成对数据的统计分析的高阶思维建构与实跟路径-《中学生数理化》高二数学2026年6月刊

知识篇新高考名师护航 中学生数理化高二数学2026年6月 成对数据的统计分析的高阶思维建构与实践路径 ■河南省许昌高级中学 赵小强 在高中数学知识体系中，成对数据的统 二、线性刻画：从模型构建到检验优化的 计分析是实现从单一变量描述到多变量关联 逻辑闭环 探究的关键跨越，更是衔接数学统计方法与 当通过散点图与样本相关系数判断出两个 现实问题解决的重要桥梁。下面以高阶思维 变量存在显著的线性相关关系后，需通过构建数 培养为切入点，系统拆解成对数据的统计分 学模型对这种线性关系进行精准刻画，这一过程 析的内在思维逻辑，助力同学们构建解决统 围绕“模型构建·参数估计→模型检验·模型改 计问题的系统化思维体系，切实提升数据分 进”的完整统计逻辑闭环展开，是成对数据的统计 析、数学建模、逻辑推理等核心素养。 分析的核心内容，重点培养同学们的模型构建、参 一、散点图与相关关系：从直观感知到定 数推理、误差分析等高阶思维能力。 量刻画的思维进阶 例2为响应“全民健身”号召，某社区 散点图是探索两个变量之间相关关系的 统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长x 首要工具，其核心价值在于将抽象的成对样 (单位：小时)与身体活力指数y的对应数据， 本数据转化为直角坐标系中的具象点集，通 结果如表1所示。 过点的整体分布特征，直观判断变量间的关 表1 联类型与关联趋势。 例1(2024年高考天津卷)下列图 特征量 居民A 居民B 居民C 居民D 居民E 2 10 中，线性相关性系数最大的是( 4 6 6 )。 y◆ 7 yA 5 6 (1)根据表中数据，计算样本相关系数 r,并推断它们的相关程度； (2)求身体活力指数y关于每周锻炼时 B 长x的一元线性回归方程，并利用该方程计 算居民D的身体活力指数的残差。 参考公式：相关系数r= 2(x-x)(y-y) =1 回归系数6= 0 :-x)22(y:-y) D 思维点拨：本题是判断变量是否线性相 2(x:-x)(y:-y） 关，可由散点图中点的分布特征进行判断。 解析：观察4幅图可知，A图中点的分布 2(x:-x) 比较集中，且大体接近某一条直线，呈现明显 思维点拔：本题是求回归直线方程、相关 的正相关。故选A。 系数及残差。(1)根据给定的数据及相关系 思维归纳：散点图与样本相关系数是分析 数公式求出相关系数，进而推断相关程度； 变量线性关联的“形”与“数”的有机结合。以 (2)先利用最小二乘法求出线性回归方程，进 散点图为“形”，直观感知变量的关联类型与大 而求出指定的残差。 致趋势，为定量分析奠定直观基础。以样本相 解析：(1)由表中数据得x=6,y=6, 关系数为“数”，精准刻画变量间的线性相关程 (x,-x)(y:-y)=18,之(x,-x)=40, :=1 ；=1 度，实现对变量相关关系的定量描述，形成“直 观·定量”的完整关联感知思维。 之(y:一y)2=10。所以样本相关系数r= 知识篇新高考名师护航中学生数理化 高二数学2026年6月 2(x:-x)(y:-y） 表3 三1 18 =0.9。 W√40×10 0.050 0.010 0.001 ∑(x:-x)(y:-y) 3.841 6.635 10.828 故x与y呈正相关，有较强的相关性。 思维点拨：本题考查古典概型的计算和独 (x-x)(y:-y) i=1 18 立性检验的实际应用。(1)根据古典概型的概 (2)由(1)得6= 2(x-x) 40 率公式即可求解；(2)根据独立性检验的基本思 = 想，求出X,然后与小概率值α=0.001对应的 =0.45,a=y一bx=6-0.45×6=3.3。 临界值10.828比较，从而得出结论。 所以身体活力指数y关于每周锻炼时长 解析：(1)根据表格可知，检查结果不正 x的一元线性回归方程为y=0.45x十3.3。 常的200人中有180人患该疾病，所以p的 当x=8时，y=0.45×8+3.3=6.9,所以 居民D的身体活力指数的残差为8一6.9=1.1。 估计值为器品 思维归纳：求得回归方程并非建模过程 (2)零假设为H。:超声波检查结果与患 的结束，还需通过残差分析检验模型的拟合 该疾病无关。 效果，判断模型是否适用于当前数据，培养同 则x:=1000×(20×20-780×180) 学们的误差分析与批判性思维，实现模型的 800×200×800×200 优化与完善。 765.625>10.828=x0.01。 三、独立推断：从直观分析到概率验证的 根据小概率值a=0.001的独立性检验，我 分类变量关联探究 们推断H。不成立，即认为超声波检查结果与患 该疾病有关，该推断犯错误的概率不超过0.001。 成对数据的统计分析不仅包含数值变量 思维归纳：独立性检验通过假设检验的 的关联探究，还涵盖分类变量的关联分析，其 方法，实现了从直观分析到定量推断的思维 过程遵循“直观分析→概率假设·定量检验” 进阶，是研究分类变量关联关系的核心方法。 的统计推断逻辑，从列联表的初步整理，到独 学习独立性检验，需把握三个核心要点：一是 立性检验的定量验证，可培养同学们的概率 规范提出零假设，明确检验的目标与对象，零 推断、假设检验等严谨思维能力。 假设始终为“两个分类变量相互独立”；二是 例3(2025年高考全国1卷)为研究 准确计算X°，熟练掌握公式应用，保证数据 某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超 运算的正确性；三是严谨作出统计推断，比较 声波检查的人群中随机调查了1000人，得 X与对应临界值的大小关系，得出结论，并 到列联表（表2）。 明确推断的概率性，即推断犯错误的概率不 表2 超过对应的小概率值。 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 四、模型应用：从知识综合到理性思辨的 患该疾病 20 180 200 创新升华 未患该疾病 780 20 800 学习成对数据的统计分析的最终目标是 合计 800 200 1000 解决实际问题，从线性回归模型的预测应用， (1)记超声波检查结果不正常者患该疾 到统计方法的综合选择，再到统计推断结果的 病的概率为p,求p的估计值： 理性思辨，实现了从“知识掌握”到“能力应用” (2)参考表3，根据小概率值a=0.001 的跨越，是成对数据的统计分析的最终落脚 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与 点，此过程可培养同学们的知识综合运用、模 患该疾病有关。 型科学选择、结果理性思辨等创新思维能力。 n(ad-be)2 例4(2024年高考全国甲卷理科)某 附：X2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造 知识篇新高考名师护航 中学生数理化高数学2026年6月 后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽 则×：=150×(26×30-24×70) 取150件进行检验，数据如表4所示。 50×100×96×54 表4 4.6875。因为x0.00=3.841<4.6875< 6.635=x。.1o,所以有95%的把握认为甲、乙 优级品 合格品 不合格品 总计 两个车间产品的优级品率存在差异，没有 甲车间 26 24 0 50 99%的把握认为甲、乙两个车间产品的优级 乙车间 70 28 2 100 品率存在差异。 总计 96 52 2 150 (2)由题意可知，生产线升级改造后，该工 (1)填写列联表（表5）。 厂产品的优级品率p= 96 =0.64。 表5 150 优级品 非优级品 p+1.65 p(1一p) 1 =0.5+1.65× 甲车间 /0.5×(1-0.5) 乙车间 ≈0.567。 150 参考表6，能否有95%的把握认为甲、乙 两个车间产品的优级品率存在差异？能否有 故p>p+1.65 p1-p) n 99%的把握认为甲、乙两个车间产品的优级 所以可以认为生产线智能化升级改造 品率存在差异？ 后，该工厂产品的优级品率提高了。 (2)已知升级改造前该工厂产品的优级 思维归纳：面对实际问题中的成对数据， 品率p=0.5,设p为升级改造后抽取的n件 首先需准确判断变量的类型（数值变量或分 产品的优级品率，若p>p十1.65· 类变量)，再根据变量类型与关联特征合理选 D一p),则认为该工厂产品的优级品率 择统计分析方法，然后根据模型检验结果及 n 时对模型进行改进与优化，体现数学建模的 提高了。根据抽取的150件产品的数据，能 理性思辨思维。 否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产 五、总结 品的优级品率提高了？（√150≈12.247） 成对数据的统计分析是高中数学统计模 附：X= n(ad-be)2 块的核心内容，其学习价值不仅在于掌握散点 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 图、样本相关系数、回归模型、独立性检验等具 表6 体的知识与方法，更在于构建一套完整的高阶 0.050 0.010 0.001 思维体系，实现从“会做题”到“会思考”、从“学 3.841 6.635 10.828 数学”到“用数学”的本质转变。同学们需在扎 思维点拨：本题是考查独立性检验及其 实掌握基础知识与基本方法的基础上，不断深 实际应用。(1)根据数据完善列联表，计算 化对统计思维的理解与运用，通过解决实际问 X,并与临界值对比分析：(2)用频率估计概 题、分析高考真题、开展数学建模探究等方式， 逐步培养和提升高阶思维能力，让统计知识成 率可得p,计算p十1.65· p(1-p) ,结合 为认识世界、分析问题、解决问题的重要工具， 题意分析判断。 实现核心素养的全面提升。 解析：(1)根据题意可得列联表（表7）。 注：本文系2025年度河南省基础教育教 表7 学研究课题“高中生数学高阶思维能力培养 优级品 的教学策略研究”(JCJYC2503100205)的研 非优级品 究成果。 甲车间 26 24 (责任编辑赵待) 乙车间 70 30 10