期末复习：利用导数求含参函数的单调性问题、含参函数的最值问题 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦导数工具在含参函数单调性与最值中的应用，通过典例变式构建分类讨论与逻辑推理体系，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用导数求含参函数的单调性问题|例3+变式3|含参函数单调性讨论、极值点存在性分析、恒成立问题|以导数符号为核心，通过参数分类讨论构建函数单调区间，体现从导数到单调性的逻辑推导| |利用导数求含参函数的最值问题|例3+变式3|区间最值求解、参数对最值的影响分析|基于单调性研究，推导不同参数取值下的函数最值，形成单调性到最值的递进关系|

null期末复习：利用导数求含参函数的单调性问题、含参函数的最值问题专项训练 期末复习：利用导数求含参函数的单调性问题、含参函数的最值问题专项训练 考点目录 利用导数求含参函数的单调性问题 利用导数求含参函数的最值问题 考点一 利用导数求含参函数的单调性问题 例1．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】（1）求导，分，两种情况讨论求解即可； （2）令，求导，分，两种情况，根据函数单调性与求解即可. 【详解】（1）．   当时，恒成立，故函数在单调递增；   当时，令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增； （2）令，，， ，，． 令，， 而在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，时，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故由可知，时，与在恒成立矛盾；   综上，实数的取值范围是． 例2．（2026·湖南·模拟预测）已知函数，． (1)证明：． (2)讨论的单调性． (3)若，求的取值集合． 【答案】(1)的定义域为，．令，得， 则在上单调递增，令，得，则在上单调递减， 所以．故． (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． (3) 【分析】（1）对求导，由导数符号得的单调性，从而得最大值，故； （2）对分情况讨论，再根据导数符号得到的单调性； （3）已知恒成立，对分情况讨论的最小值，再结合（1）中的结论求出的取值集合. 【详解】（1）略. （2）由，得 ． 当时，，在上单调递减． 当时，令，得，则在上单调递减， 令，得，则在上单调递增． （3）当时，在上单调递减，当时，，不符合题意． 当时， ． 由（1）可知 ，当且仅当时，等号成立． 因为， ，所以 ， 所以，得．故的取值集合为． 例3．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在内仅存在一个极值点，求a的取值范围. 【答案】(1)①当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；②当或时，的单调递增区间为和，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导得二次函数，根据判别式正负讨论单调区间； （2）导函数零点即极值点，分离参数后转化为对勾函数的值域问题，结合区间端点确定参数范围． 【详解】（1）因为，所以， 则二次方程的判别式． ①当，即时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间． ②当，即或时，的两个实根为，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）若在内仅存在一个极值点，则在内仅存在一个变号零点． 由，可得，即方程在仅有一个解， 令，该函数为对勾函数，如图所示 根据对勾函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，且，， 由的图象可知，所以，即a的取值范围为． 变式1．（25-26高二下·山东青岛·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增. (2) 【分析】（1）先对函数求导，分和两种情况讨论可求得的单调性； （2）利用（1）可知的单调性与的关系，分情况讨论，进而利用即可求解. 【详解】（1）由题意得， 当时，，在上单调递增， 当时，令.， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递增，，，不合题意， 当时，由（1）知在上单调递减；在上单调递增， ， 即，解得， 综上，实数m的取值范围为 变式2．（2026·河北保定·二模）已知函数 (1)若，讨论的单调性； (2)若的极小值点为 求的值； (3)若，且 证明：. 【答案】(1)在上单调递增. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）利用极小值点的必要条件求出，然后检验充分性即可； （3）等式变形为，利用比值代换法把转化为证明，最后利用（1）的结论即可证明. 【详解】（1）的定义域为， ， 令： 判别式， 若即，，恒成立，故，单调递增； 若，，令，得，两根均为负数， 因此时，，故，单调递增. 综上，当时，在上单调递增. （2）极小值点是的正根，即满足，将代入得： ，化简得，验证可知确为极小值点，故. （3）对已知等式两边取自然对数得： ，整理得：， 令，若则，右边，矛盾，故， 则，代入得： ， 要证，即证，代入得： ， 由（1）知，当时，在单调递增， 因此时，，不等式成立， 故成立. 变式3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，，且曲线在点处的切线在轴上的截距，当时，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）求导后，分及进行讨论即可得； （2）借助导数的几何意义计算可得、关系，再利用，构造函数结合导数计算即可得. 