3.2 代数式的值（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学“代数式的值”核心知识点，系统梳理代数式值的定义、代入求值基本步骤（代换字母、按序计算）及整体代入法，衔接数字与图形类规律探索，构建从概念理解到方法应用再到拓展迁移的学习支架。 该资料通过分层题型设计（直接代入、程序框图等）强化运算能力，结合规律探索培养抽象能力与创新意识，注重负数分数代入括号等易错点指导，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升用数学思维解决问题的能力。

第三章 代数式 3.2 代数式的值 课标要点 理解代数式的值概念：用具体数值代替代数式里的字母，按运算顺序计算出结果，叫做代数式的值。 熟练掌握代入求值步骤，能处理含负数、分数、乘方、括号的代入计算，规范添括号、符号。 会结合实际情境，根据给定字母取值，求出对应代数式的值，并解释结果的实际含义。 学习重难点 重点： 理解代数式的值的定义，牢记 “代换字母、按序计算” 两步核心流程。 掌握代入规范，负数、分数代入乘方、乘法时必须整体添加括号。 熟练结合有理数混合运算（含乘方、括号）准确算出最终结果。 能结合图形规律、正反比例、实际应用题代入求值，并解释结果含义 难点： 代入负数、分数进行乘方运算时，容易漏加括号，导致符号计算出错。 复杂多层代数式代入后，混淆运算顺序，乘方、乘除、加减先后顺序颠倒。 忽略字母隐含取值限制，如分母不为 0、实际问题中字母只能取正数。 已知代数式整体的值，求复杂变形代数式的值，不会运用整体代换思想。 知识点 求代数式的值的基本步骤 求代数式的值通常分为两个核心步骤：代入和计算： 1. 代入：将题目给出的字母取值，对应替换代数式中相同的字母，代数式中原有的运算符号、数字以及运算顺序都保持不变。 2. 计算：按照代数式规定的运算顺序，结合有理数的运算法则计算出最终结果。 特别提醒 1. 代入数值时要注意符号问题，如果字母给出的取值是负数，代入的时候必须给负数加上括号；如果字母给出的取值是分数，计算乘方的时候也要给分数加上括号，避免运算符号错误。 2. 代数式中原省略的乘号，代入数值后要重新添上，比如2x代入x=3后，要明确为2×3，不能直接写作23，避免误读。 3. 计算过程中要严格遵循运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内部的运算，不要跳步导致计算错误。 随学随练 1．已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 2．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 3．若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．若2的倒数是a，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 知识点 整体代入法求代数式的值 当题目无法直接求出每个字母的具体取值，或者直接单个代入计算过程过于繁琐时，可以把已知条件中给出的某个代数式看作一个整体，直接代入到要求的目标代数式中进行计算，这种方法就是整体代入法。 整体代入法的核心是对所求代数式进行变形，通过提公因式、公式变形、通分约分等方式，把目标代数式整理成已知整体表达式的倍数或和差形式，再整体代入计算。 特别提醒 1. 使用整体代入法前必须先对所求代数式做正确变形，变形过程中要注意符号和系数，不能改变原代数式的大小； 2. 不是所有题目都适合使用整体代入，如果已经给出了每个字母的具体取值，优先使用直接代入法计算，不要强行变形增加计算难度。 随学随练 1．已知：，则的值为（    ） A．9 B．10 C． D． 2．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 3．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 5．若m，n互为倒数，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 拓展 数字类规律探索 1. 先梳理数字序列，标出对应序号n，拆分固定不变部分和随序号变化的部分。 2. 观察相邻数字的差、倍数、乘方变化，写出代表规律的代数式。 3. 将序号代入代数式求值，检验多组数字，验证规律是否通用。 4. 遇到整体求值题型，灵活运用整体代换，不用单独求出字母数值。 5. 代入负数、分数计算时记得添加括号，严格遵循有理数运算顺序。 6. 结合实际场景留意字母取值范围，舍去无意义的数值。 活学活用 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 2．观察下列计算结果： 通过分析结果中个位数字的变化规律，判断的计算结果的个位数字是（     ） A．1 B．5 C．7 D．9 3．有这样一组数：、、、、…、第个数是（） A． B． C． D． 4．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … … 输出 … … 那么，当输入数据时，输出的数据是（     ） A． B． C． D． 5．放成一排的2026个袋子里共有4276颗糖果，其中最左端的袋子里放了m颗糖果，最右端的袋子里放了n颗糖果，如果任意相邻的9个袋子里的糖果共有19颗，则（    ） A． B． C．， D．， 拓展 图形类规律探索 1. 先对照图形序号，数出每组图形对应的数量，列出序号与数量的对应表格。 2. 拆分图形，分出固定不变的基础部分和随序号增加的变化部分。 3. 根据数量变化规律写出通用代数式，代表第n个图形的数量。 4. 把序号代入代数式求值，代入多组图形数据验证规律是否成立。 5. 代入计算时遇到负数、分数、乘方，记得给数值加括号，按运算顺序算出结果。 6. 结合图形实际含义，判断字母合理取值，排除无意义结果。 活学活用 1．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点．观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第10幅图中的点数为（     ） A．37 B．33 C．20 D．29 2．如图，下列图形是一组按照某种规律摆放而成的图案，则第8个图中圆点的个数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，用长度相同的小棒按照如图所示的方式摆放，则摆放第6个图形需要的小棒数量为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．观察下列图形的构成规律，按此规律，第6个图形中棋子的个数为（     ） A．18 B．19 C．21 D．22 题型 直接代入求值 解题贴士 1. 代入前先明确代数式的运算顺序，将对应字母替换为给定数值时，负数和分数代入乘方运算时必须添加括号，省略的乘号要还原，避免出现符号错误。比如本题中代入( y=-1 )到时，要写为，不能直接写为。 2. 代入后按照有理数的混合运算法则逐步计算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的部分。 ▌例1 当时，代数式的值为（     ） A．1 B．7 C．−1 D．−5 ▌例2．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．1 D． ▌对点练1-1．当时，的值为（   ） A．5 B．1 C． D． ▌对点练1-2．当时，代数式的值为____________． ▌对点练1-3．当，时，代数式________． 题型 整体代入求值 解题贴士 1. 核心思路是对目标代数式进行变形，构造出和已知条件相同的整体部分，再将已知整体的值代入计算。常用的变形方法包括提公因式、添括号去括号、公式变形等。 2. 如果已知多个整体的值，可以利用加减消元的思想，将目标代数式拆分为多个已知整体的线性组合，分别代入计算。 3. 常见的形式包括：已知( a+b )求( 2a+2b+3 )这类倍数型变形；已知求这类多项式倍数变形；已知( a-b )求这类整体换元变形。 2. ▌例1 ．若，则的值为（     ） A． B． C．6 D．2 ▌例2．已知，那么的值为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．若实数 、满足，则代数式的值为_________． ▌对点练1-2．若，则的值为______ ． ▌对点练1-3．已知 与 互为相反数，求 的值． 题型 程序框图输入输出型求值 解题贴士 1. 运严格按照程序给定的运算顺序逐步计算，每一步计算完成后都要按照判断条件判断是否需要继续循环，不要跳步。 2. 遇到多次循环的题目，注意计算结果的符号变化，不要出现计算错误，对于找规律的循环输出题，计算前几次结果后总结循环周期，再推导最终结果。 ▌例1如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． ▌例2如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为9，…，第2017次输出的结果为（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 ▌对点练1-1按如图所示的运算程序，输入，则输出的值是（    ） A．3 B．3 C．2 D．1 ▌对点练1-2如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． ▌对点练1-3根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值为_____． 题型 与非负数性质结合的求值 解题贴士 1. 核心依据：若干个非负数的和为0，则每个非负数都等于0 2. 根据性质列出每个非负数等于0的方程，分别求出每个字母的值，再代入目标代数式计算结果。 ▌例1若x，y为有理数，且，则的值为（    ） A．8 B． C． D． ▌例2若，，，则的值是(    ) A． B． C．2或12 D．或12 ▌对点练1-1若，则______． ▌对点练1-2若，为有理数，且，则________． ▌对点练1-3已知 ，则_______． 题型 新定义求值 解题贴士 牢1. 读懂题目新定义运算规则，圈清字母、符号对应的运算顺序，严格照搬公式，不混用常规四则运算法则2. 找准对应字母，把给定数值完整替换进定义式，负数、分数代入时主动添加括号。 3.3. 按有理数运算顺序分步计算，先乘方再乘除后加减，有括号优先算括号内部。 4.4. 多层嵌套新运算时，从内层式子开始逐层代入求值，算出结果再代入外层计算。 ▌例1 定义一种新运算，则的结果为（   ） A． B．17 C． D． ▌例2定义新运算：，则的值为（   ） A． B．1 C． D．7 ▌对点练1-1新定义： 若定义， 则 _______． ▌对点练1-2定义一个新运算，若，，则______． ▌对点练1-3a，b为有理数，若规定一种新的运算“*”，定义，请根据“*”的定义计算： (1)； (2)． 题型 数字类规律探索 解题贴士 1. 给数列标上序号n，列出每组n和对应数字，分开不变常量与变化部分。 2. 观察相邻数差值、倍数、平方特征，推导第n项的代数式。 3. 将多组序号代入代数式求值验算，检验规律是否通用。 4. 求值时严格遵循运算顺序，负数、分数参与乘方记得加括号。 解 ▌例1有一列按规律排列的代数式：，，，，，，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． ▌例2我校七年级共有学生332人，如果全部排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，则最后一名学生所报的数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练1-1数列，，，，，，第个数是______． ▌对点练1-2观察下列等式： 第1层   第2层   第3层   第4层   … 在上面的数字宝塔中，从上往下数，数字2022在第___________层． ▌对点练1-3找规律 (1)观察：，，，，…… 你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？ (2)利用（1）中的规律计算． (3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例． 题型 图形类规律探索 解题贴士 1. 列出图形序号n与对应数量，拆分固定不变部分和随序号变化的部分。 2. 根据数量增减规律写出第n个图形的代数式，区分等差、乘方类变化。 3. 把多组序号代入代数式求值，验证式子是否匹配图形数据。 4. 代入计算遇负数、分数、乘方时添括号，按运算顺序准确算出结果。 ▌例1按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（     ） A． B． C． D． ▌例2如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按此规律，第7个图案中基本图形的个数为（     ） A．16 B．19 C．22 D．25 ▌对点练1-1观察下列图形中的数字排列规律，b，c满足的关系式为______________________． ▌对点练1-2将黑白两色棋子按如图所示的规律摆成若干个图形，则第个图形中黑色棋子的个数为____________（用含n的代数式表示）． ▌对点练1-31张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 基础通关 1．当时，代数式的值是（     ） A．7 B． C．3 D． 2．已知，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 3．已知，当时，；当时，；当时，的值是（   ） A． B． C． D． 4．下列代数式中，一定是正数的是（    ）． A． B． C． D． 5．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为7，则第2026次输出的结果为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 6．将奇数，，…按图所示进行排列，各列分别用、、、、表示，则所在的行、列分别为（     ） A．行列 B．行列 C．行列 D．行列 7．已知，则代数式的值是______． 8．若，则______． 9．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文，对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，当明文是2，5时，密文应是______，______． 10．如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且是最大的负整数，则代数式__________． 11．若，则的值为________． 12．如图是用围棋子按某种规律摆成的一行“上”字，其中第①个图案用了6个围棋子，第②个图案用了11个围棋子，第③个图案用了16个围棋子，…，按此规律继续摆下去，第⑩个图案用了________个围棋子． 13．当，时，求多项式的值． 14．若，求的值． 15．已知，且，求的值． 素养提升 1．已知a，b互为倒数，x、y互为相反数，n的绝对值是2，m是最大的负整数，则代数式的值为（     ）． A． B． C．1 D．7 2．当代数式的值为7时，则代数式的值为（        ） A． B．0 C． D．4 3．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，……，第2026次输出的结果是(    ) A．3 B．4 C．6 D．9 4．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 5．若，则_____________． 6．已知互为相反数且均不为和互为倒数，，那么代数式的值为________． 7．根据下边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果_______． 8．园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第20个图形中花卉的总盆数为________． 9．某公园的门票价格如下：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（8折），设一个旅游团共有x人，其中学生有y人． (1)用含x，y的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费． (2)如果该旅游团有46个成人，12个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？ 10．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数，，，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列，，，，，，是理想数列，则 ， ； (2)若数列，，，，是理想数列，求代数式的值． 迁移创新 1．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“一组有规律的数据和相关问题”的问题． (1)【规律特殊化】给出一列数据：依次把这列数据记为，则，则___________，___________（填“>”“<”或“=”）； (2)【规律一般化】这列数据的第（均大于1）个数据分别为，且，探究与之间的关系． 思路探究：， 同理___________，___________， ___________，___________． ___________ (3)【思想一般化】已知个正实数满足，其中．则___________（填“>”“<”或“=”）． 2．用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式 3.2 代数式的值 课标要点 理解代数式的值概念：用具体数值代替代数式里的字母，按运算顺序计算出结果，叫做代数式的值。 熟练掌握代入求值步骤，能处理含负数、分数、乘方、括号的代入计算，规范添括号、符号。 会结合实际情境，根据给定字母取值，求出对应代数式的值，并解释结果的实际含义。 学习重难点 重点： 理解代数式的值的定义，牢记 “代换字母、按序计算” 两步核心流程。 掌握代入规范，负数、分数代入乘方、乘法时必须整体添加括号。 熟练结合有理数混合运算（含乘方、括号）准确算出最终结果。 能结合图形规律、正反比例、实际应用题代入求值，并解释结果含义 难点： 代入负数、分数进行乘方运算时，容易漏加括号，导致符号计算出错。 复杂多层代数式代入后，混淆运算顺序，乘方、乘除、加减先后顺序颠倒。 忽略字母隐含取值限制，如分母不为 0、实际问题中字母只能取正数。 已知代数式整体的值，求复杂变形代数式的值，不会运用整体代换思想。 知识点 求代数式的值的基本步骤 求代数式的值通常分为两个核心步骤：代入和计算： 1. 代入：将题目给出的字母取值，对应替换代数式中相同的字母，代数式中原有的运算符号、数字以及运算顺序都保持不变。 2. 计算：按照代数式规定的运算顺序，结合有理数的运算法则计算出最终结果。 特别提醒 1. 代入数值时要注意符号问题，如果字母给出的取值是负数，代入的时候必须给负数加上括号；如果字母给出的取值是分数，计算乘方的时候也要给分数加上括号，避免运算符号错误。 2. 代数式中原省略的乘号，代入数值后要重新添上，比如2x代入x=3后，要明确为2×3，不能直接写作23，避免误读。 3. 计算过程中要严格遵循运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内部的运算，不要跳步导致计算错误。 随学随练 1．已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】直接将a，b的值代入代数式，再计算求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为代数式求值题，只需将已知的的值代入所求代数式，通过有理数加法计算即可得到结果． 【详解】解：当时，． 3．若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题先根据绝对值的定义得到的所有可能取值，再根据判断同号，分情况计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴与同号， 分两种情况讨论： ①当，时，， ②当，时，， ∴的值等于或． 4．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值和完全平方数的非负性可求出、的值，再计算即可． 【详解】解：，，， ，， ，， ． 5．若2的倒数是a，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先根据倒数的定义求出a的值，再根据有理数的乘法运算，求出2a的值． 【详解】解：的倒数是， ． ． 知识点 整体代入法求代数式的值 当题目无法直接求出每个字母的具体取值，或者直接单个代入计算过程过于繁琐时，可以把已知条件中给出的某个代数式看作一个整体，直接代入到要求的目标代数式中进行计算，这种方法就是整体代入法。 整体代入法的核心是对所求代数式进行变形，通过提公因式、公式变形、通分约分等方式，把目标代数式整理成已知整体表达式的倍数或和差形式，再整体代入计算。 特别提醒 1. 使用整体代入法前必须先对所求代数式做正确变形，变形过程中要注意符号和系数，不能改变原代数式的大小； 2. 不是所有题目都适合使用整体代入，如果已经给出了每个字母的具体取值，优先使用直接代入法计算，不要强行变形增加计算难度。 随学随练 1．已知：，则的值为（    ） A．9 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 2．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 3．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知等式得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 【答案】A 【分析】本题运用整体代入法求解代数式的值，先对所求代数式提取公因式变形，再结合已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ， 对所求代数式变形得：， 将代入得：原式，因此代数式的值为． 5．若m，n互为倒数，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， 互为倒数， ∴， ∴． 拓展 数字类规律探索 1. 先梳理数字序列，标出对应序号n，拆分固定不变部分和随序号变化的部分。 2. 观察相邻数字的差、倍数、乘方变化，写出代表规律的代数式。 3. 将序号代入代数式求值，检验多组数字，验证规律是否通用。 4. 遇到整体求值题型，灵活运用整体代换，不用单独求出字母数值。 5. 代入负数、分数计算时记得添加括号，严格遵循有理数运算顺序。 6. 结合实际场景留意字母取值范围，舍去无意义的数值。 活学活用 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式． 【详解】解：∵第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是． 2．观察下列计算结果： 通过分析结果中个位数字的变化规律，判断的计算结果的个位数字是（     ） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】先观察已知结果中个位数字的变化，找出循环周期，再通过计算指数除以周期得到余数，根据余数确定目标结果的个位数字． 【详解】解：由已知计算结果，提取的个位数字依次为： 当时，个位为； 当时，个位为； 当时，个位为； 当时，个位为； 当时，个位为； … ∴个位数字按1，7，7，5循环，周期为， ∵，余数为， ∴的个位数字对应循环中第个数字，即． 3．有这样一组数：、、、、…、第个数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】第一个数是，是，第二个数是，即…，则观察选项，可得第个数是多少。 【详解】第一个数： 第二个数： 第三个数： 第四个数： …… 第n个数：. 4．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … … 输出 … … 那么，当输入数据时，输出的数据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为数字规律探究题，分别观察输出数据的分子分母与输入数据的关系，总结规律即可求解． 【详解】解：设输入数据为，观察表格可得： 当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； ……； 因此总结规律：当输入数据为时，输出数据为； ∴将代入公式，得输出数据为． 5．放成一排的2026个袋子里共有4276颗糖果，其中最左端的袋子里放了m颗糖果，最右端的袋子里放了n颗糖果，如果任意相邻的9个袋子里的糖果共有19颗，则（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据相邻9个袋子糖果总和相等，可推导出袋子糖果数按周期9重复，再利用周期性质得到与的关系，最后结合总糖果数计算得和的值． 【详解】解：设从左到右第个袋子的糖果数为． 由题意得，， ∵任意相邻9个袋子糖果和为， ∴每9个数记为一组， ∵， ∴，即， ∵共有4276颗糖果， ∴， 解得， ． 拓展 图形类规律探索 1. 先对照图形序号，数出每组图形对应的数量，列出序号与数量的对应表格。 2. 拆分图形，分出固定不变的基础部分和随序号增加的变化部分。 3. 根据数量变化规律写出通用代数式，代表第n个图形的数量。 4. 把序号代入代数式求值，代入多组图形数据验证规律是否成立。 5. 代入计算时遇到负数、分数、乘方，记得给数值加括号，按运算顺序算出结果。 6. 结合图形实际含义，判断字母合理取值，排除无意义结果。 活学活用 1．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点．观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第10幅图中的点数为（     ） A．37 B．33 C．20 D．29 【答案】A 【分析】先列举前三幅图中点的个数，以此类推即可解答． 【详解】解：第1幅图中的点数为1； 第2幅图中的点数为； 第3幅图中的点数为； …… 第10幅图中的点数为． 2．如图，下列图形是一组按照某种规律摆放而成的图案，则第8个图中圆点的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形可知，第1个图形共有圆点的个数为；第2个图形共有圆点的个数为；第3个图形共有圆点的个数为；…；则第n个图形共有实心圆的个数为，进而得出答案． 【详解】解：第1个图形共有圆点的个数为； 第2个图形共有圆点的个数为； 第3个图形共有圆点的个数为； ……； 则第n个图形共有实心圆的个数为， 故图⑧中圆点的个数是：． 3．如图，用长度相同的小棒按照如图所示的方式摆放，则摆放第6个图形需要的小棒数量为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了根据图形的变化探索规律．观察图案发现，从第二个图案开始，每个图案比上一个图案增加了2根小棒，结合第一个图案有3根小棒，即可探索得出第6个图案中小棒的数量． 【详解】解：第①个图案有3根小棒， 第②个图案有根小棒， 第③个图案有根小棒， …… 第⑥个图案有根小棒． 4．观察下列图形的构成规律，按此规律，第6个图形中棋子的个数为（     ） A．18 B．19 C．21 D．22 【答案】B 【分析】根据各个图形中棋子的个数，找出棋子的变化规律，并归纳公式即可得出结论． 【详解】解：第1个图形中棋子的个数为； 第2个图形中棋子的个数为； 第3个图形中棋子的个数为； ∴第n个图形中棋子的个数为 ∴第6个图形中棋子的个数为． 题型 直接代入求值 解题贴士 1. 代入前先明确代数式的运算顺序，将对应字母替换为给定数值时，负数和分数代入乘方运算时必须添加括号，省略的乘号要还原，避免出现符号错误。比如本题中代入( y=-1 )到时，要写为，不能直接写为。 2. 代入后按照有理数的混合运算法则逐步计算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的部分。 ▌例1 当时，代数式的值为（     ） A．1 B．7 C．−1 D．−5 【答案】A 【详解】解：将代入代数式得． ▌例2．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】解：将代入代数式得． ▌对点练1-1．当时，的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴将代入得，． ▌对点练1-2．当时，代数式的值为____________． 【答案】 【分析】将代入代数式，再按照含乘方有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解∶ 将代入 ，得 ． ▌对点练1-3．当，时，代数式________． 【答案】 【分析】将，代入中，计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 题型 整体代入求值 解题贴士 1. 核心思路是对目标代数式进行变形，构造出和已知条件相同的整体部分，再将已知整体的值代入计算。常用的变形方法包括提公因式、添括号去括号、公式变形等。 2. 如果已知多个整体的值，可以利用加减消元的思想，将目标代数式拆分为多个已知整体的线性组合，分别代入计算。 3. 常见的形式包括：已知( a+b )求( 2a+2b+3 )这类倍数型变形；已知求这类多项式倍数变形；已知( a-b )求这类整体换元变形。 2. ▌例1 ．若，则的值为（     ） A． B． C．6 D．2 【答案】B 【分析】先根据已知等式得到的值，再将所求代数式变形后代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. ▌例2．已知，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题采用整体代入法计算代数式的值，先根据已知等式得到的值，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． ▌对点练1-1．若实数 、满足，则代数式的值为_________． 【答案】 【分析】由已知等式得出的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ∴． ▌对点练1-2．若，则的值为______ ． 【答案】 【分析】对原式进行因式变形，再将整体代入计算，即可求得结果． 【详解】解：， ∴ ． ▌对点练1-3．已知 与 互为相反数，求 的值． 【答案】 【分析】根据相反数的定义，代入即可求解． 【详解】解：∵ 与 互为相反数， ∴， 原式． 题型 程序框图输入输出型求值 解题贴士 1. 运严格按照程序给定的运算顺序逐步计算，每一步计算完成后都要按照判断条件判断是否需要继续循环，不要跳步。 2. 遇到多次循环的题目，注意计算结果的符号变化，不要出现计算错误，对于找规律的循环输出题，计算前几次结果后总结循环周期，再推导最终结果。 ▌例1如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】把代入运算程序中，计算可得，根据，那么需再次代入得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴需把再次代入，可得， ∵， ∴输出的结果为． ▌例2如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为9，…，第2017次输出的结果为（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】B 【分析】根据如图的程序，分别求出前6次的输出结果各是多少，总结出规律，求出第2017次输出的结果． 【详解】解：第 1 次输出的结果为 27， 第 2 次输出的结果为 9， 第 3 次输出的结果为， 第 4 次输出的结果为， 第 5 次输出的结果为， 第 6 次输出的结果为， ， 从第 3 次开始，输出的结果以循环， ∵， ∴第2017次输出的结果为3． ▌对点练1-1按如图所示的运算程序，输入，则输出的值是（    ） A．3 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数比较大小，由于，则把代入中，求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴输出的值是1， 故选：D． ▌对点练1-2如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 【答案】5 【分析】根据运算程序图可知输出结果按5和1一循环，然后问题可求解． 【详解】解：由运算程序图可知： 第一次输出结果为，第二次输出结果为，第三次输出结果为，第四次输出结果为，…..；由此可知：输出结果按5和1一循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为5． ▌对点练1-3根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值为_____． 【答案】 【分析】观察程序计算图，根据输入的值，找出与的关系式，将其值代入即可求出答案，计算过程需要注意的是有理数的加减法法则（减一个数等于加上这个数的相反数；同号两数相加，取相同的符号并将绝对值相加）． 【详解】解：输入的值是， 将代入中， ． 题型 与非负数性质结合的求值 解题贴士 1. 核心依据：若干个非负数的和为0，则每个非负数都等于0 2. 根据性质列出每个非负数等于0的方程，分别求出每个字母的值，再代入目标代数式计算结果。 ▌例1若x，y为有理数，且，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，求出的值后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴ 解得，， 将，代入得， 故选：D． ▌例2若，，，则的值是(    ) A． B． C．2或12 D．或12 【答案】C 【详解】解：， 或，或 ①当时，，得，故 此时 ②当时，，得，故 此时 ▌对点练1-1若，则______． 【答案】7 【分析】根据绝对值和平方的非负性，得到，，解方程求出，的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：， 又，， ，， 解得，， ． ▌对点练1-2若，为有理数，且，则________． 【答案】 【详解】解：由绝对值的非负性可知，，， ， ，， 解得，， 代入得． ▌对点练1-3已知 ，则_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性与平方的非负性，两个非负数的和为时，每个非负数都为，据此求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解： ，，且 ， 解得， ． 题型 新定义求值 解题贴士 牢1. 读懂题目新定义运算规则，圈清字母、符号对应的运算顺序，严格照搬公式，不混用常规四则运算法则2. 找准对应字母，把给定数值完整替换进定义式，负数、分数代入时主动添加括号。 3.3. 按有理数运算顺序分步计算，先乘方再乘除后加减，有括号优先算括号内部。 4.4. 多层嵌套新运算时，从内层式子开始逐层代入求值，算出结果再代入外层计算。 ▌例1 定义一种新运算，则的结果为（   ） A． B．17 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，理解新定义是解题的关键． 根据新运算的定义，分别计算和，然后将二者作差即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故选：A． ▌例2定义新运算：，则的值为（   ） A． B．1 C． D．7 【答案】C 【分析】按照题目给出的运算规则，代入对应数值计算即可得到结果． 【详解】解：∵新运算规则为， ∴求时，对应，， 代入计算得： ， ∴结果为． ▌对点练1-1新定义： 若定义， 则 _______． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的四则运算，掌握知识点是解题的关键． 根据新定义下的运算，有理数的四则运算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． ▌对点练1-2定义一个新运算，若，，则______． 【答案】1或 【分析】先根据可得或，再根据题意进行分类讨论即可求解． 【详解】解：， 或， ， ①当，时， ； ②当，时， ； 综上所述：或， ▌对点练1-3a，b为有理数，若规定一种新的运算“*”，定义，请根据“*”的定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)5 【分析】（1）根据题目中给出的信息列式计算即可； （2）根据题目中给出的信息列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型 数字类规律探索 解题贴士 1. 给数列标上序号n，列出每组n和对应数字，分开不变常量与变化部分。 2. 观察相邻数差值、倍数、平方特征，推导第n项的代数式。 3. 将多组序号代入代数式求值验算，检验规律是否通用。 4. 求值时严格遵循运算顺序，负数、分数参与乘方记得加括号。 解 ▌例1有一列按规律排列的代数式：，，，，，，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知代数式的排列规律，根据规律写出第个代数式． 【详解】解：观察已知代数式可得： 第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式为 ． ▌例2我校七年级共有学生332人，如果全部排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，则最后一名学生所报的数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先找出报数的循环周期，再通过计算总人数除以周期长度得到的余数，根据余数确定最后一名学生所报的数. 【详解】解：观察报数规律可得：报数按重复出现， ∴ 该规律的循环周期长度为， ∵ 总共有名学生，计算得 ， ∴ 最后一名学生对应循环周期中的第个数， ∵ 循环周期中第个数为， ∴ 最后一名学生所报的数是. ▌对点练1-1数列，，，，，，第个数是______． 【答案】 【分析】观察数列中各项的数值与对应项数的关系，通过归纳总结得出第个数的表达式． 【详解】解：由题干可得，第个数为，第个数为，第个数为，第个数为， 依此类推，归纳可得第个数为． ▌对点练1-2观察下列等式： 第1层   第2层   第3层   第4层   … 在上面的数字宝塔中，从上往下数，数字2022在第___________层． 【答案】44 【分析】根据题目中每层第一个数字的特点，发现数字变化的特点，从而解答本题． 【详解】解：由题意可得， 第1层第一个数是， 第2层第一个数是， 第3层第一个数是， 第4层第一个数是， …… ∵，即 ∴第44层第一个数是， 第45层第一个数是， ∴在上面的数字宝塔中，从上往下数，数字2022在第44层． ▌对点练1-3找规律 (1)观察：，，，，…… 你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？ (2)利用（1）中的规律计算． (3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例． 【答案】(1) （为非负整数） (2) (3) 示例：，（答案不唯一，符合规律即可） 【分析】（1）根据个例题的计算过程找到规律，用含的代数式表示出规律即可； （2）根据（1）中的规律计算即可； （3）通过观察可知相乘的两个数的个位数相加为，其他数位上的数字相同，根据规律写出两个符合规律的算式． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 根据规律可得：（为非负整数）； （2）解：根据规律可得： ； （3）解：， （答案不唯一）． 题型 图形类规律探索 解题贴士 1. 列出图形序号n与对应数量，拆分固定不变部分和随序号变化的部分。 2. 根据数量增减规律写出第n个图形的代数式，区分等差、乘方类变化。 3. 把多组序号代入代数式求值，验证式子是否匹配图形数据。 4. 代入计算遇负数、分数、乘方时添括号，按运算顺序准确算出结果。 ▌例1按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察前三个图形中圆点的个数，发现后一个图形比前一个图形多个圆点，归纳出第个图形圆点个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：∵第①个图有个圆点， 第②个图有个圆点，， 第③个图有个圆点，， 每增加一个图形，圆点个数增加个． ∴第个图中圆点的个数为． 当时，圆点个数为． ▌例2如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按此规律，第7个图案中基本图形的个数为（     ） A．16 B．19 C．22 D．25 【答案】C 【详解】解：观察图形可知：第1个图案由个基本图形组成，； 第2个图案由个基本图形组成，； 第3个图案由个基本图形组成，； ∴第个图案中基本图形的个数为； 当时，基本图形的个数为． ▌对点练1-1观察下列图形中的数字排列规律，b，c满足的关系式为______________________． 【答案】 【分析】根据所给个数，发现三个位置数的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为，，，，， 所以； 因为，，，，， 所以， 则， 所以， 即，的关系为． ▌对点练1-2将黑白两色棋子按如图所示的规律摆成若干个图形，则第个图形中黑色棋子的个数为____________（用含n的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】根据前几个图形中黑色棋子的变化规律可得答案． 【详解】解：根据图形，第1个图形黑色棋子有个 第2个图形黑色棋子有个， 第3个图形黑色棋子有个， 第4个图形黑色棋子有个， …… 以此类推，第n个图形黑色棋子有个． ▌对点练1-31张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 【答案】(1)2 (2)22 (3) 【详解】（1）解：观察发现：每增加1张桌子，可坐人数就增加2人． （2）解：10张桌子拼在一起，相当于增加了 （张）桌子． （人） 因此如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐22人． （3）解：人 因此按这样拼下去，m张餐桌可坐人． 基础通关 1．当时，代数式的值是（     ） A．7 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ ． 2．已知，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴． 3．已知，当时，；当时，；当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先代入求得，再代入得到，最后将代入并整体代入，算出． 【详解】 解：把，代入， 得：， ∴， 把，代入， 得： ， 整理得， 把代入， 得：， 代入， 得：． 4．下列代数式中，一定是正数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对任意实数，平方和绝对值都是非负数，即取值． 【详解】解：A．，当时，，0不是正数，不符合要求； B．，当时，，0不是正数，不符合要求； C．，，对任意实数，代数式的值都大于0，一定是正数，符合要求； D．，，，当时，，是负数，不符合要求． 5．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为7，则第2026次输出的结果为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律探索，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：第1次输入：（奇数）， 第2次输入：10（偶数）， 第3次输入：5（奇数）， 第4次输入：8（偶数）， 第5次输入：4（偶数）， 第6次输入：2（偶数）， 第7次输入：1（奇数）， 从第4次开始，输出进入循环：，周期为． 由上规律可得，前3次不参与循环，从第4次到第2026次共次， ∵余， ∴第2026次输出的结果为4， 故选B． 6．将奇数，，…按图所示进行排列，各列分别用、、、、表示，则所在的行、列分别为（     ） A．行列 B．行列 C．行列 D．行列 【答案】D 【详解】解：由题意可知，奇数排列从列开始到列，再从列到列结束，每个奇数位置循环出现， 另第一个数字为，第个数字为，第个数字为， 则第个数字为， 是第个式子， 则， （行）， 可知在行列，选项符合题意． 7．已知，则代数式的值是______． 【答案】4 【分析】先将已知等式移项变形得到的值，再将所求代数式提公因式变形后，代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 8．若，则______． 【答案】 【详解】解：， ． 9．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文，对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，当明文是2，5时，密文应是______，______． 【答案】 9 【分析】根据给定的加密规则，将明文的值代入对应密文计算即可． 【详解】解：由题意得，明文，，将，代入加密规则得： 第一个密文：， 第二个密文：． 10．如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且是最大的负整数，则代数式__________． 【答案】 【分析】由倒数的定义可得，由相反数的定义可得，最大的负整数为，从而可得，整体代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，且是最大的负整数， ∴，，， ∴． 11．若，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， 解得：， ∴． 12．如图是用围棋子按某种规律摆成的一行“上”字，其中第①个图案用了6个围棋子，第②个图案用了11个围棋子，第③个图案用了16个围棋子，…，按此规律继续摆下去，第⑩个图案用了________个围棋子． 【答案】51 【分析】仔细观察每一个图形中围棋子的个数与图形序列号的关系，找到规律，利用规律列代数式即可． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图案用了（个）围棋子， 第②个图案用了（个）围棋子， 第③个图案用了（个）围棋子， 第个图案用了个围棋子， ∴第⑩个图案用了个围棋子． 13．当，时，求多项式的值． 【答案】 【分析】直接把，分别代入 计算，即可作答． 【详解】解：∵， 则 ． 14．若，求的值． 【答案】1 【分析】根据绝对值的非负性求出x，y的值，代入式子即可求解． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴， ∴． 15．已知，且，求的值． 【答案】3或9 【分析】先求出，，再根据确定的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴或， ∴或． 素养提升 1．已知a，b互为倒数，x、y互为相反数，n的绝对值是2，m是最大的负整数，则代数式的值为（     ）． A． B． C．1 D．7 【答案】C 【分析】先求出，，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵互为倒数，互为相反数， ∴，， ∵的绝对值是2， ∴， ∴， ∵是最大的负整数， ∴， ∴． 2．当代数式的值为7时，则代数式的值为（        ） A． B．0 C． D．4 【答案】D 【分析】先根据已知条件得到的值，再将所求代数式变形为含有的形式，代入计算即可. 【详解】解：∵代数式的值为7， ∴， 移项整理得， 将所求代数式变形得， 把代入上式， ∴原式 ． 3．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，……，第2026次输出的结果是(    ) A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查代数式的值及数字的变化规律，正确进行计算是解题关键，将代入，依次求出输出的结果，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，若开始输入的值为15，则： 15为奇数，故第1次输出的结果为：， 18为偶数，故第2次输出的结果为：， 9为奇数，故第3次输出的结果为：， 12为偶数，故第4次输出的结果为， 6为偶数，故第5次输出的结果为， 3为奇数，故第6次输出的结果为：， 6为偶数，故第7次输出的结果为， …… 由此可见，从第4次输出结果开始，偶数次输出的结果为6，奇数次输出的结果为3． 又因为2026是偶数， 所以第2026次输出的结果是6． 故选：C． 4．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知，右上角的数左下角的数，左下角的数左上角的数，根据右上角的数求的值，再判断出右下角的数左下角的数与右上角的数的积左上角的数，得到，即可求解． 【详解】如图， ∵左下角的数依次为，右上角的数依次为， ∴右上角的数左下角的数，即，解得：， ∵左上角的数依次为，左下角的数依次为， ∴左下角的数左上角的数，即，解得：， ∵根据()可得：， 根据()可得：， 根据()可得：， ∴推出第()个式子为：， ∴． 5．若，则_____________． 【答案】2024 【分析】利用已知条件得到，对所求多项式进行降次变形，再整体代入计算，运用整式的变形和整体代入的思想求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 6．已知互为相反数且均不为和互为倒数，，那么代数式的值为________． 【答案】或 【分析】根据，互为相反数且均不为0，，互为倒数，，可以得到，，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：，互为相反数且均不为0，，互为倒数，， ，，， 当时， ； 当时， ； 综上所述，的值为或． 7．根据下边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果_______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出，，再代入计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， 代入可得， 故答案为：． 8．园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第20个图形中花卉的总盆数为________． 【答案】440 【分析】将每个图形的花卉分为圆点和三角形两部分；圆点数量规律为第个图形有个；三角形数量规律为第个图形有个；将两部分数量相加，，得到第个图形的总盆数，再将代入即可． 【详解】解：第一部分是用圆点表示的图形，数量规律是1，2，3，4，…； 圆点数量规律为第个图形有个； 第二部分是用三角形表示的部分，数量规律是，，，，…， 三角形数量规律为第个图形有个； ∴图中的花卉盆数是， 当时，． 9．某公园的门票价格如下：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（8折），设一个旅游团共有x人，其中学生有y人． (1)用含x，y的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费． (2)如果该旅游团有46个成人，12个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？ 【答案】(1)元 (2)他们购买团体票需付的门票费是832元 【分析】（1）根据（学生总门票费+成人总门票费）得出代数式； （2）代入相关数据求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：成人门票费为元，学生门票费为元， 所以旅游团应付的总费用为元； （2）解：旅游团有46个成人，12个学生， 所以（元）． 答：他们购买团体票需付的门票费是832元． 10．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数，，，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列，，，，，，是理想数列，则 ， ； (2)若数列，，，，是理想数列，求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据理想数列的定义计算出、的值即可； （2）根据理想数列的定义可知，再利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解：由题意可知，， 又， 相邻的三个数，，符合规律， ； （2）解：数列，，，，是理想数列， ， 即， ． 迁移创新 1．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“一组有规律的数据和相关问题”的问题． (1)【规律特殊化】给出一列数据：依次把这列数据记为，则，则___________，___________（填“>”“<”或“=”）； (2)【规律一般化】这列数据的第（均大于1）个数据分别为，且，探究与之间的关系． 思路探究：， 同理___________，___________， ___________，___________． ___________ (3)【思想一般化】已知个正实数满足，其中．则___________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】(1)23；= (2) (3) 【分析】（1）由提供的数据可知后一个数比前一个数大3，由此得第n个数为，代入相关数据可得结论； （2）根据（1）得出的规律进行解答即可； （3）根据提供的规律进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可得后一个数比前一个数大3， ∴， ∴； ∴，， ∴； （2）解：， 同理，， ，． （3）解： ， ． 是不为1的正数，， ． ． 2．用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 【答案】（1）10；（2）49；（3） 【分析】本题考查图形类规律探索，找出图形变化规律是解题的关键． （1）根据前3组数据找出变化规律，利用规律求解； （2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒，由此列方程求解； （3）第n个图形有n层，每层竖放小棒数为 【详解】解：（1）由题意知，第2个图形比第1个图形多6根小棒，， 第3个图形比第2个图形多8根小棒，， 以此类推，第4个图形比第3个图形多：根小棒， 故答案为：10； （2）由（1）知第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒， 令， 解得； （3）由题意得，第n个图形竖放小棒根数为， 解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $