路，我们才能看到“胜利的曙光”。 C-1 ,k=n,n十1，…，2n一1。 (责任编辑赵 倩) 16