【详解】（1），函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在区间上单调递增， 当时，解，得；解，得， 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）当时，，则， ， 曲线在点处的切线方程为， 令，解得，即， ，，， 又，即，， 设，则， 当时，；当时，， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， ， 由，得，即实数的取值范围是. 考点二 利用导数求含参函数的最值问题 例1．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知是实数，函数 (1)若，求的值及曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求在区间上的最小值． 【答案】(1) ，切线方程为； (2) 【分析】（1）求导，然后代入计算即可； （2）令导函数为0，对导函数零点分布讨论计算即可. 【详解】（1） 由，代入得 此时，，切线斜率为，由点斜式得切线方程 整理得 （2）令，得或， 当，即时，在区间上，，单调递减，因此最小值为 当，即时，，，单调递减； 时，单调递增，因此最小值在处取得 综上， 例2．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）先根据已知条件确定在的单调性，再对的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下的最小值. 【详解】（1）由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为． 综上，． 例3．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）求导，利用导函数和函数单调性的关系可得结果； （2）求导，分、和三类情况进行讨论，对于的情况，再细分和两种情况讨论可得结果. 【详解】（1）因为时，， 所以， 令，解得， 所以时，；时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2），令，解得， ①当，即时， 在上单调递增；所以； ②当，即时， 对于，，故在上单调递增， 所以； ③当，即时， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增， 若，即，则在上单调递减，所以； 若，即，则在上单调递减，上单调递增， 所以； 综上：当时，； 当时，； 当时，． 变式1．（25-26高二下·湖北十堰·阶段检测）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减. (2)当时，函数在上的最大值为，当时，函数在上的最大值为0. 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论和两种情况讨论导数的正负，判断函数的单调性； （2）根据（1）的结果，讨论的取值，判断区间的单调性，求函数的最值. 【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以 当时，恒成立，函数在定义域内单调递增； 当时，由得，由得或， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，又 所以，当时，；当时， 当时，函数在上单调递减，， 综上，当时，函数在上的最大值为， 当时，函数在上的最大值为0. 变式2．（25-26高二下·安徽·期中）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)当时，求函数在上的最小值. 【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时在，上单调递增，在上单调递减. (2)时，； 时，. 【分析】（1）求导，分，，，根据导数讨论求解即可； （2）结合（1），根据函数单调性，分，讨论求解即可. 【详解】（1）易得定义域为. 当时，. ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，. ⅰ.若时，，，， 则在上递增，在上递减. ⅱ.若时，令或. 当， 此时或，， 则在，上单调递增，在上单调递减， 当，此时在上单调递增， 当，此时或， ， 则在，上单调递增，在上单调递减. 综上可得：当时，在上递增，在上递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）分析可得， 若，则在上单调递减， ； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时； 综上可得：时，； 时，. 变式3．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)函数的单调增区间是；单调递减区间是 (2)当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是. 【分析】（1）先确定函数的定义域，再对函数求导，根据导函数与0的大小关系划分区间，从而判断函数的单调性； （2）要求闭区间上的最小值，先对函数求导，找到导函数的点，再根据该点在区间的位置关系，分情况讨论函数在上的单调性，进而确定最小值. 【详解】（1）函数的定义域为； 当时，，则； 令，即，解得； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 的递增区间为，递减区间为. （2）由，得； 令，即，解得； ，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减. ①当，即时，函数在区间上单调递减，此时的最小值为； ②当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减； ，， 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为. ③当，即时，函数在区间上单调递增，此时的最小值为； 综上所述，当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $