（寒假讲义-复习篇）专题02 列代数式与代数式求值（十大重点考点练+优选题拔尖练 共40题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册精编培优讲练

专题02 列代数式与代数式求值 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 重点知识梳理 1 重点考点讲练 3 考点一：列代数式 3 考点二：正（反）比例关系 4 考点三：用代数式表示数、图形的规律 5 考点四：代数式书写方法 6 考点五：代数式表示的实际意义 6 考点六：已知字母的值，求代数式的值 6 考点七：已知式子的值，求代数式的值 7 考点八：程序流程图与代数式求值 8 考点九：数字类规律探索 8 考点十：图形类规律探索 9 拔尖冲刺练习 11 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式.单独的一个数或字母也是代数式，如2，－3.1，m都是代数式. 2.代数式的书写要求： 类型 书写规定 示例 数与字母相乘或字母与字母相乘 通常将乘号写作“·”或省略不写.相同字母写成幂的形式 如2×m写成2·m或2m 如m×n写成m·n或mn. m·m写成 数字因数是1或－1 “1”常省略不写 如1×a写成a，写成 带分数与字母相乘 将带分数化成假分数 如应写成 除法运算 用分数线 如应写成 代数式是和或差的形式且后面有单位 把式子用括号括起来 如千克 3.理解代数式的意义：关键在于明白每个符号代表的意义以及整个式子所代表的数量关系.用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系. 4.列代数式：在解决一些数学问题与实际问题中，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式. 5.列代数式的步骤： （1）分析条件，找出数量关系 数学术语 抓住关键性词语，如“大”“小”“多”“少”“和”“差”“积”“商”“倍”等，用数学符号表示. 实际问题中常用的关系式 购买、分配类问题 费用＝单位费用×数量；总量＝单位量×数量； 总费用＝甲的单位费用×甲的数量＋乙的单位费用×乙的数量； 总数量＝甲的数量＋乙的数量 打折销售问题： 售价＝标价（原价）×折扣（如打八折，折扣就是80%） 工程问题：总工作量＝工作效率×工作时间 行程问题：路程＝速度×时间 航行问题： 顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度 增长率问题： 利息问题：利息＝本金×利率×时间 （2）用含有数、字母和运算符号的式子表示数量关系 例：边长为的正方形的面积是 一本笔记本5元，一支钢笔6元，买m本笔记本，n支钢笔，一共需要元 6.反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 7.反比例关系的表示方法：如果用字母和表示两个相关联的量，用表示它们的积（是一个确定的值，且），反比例关系可以用来表示，其中叫作比例系数. 8.两个量的变化规律：一个量随着另一个量的增大而减小. 9.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系得出的结果，叫作代数式的值. 当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同. 10.公式的应用：对于有些同类事物中的某种数量关系常常可以用公式来描述，在解决相关问题时，可以用这些公式进行计算. 常用的几何图形公式 三角形 设底边长为，高为，则面积 长方形 设长为，宽为，则周长，面积 圆 设半径为，则周长，面积 长方体 设长为，宽为，高为，则体积 柱体 设底面积为，高为，则体积 圆锥 设底面积为，高为，则体积 考点一：列代数式 【例】（25-26七年级上·山东德州·期末）代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．下列赋予实际意义的例子中不正确的是（    ） A．用元购买件单价为元的商品，剩余元 B．周长是的长方形，一边长为，另一边长为 C．数学项目式学习活动中，某班有人参加，老师把女生分为组，每组人，则表示男生人数 D．一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，那么它行驶的总距离为公里，如果总路程为公里，那么剩余路程为公里 【变式】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）我国绝大多数城市推行阶梯水价，其目的是通过“多用多付”的价格机制，直接激励节水，最终服务于水资源可持续利用与国家水安全的长远目标．居民生活用水通常按户计费，原则上以年为计量周期，重庆市某区居民生活用水收费标准如下（通常以整数计）： 第一阶梯2.5元／立方米（水量每户每年至）； 第二阶梯3.5元／立方米（水量每户每年至）； 第三阶梯5元／立方米（水量每户每年及以上）； 人口较多的家庭，若人口超过4人，则每增加1人每户每年各阶梯基础水量增加． (1)已知某户居民户内人口为3人，年用水量为，这户居民需交水费多少元？ (2)已知某户居民户内人口为6人，年用水量为，这户居民需交水费多少元？ (3)已知某户居民户内人口为3人，设年用水量为，请用含的代数式表示当在不同范围内取值时的水费． 考点二：正（反）比例关系 【例】（25-26七年级上·河北唐山·期末）某机床要加工一批零件，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工的件数 63 42 35 30 … 加工时间（） 10 15 21 … (1)这批零件共________件； (2)表中________； (3)用表示每小时加工零件的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ 【变式】（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）在数学活动课上，王老师与同学们做了这样一个实验，如图，在左侧托盘（固定）中放置一个重物，在右侧托盘（可左右移动）．中放置一个质量为的空容器，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与支点C的距离（）， 记录容器与水的总质量的数据如下： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 当托盘与支点的距离时，容器与水的总质量的值为 考点三：用代数式表示数、图形的规律 【例】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）如图，将火柴棒按如图的方式摆放，第1个图形需要6根火柴棒，第2个图形需要9根火柴棒，第3个图形需要12根火柴棒，……，按照这样的规律，第20个图形需要（   ）根火柴棒． A．57 B．60 C．63 D．66 【变式】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一个边长为1的正方形，以它的对角线为边向外作第2个正方形，再以第2个正方形的对角线为边向外作第3个正方形，以此类推，则第个正方形的面积为 ． 考点四：代数式书写方法 【例】（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点五：代数式表示的实际意义 【例】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲车从A地出发，以的速度沿公路匀速行驶，后，乙车也从A地出发，以的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶． (1)乙车出发后，甲、乙两车离开A地的路程分别为多少千米？ (2)怎样表示乙车追上了甲车？ 【变式】（25-26七年级上·江苏南通·期中）下列问题中的数量或数量关系，可以用代数式表示的是（ ）． ①一件衣服标价元，打七折后再优惠50元的实际售价 ②苹果售价为每千克7元，小天买了千克，微信里全部余额为50元（未绑定银行卡），扫码时提示余额不足，他还差的钱数 ③从长米，宽7米的长方形木板上裁去面积为50平方米的一块，剩余的面积 ④小天如果以每天7页的速度读一本书，读了天后还剩50页，这本书的总页数 A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 考点六：已知字母的值，求代数式的值 【例】（25-26七年级上·河南许昌·期末）若a，b互为相反数，，互为倒数，m的绝对值为2，则的值为（　   ）． A．或3 B．1或 C．或4 D．2或 【变式】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：如果将一个正整数m写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被m整除，则称这个正整数m为“奇妙数”． 例如：将2写在正整数n右边，新数是，需要能被2整除，因为是2的倍数，2也是2的倍数，所以能被2整除，所以2是奇妙数． （1）根据上面的定义，在正整数3，5，6中“奇妙数”为 ． （2）若“奇妙数”是一个三位数，我们可设这个三位数的“奇妙数”为y，将这个数写在正整数k的右边，得到新的正整数可表示为，则所有的三位数中的“奇妙数”有 ． 考点七：已知式子的值，求代数式的值 【例】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)判断与3是否互为“友好数”，并说明理由； (2)若有理数a与b互为“友好数”，求代数式的值． (3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；…；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值为______． 【变式】（25-26七年级上·重庆巴南·期中）一个三位自然数，百位数字比个位数字多，十位数字为，则称这个数为“二九数”，则最大的“二九数”是 ．若是“二九数”，将的百位数字作为新数的个位数字，将的十位数字作为新数的百位数字，将的个位数字作为新数的十位数字．若满足与的差是的倍数，则的值是 考点八：程序流程图与代数式求值 【例】（25-26七年级上·安徽亳州·月考）如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是 ；第次输出的结果是 ． 【变式】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)当小亮输入数时，求出输出的结果； (3)若小亮操作时输出结果是2，请你判断：小亮输入的正整数有可能是（   ）． A．　B．　C．　D． 考点九：数字类规律探索 【例】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）已知一个数列，第一项，第二项，从第三项开始，每一项都等于它前面的所有项的和，即第三项，第四项则下列说法：①；②前1005项中，系数为奇数的项有3项；③；正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式】（25-26七年级上·广西钦州·期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：____； 【深入思考】我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算，并化成幂的形式． 例如： （2）类比上面的计算过程，请将运算转化为幂的形式，要求写出转化过程； （3）利用上述规律计算：． 考点十：图形类规律探索 【例】（25-26七年级上·广东深圳·月考）【再现】：你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图： (1)这样捏合到第五次后，拉面师傅将面放入锅中煮好后（两头断裂啦）盛入碗中，此时碗中有 根面条． (2)据报道，在南京的一个美食节上，一个师傅用面粉拉出了约万根面条，请问这个师傅拉出约万根面条大概需要拉 次．（已知） (3)若一张纸片毫米的厚度，我们住的住宅楼的高度约为米，那么对折次后约有 层楼房高？（结果取整数，参考数据：） (4)将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到条折痕，那么对折次可以得到 条折痕．如果对折次，可以得到 条折痕． (5)按照如图方式对折次后，用剪子在中间将所有纸片剪断，请问，总共有 张纸片． (6) 【变式】（25-26七年级上·广东深圳·月考）在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图，为了计算的值，我们构造以下图形共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图，添加图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得，用此方法，可求得 ． (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则 ， ； ② （用含的代数式表示）． (3)小华在课后思考连续的偶数的和如何借助图形来找到规律，他做了如下尝试： 请你画出第四个图，并总结出规律： ． (4)如图是一个边长为的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）已知，则代数式的值为 （     ） A．13 B．10 C．9 D．8 2．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个运算程序，若输入，则输出的结果为（   ） A．10 B．15 C．17 D．19 3．（25-26七年级上·广东广州·期末）下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度： B．这个长方形的面积： C．购买2个单价为元的本子和3支单价为2元的铅笔的总费用 D．与6的和的两倍 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，将图1中的正六边形进行分割得到图2，再将图2中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图3，再将图3中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，其中图1中有1个正六边形，图2中有4个正六边形，图3中有7个正六边形，则图n中的正六边形共有（   ）个． A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，两摞规格完全相同的练习册整齐地叠放在桌面上，若有本这种规格的练习册以同样的摆放方式放在桌面上，则这摞练习册顶部距离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·河南周口·期末）按数字规律填空： 2，， 6，，10， ，14， …． 7．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，y是最大的负整数，则的值是 ． 8．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图所示，用黑白两色棋子摆图形．依此规律，第108个图形中黑色棋子的个数为 ． 9．（25-26七年级上·山东临沂·期末）年元旦期间，城市广场进行无人机表演，其中有一个设计由如图所示图案逐步演变而成，其中一个圆圈代表一架无人机，代表第次演变过程，代表第次演变后的无人机的数量．仔细观察下列演变过程，当时，则的值为 ． 10．（25-26七年级上·山西临汾·期末）已知互为倒数，互为相反数，．则的值为 ． 11．（25-26七年级上·河南许昌·期末）已知x的相反数是2，y的倒数是，，求的值． 12．（25-26七年级上·广东河源·月考）已知：与互为相反数，与互为倒数，的立方是125，是最大的负整数．求：的值． 13．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）老师在黑板上出示了下面的5个未计算完的有理数． ，，，， (1)求这5个数的和； (2)在这5个数中，最大的数是m，最小的数是n．求的值． 14．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，在一张宽为10，长为20的长方形纸片的四个角剪去四个同样大小的小正方形，可以折成一个无盖的长方体，且无盖长方体的底面为长方形（纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）． (1)若设剪去小正方形的边长为，则折成无盖长方体纸盒的底面长为_________，宽为_________，体积为_________（用含x的代数式表示，结果无需化简）； (2)剪去小正方形的边长分别取时，折成无盖长方体的容积如下表，表中_________，_________，观察表格数据，当剪去的小正方形的边长变大时，折成的无盖长方体盒子容积的变化情况是_________． 剪去小正方形的边长 1 2 3 4 容积/ 144 a b 96 15．（25-26七年级上·安徽六安·期末）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题． ，……； (1)请写出第n个式子：　 　； (2)计算：． 16．（25-26七年级上·云南文山·期末）如图，正方形的边长为． (1)根据图中数据，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若满足，求出阴影部分的面积． 17．（25-26七年级上·江西赣州·期末）阅读材料： 在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A在点B的右边，则线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．请用这个知识解答下面的问题． 问题解决： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示 (1)点A表示的数为____，点B表示的数为____，点C表示的数为____； (2)若将点A向右移动，则移动后的点A表示的数为____（用含x的代数式表示）； (3)若点B以每秒的速度沿数轴向左运动，同时A、C两点分别以每秒、的速度沿数轴向右运动．设运动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 18．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，将边长为的正方形第一次划分得到图，图中共有个正方形，其中右上角正方形的边长为原正方形边长的一半；第二次划分得到图，图中共有个正方形，其中右上角正方形的边长为正方形边长的一半；第三次划分得到图；；如此下去． 将划分次数和每次划分后正方形总个数进行整理，如表： 划分次数 正方形总个数 (1)上表中________，_________； (2)按上述划分方式，能否得到正方形的总数为个？为什么？ (3)第次划分后，右上角最小正方形的面积为_________． 19．（25-26七年级上·全国·期末）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一套西装送一条领带；     方案二：西装和领带都按定价的90%付款． 现某客户要到该商场购买西装20套，领带条()． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元．(用含的代数式表示)若该客户按方案二购买，需付款______元．(用含的代数式表示) (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法． 20．（25-26七年级上·四川眉山·期末）阅读理解 定义新运算“和乘法”，其运算用符号“▼”表示，“”的运算法则为： ①其运算结果的绝对值为绝对值与绝对值的和，②其运算结果的正负由，的正负确定，当a，b同号时，“和乘法”的运算结果为正；当a，b异号时，“和乘法”的运算结果为负；当a，b中有一个为0时，“和乘法”的运算结果与另一个数相等；几个数的“和乘法”运算次序与有理数运算相同，按先后次序，如有括号先计算括号里的运算． 如：，又如：，． (1)根据“和乘法”法则计算：__________； (2)根据“和乘法”法则，计算这“连续”的2026个整数的运算结果： (3)若，求的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 列代数式与代数式求值 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 重点知识梳理 1 重点考点讲练 3 考点一：列代数式 3 考点二：正（反）比例关系 5 考点三：用代数式表示数、图形的规律 7 考点四：代数式书写方法 8 考点五：代数式表示的实际意义 9 考点六：已知字母的值，求代数式的值 10 考点七：已知式子的值，求代数式的值 12 考点八：程序流程图与代数式求值 14 考点九：数字类规律探索 17 考点十：图形类规律探索 19 拔尖冲刺练习 23 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式.单独的一个数或字母也是代数式，如2，－3.1，m都是代数式. 2.代数式的书写要求： 类型 书写规定 示例 数与字母相乘或字母与字母相乘 通常将乘号写作“·”或省略不写.相同字母写成幂的形式 如2×m写成2·m或2m 如m×n写成m·n或mn. m·m写成 数字因数是1或－1 “1”常省略不写 如1×a写成a，写成 带分数与字母相乘 将带分数化成假分数 如应写成 除法运算 用分数线 如应写成 代数式是和或差的形式且后面有单位 把式子用括号括起来 如千克 3.理解代数式的意义：关键在于明白每个符号代表的意义以及整个式子所代表的数量关系.用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系. 4.列代数式：在解决一些数学问题与实际问题中，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式. 5.列代数式的步骤： （1）分析条件，找出数量关系 数学术语 抓住关键性词语，如“大”“小”“多”“少”“和”“差”“积”“商”“倍”等，用数学符号表示. 实际问题中常用的关系式 购买、分配类问题 费用＝单位费用×数量；总量＝单位量×数量； 总费用＝甲的单位费用×甲的数量＋乙的单位费用×乙的数量； 总数量＝甲的数量＋乙的数量 打折销售问题： 售价＝标价（原价）×折扣（如打八折，折扣就是80%） 工程问题：总工作量＝工作效率×工作时间 行程问题：路程＝速度×时间 航行问题： 顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度 增长率问题： 利息问题：利息＝本金×利率×时间 （2）用含有数、字母和运算符号的式子表示数量关系 例：边长为的正方形的面积是 一本笔记本5元，一支钢笔6元，买m本笔记本，n支钢笔，一共需要元 6.反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 7.反比例关系的表示方法：如果用字母和表示两个相关联的量，用表示它们的积（是一个确定的值，且），反比例关系可以用来表示，其中叫作比例系数. 8.两个量的变化规律：一个量随着另一个量的增大而减小. 9.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系得出的结果，叫作代数式的值. 当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同. 10.公式的应用：对于有些同类事物中的某种数量关系常常可以用公式来描述，在解决相关问题时，可以用这些公式进行计算. 常用的几何图形公式 三角形 设底边长为，高为，则面积 长方形 设长为，宽为，则周长，面积 圆 设半径为，则周长，面积 长方体 设长为，宽为，高为，则体积 柱体 设底面积为，高为，则体积 圆锥 设底面积为，高为，则体积 考点一：列代数式 【例】（25-26七年级上·山东德州·期末）代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．下列赋予实际意义的例子中不正确的是（    ） A．用元购买件单价为元的商品，剩余元 B．周长是的长方形，一边长为，另一边长为 C．数学项目式学习活动中，某班有人参加，老师把女生分为组，每组人，则表示男生人数 D．一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，那么它行驶的总距离为公里，如果总路程为公里，那么剩余路程为公里 【答案】B 【思路引导】本题考查代数式，利用总价与单价数量关系、长方形周长公式、路程与速度时间关系等分别列出代数式即可．根据题意写出代数式是解题的关键． 【完整解答】解：A．∵件单价为元的商品总价为元，总钱数为元， ∴剩余钱数为元， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意； B．∵长方形周长公式为， ∴当周长时，长+宽， ∵一边长为， ∴另一边长应为， 故该选项中赋予实际意义的例子不正确，符合题意； C．∵总人数为人，老师把女生分为组，每组人，则女生人数为人， ∴男生人数为人， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意； D．∵总路程为50公里，一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，则已行驶路程为公里， ∴剩余路程为公里， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意． 故选：B． 【变式】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）我国绝大多数城市推行阶梯水价，其目的是通过“多用多付”的价格机制，直接激励节水，最终服务于水资源可持续利用与国家水安全的长远目标．居民生活用水通常按户计费，原则上以年为计量周期，重庆市某区居民生活用水收费标准如下（通常以整数计）： 第一阶梯2.5元／立方米（水量每户每年至）； 第二阶梯3.5元／立方米（水量每户每年至）； 第三阶梯5元／立方米（水量每户每年及以上）； 人口较多的家庭，若人口超过4人，则每增加1人每户每年各阶梯基础水量增加． (1)已知某户居民户内人口为3人，年用水量为，这户居民需交水费多少元？ (2)已知某户居民户内人口为6人，年用水量为，这户居民需交水费多少元？ (3)已知某户居民户内人口为3人，设年用水量为，请用含的代数式表示当在不同范围内取值时的水费． 【答案】(1)这户居民需交水费元. (2)这户居民需交水费950元 (3)见解析 【思路引导】本题考查列代数式、有理数的四则混合运算的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据第二阶梯收费标准列式计算即可； （2）先求得第一阶梯基础水量，再根据第一阶梯收费标准列式计算即可； （3）根据各阶梯收费标准分别列代数式即可求解． 【完整解答】（1）解：水费（元）， 答：这户居民需交水费元； （2）解：由题意知，居民户内人口为人，第一阶梯基础水量（）， 年用水量第一阶梯基础水量， 水费=（元） 答：这户居民需交水费950元； （3）解：当时， 水费元； 当时， 水费元； 当时， 水费元． 考点二：正（反）比例关系 【例】（25-26七年级上·河北唐山·期末）某机床要加工一批零件，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工的件数 63 42 35 30 … 加工时间（） 10 15 21 … (1)这批零件共________件； (2)表中________； (3)用表示每小时加工零件的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ 【答案】(1) (2) (3)；与成反比例关系． 【思路引导】本题考查了反比例函数的实际应用，合理从表格中获取相关信息是解题的关键． （1）根据工作时间工作效率总数解答即可； （2）根据工作时间工作效率总数解答即可； （3）列出函数式子判断即可． 【完整解答】（1）解：（件）， 故答案为：件； （2）解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴与成反比例关系． 【变式】（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）在数学活动课上，王老师与同学们做了这样一个实验，如图，在左侧托盘（固定）中放置一个重物，在右侧托盘（可左右移动）．中放置一个质量为的空容器，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与支点C的距离（）， 记录容器与水的总质量的数据如下： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 当托盘与支点的距离时，容器与水的总质量的值为 【答案】 【思路引导】本题主要考查反比例关系的应用，根据各数量之间的关系写出关系式是解题的关键．根据表格数据可得与的乘积不变，成反比例，据此即可求解． 【完整解答】解：由表格可知，与的乘积不变，成反比例，， ∴当时，容器与水的总质量的值为， 故答案为：． 考点三：用代数式表示数、图形的规律 【例】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）如图，将火柴棒按如图的方式摆放，第1个图形需要6根火柴棒，第2个图形需要9根火柴棒，第3个图形需要12根火柴棒，……，按照这样的规律，第20个图形需要（   ）根火柴棒． A．57 B．60 C．63 D．66 【答案】C 【思路引导】仔细观察发现每增加一个正方形，其火柴棒根数增加3根，将此规律用代数式表示出来即可． 本题主要考查图形的变化规律，解题的关键在于通过题中图形的变化情况归纳总结出普遍规律． 【完整解答】解：观察发现，第1个图形需要6根火柴棒， 第2个图形需要9根火柴棒， 第3个图形需要12根火柴棒， ……， 由该搭建方式可得出规律：图形标号每增加1，火柴棒的个数增加3， 所以可以得出规律：搭第n个图形需要火柴棒根数为：， 当时，， 即第20个图形需要63根火柴棒． 故选：C． 【变式】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一个边长为1的正方形，以它的对角线为边向外作第2个正方形，再以第2个正方形的对角线为边向外作第3个正方形，以此类推，则第个正方形的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查图形的规律，熟练掌握此知识点是做题的关键．根据前几个正方形的面积找出规律即可． 【完整解答】解：第1个正方形的边长为1，面积为， 第2个正方形的边长为，面积为， 第3个正方形的边长为，面积为， 发现规律：第个正方形的面积为． 故答案为：． 考点四：代数式书写方法 【例】（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题考查代数式的定义、书写规范及含义的理解，逐一判断各说法的正确性． 【完整解答】∵ 代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，单独的数字或字母也是代数式， ∴ 说法①中“a是代数式”正确，但“1不是代数式”错误，故①错误； ∵ 带分数在代数式中应化为假分数，应写为， ∴ 表示a，b，的积的代数式应为，而非，故②错误； ∵ 代数式的运算顺序是先求差再求商， ∴ 其含义是a与4的差除以b的商，故③正确； ∵ “两数平方的差”指，“两数的积的4倍”指， ∴ 它们的和应为，而， 两者不等，故④错误． 故选：A． 【变式】（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【完整解答】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个， 故选：． 考点五：代数式表示的实际意义 【例】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲车从A地出发，以的速度沿公路匀速行驶，后，乙车也从A地出发，以的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶． (1)乙车出发后，甲、乙两车离开A地的路程分别为多少千米？ (2)怎样表示乙车追上了甲车？ 【答案】(1)甲车离开A地的路程为千米，乙车离开A地的路程为千米． (2)当时，表示乙车追上了甲车． 【思路引导】本题考查行程问题中的路程计算和追及问题． （1）根据速度和时间分别计算两车的路程； （2）通过两车路程相等表示追及条件． 【完整解答】（1）解：甲车先出发，乙车出发x小时后， 甲车行驶时间为小时，路程为千米； 乙车行驶时间为x小时，路程为千米． 答：甲车离开A地的路程为千米，乙车离开A地的路程为千米； （2）解：乙车追上甲车时，两车离开A地的路程相等，即甲车路程等于乙车路程， ∴． 答：当时，表示乙车追上了甲车． 【变式】（25-26七年级上·江苏南通·期中）下列问题中的数量或数量关系，可以用代数式表示的是（ ）． ①一件衣服标价元，打七折后再优惠50元的实际售价 ②苹果售价为每千克7元，小天买了千克，微信里全部余额为50元（未绑定银行卡），扫码时提示余额不足，他还差的钱数 ③从长米，宽7米的长方形木板上裁去面积为50平方米的一块，剩余的面积 ④小天如果以每天7页的速度读一本书，读了天后还剩50页，这本书的总页数 A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】本题考查代数式的实际意义，需要逐一分析每个描述中的数量关系是否与代数式一致． 【完整解答】解：①∵打七折后售价为元，再优惠50元，实际售价为元，与不符； ②∵苹果总价为元，余额50元，还差的钱数为元，符合； ③∵长方形面积为平方米，裁去50平方米，剩余面积为平方米，符合； ④∵已读页，还剩50页，总页数为页，与不符． ∴只有②和③符合， 故选C． 考点六：已知字母的值，求代数式的值 【例】（25-26七年级上·河南许昌·期末）若a，b互为相反数，，互为倒数，m的绝对值为2，则的值为（　   ）． A．或3 B．1或 C．或4 D．2或 【答案】A 【思路引导】本题考查相反数、倒数和绝对值的概念，熟练掌握相关知识是关键． 利用相反数和倒数的性质简化表达式，再结合绝对值的定义分情况计算． 【完整解答】解：∵a，b互为相反数，，互为倒数， ∴，， ∴， ∵m的绝对值为2， ∴， 当时，原式； 当时，原式． 故选：A． 【变式】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：如果将一个正整数m写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被m整除，则称这个正整数m为“奇妙数”． 例如：将2写在正整数n右边，新数是，需要能被2整除，因为是2的倍数，2也是2的倍数，所以能被2整除，所以2是奇妙数． （1）根据上面的定义，在正整数3，5，6中“奇妙数”为 ． （2）若“奇妙数”是一个三位数，我们可设这个三位数的“奇妙数”为y，将这个数写在正整数k的右边，得到新的正整数可表示为，则所有的三位数中的“奇妙数”有 ． 【答案】 5 100，125，200，250，500 【思路引导】本题考查了新定义的应用和整数的特点，解题的关键是熟练掌握新定义进行解题． （1）由奇妙数”的定义，分别对3、5、6三个数进行判断即可； （2）由题意，根据“奇妙数”的定义通过分析，即可得到答案． 【完整解答】解：（1）根据题意，把3写在1的右边，得13，写在2的右边得23，……由于13、23、33，都不能被3整除，故3不是“奇妙数”；把6写在1的右边，得16，写在2的右边得26，……由于16、26，都不能被6整除，故6不是“奇妙数”；把5写在1的右边，得15，写在2的右边得25，……由于个位上是5的数都能被5整除，故5是“奇妙数”； 故答案为：5； （2）根据题意，这个三位数的“奇妙数”为， 则， ∴为正整数， ∵k为正整数， ∴为正整数， ∴y的可能值为：100，125，200，250，500； 故答案为：100，125，200，250，500． 考点七：已知式子的值，求代数式的值 【例】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)判断与3是否互为“友好数”，并说明理由； (2)若有理数a与b互为“友好数”，求代数式的值． (3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；…；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值为______． 【答案】(1)是，见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查了对新定义“友好数”的理解与应用、代数式的化简求值以及数字循环规律的探究，解题的关键是紧扣“友好数”的定义（两数积等于两数和）和代数式化简方法及循环规律求解各问． （1）根据“友好数”定义，分别计算与3的和、积，若两者相等则互为“友好数”； （2）由“友好数”定义得，将其代入代数式展开化简，消去未知量即可求值； （3）从开始，依次求出至，找出数字循环周期，用2025除以周期得余数，根据余数确定对应的值． 【完整解答】（1）解：与3互为“友好数”，理由如下： ，， ， 与3互为“友好数”； （2）解：与互为“友好数”， ； ∴ ； （3）解：当时， 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：； 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：； 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：． 观察得：数列以为周期循环，周期为6． ， ． 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·重庆巴南·期中）一个三位自然数，百位数字比个位数字多，十位数字为，则称这个数为“二九数”，则最大的“二九数”是 ．若是“二九数”，将的百位数字作为新数的个位数字，将的十位数字作为新数的百位数字，将的个位数字作为新数的十位数字．若满足与的差是的倍数，则的值是 【答案】 【思路引导】本题考查了代数式的实际应用，根据题意列出代数式是解题的关键． 根据题意，百位上最大的数字为，即可得到最大的“二九数”；设的个位数字为 ，求出，转化成，即是的倍数，即可求出的值，再代入运算即可． 【完整解答】解：最大的“二九数”百位数字最大为，则个位数字为，十位数字为，故为； 设的个位数字为 ，则百位数字为，十位数字为， ∴，， ∴与的差为：， ∵差是的倍数，且， ∴是的倍数， ∵， ∴时，符合题意 则， 故答案为：；． 考点八：程序流程图与代数式求值 【例】（25-26七年级上·安徽亳州·月考）如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是 ；第次输出的结果是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查规律探索，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．本题需要根据给定的运算程序，按照输入值的奇偶性进行计算，找出输出结果的规律，进而求出指定次数的输出结果． 【完整解答】解：第一次输入计算，已知开始输入， ∵2是偶数，根据运算程序，当为偶数时，输出， ∴第一次输出的结果为； 第二次输入计算，将第一次输出的结果1再次输入， ∵1是奇数，根据运算程序，当为奇数时，输出， ∴第二次输出的结果为； 第三次输入计算，将第二次输出的结果输入， ∵是偶数， ∴第三次输出的结果为； 第四次输入计算，将第三次输出的结果输入， ∵是奇数， ∴第四次输出的结果为； 第五次输入计算，将第四次输出的结果输入， ∵是偶数， ∴第五次输出的结果为， 发现规律，从第二次输出开始，结果按照，，循环出现； ∴第6次输出结果为； 计算第次输出结果， ∵， ∴第次输出的结果是循环节，，的最后一个，即． 故答案为：，． 【变式】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)当小亮输入数时，求出输出的结果； (3)若小亮操作时输出结果是2，请你判断：小亮输入的正整数有可能是（   ）． A．　B．　C．　D． 【答案】(1)1， (2)0 (3)A 【思路引导】本题考查程序流程图（数值转换机）的理解与应用，有理数的运算，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据流程图，分别将输入值1和3按照流程计算即可； （2）将输入值按照流程图逐步计算； （2）设输入正整数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断：由题意，若，则输出为，若，则输出为，根据输出为2，分类讨论并结合选项判断即可． 【完整解答】（1）解：当输入为1时， ，取相反数得， 非正，取绝对值得1， 故输出为1； 当输入为3时，， 执行， ，取相反数得2， 2为正，取倒数得， 故输出为． 故答案为：1， ； （2）解：当输入为时，， ， ， ， 取相反数得0， 0非正，取绝对值得0， 故输出为0； （3）解：设输入正整数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断： 若，由题意则输出为， 若，由题意则输出为． 由题意输出为2： 若，则，即经过数次减5后等于2，故（为非负整数）． 若，则，解得，不是整数，舍去． ∴输入满足， 选项中的数除以5的余数分别为： ， ， ， ， 只有满足条件． 故选：A． 考点九：数字类规律探索 【例】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）已知一个数列，第一项，第二项，从第三项开始，每一项都等于它前面的所有项的和，即第三项，第四项则下列说法：①；②前1005项中，系数为奇数的项有3项；③；正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】先根据数列定义计算前几项，推导数列系数与前n项和的规律，再逐一验证三个说法． 本题考查了数列的特点，正确理解数列的特点是解题的关键． 【完整解答】解：，， ， ， ， 故①正确； ∵ ∴即当时，从第4项起，每一项系数是前一项的2倍，均为偶数， 只有，的系数为奇数，有2项， 故② 错误 设前n项和为 ∵， 当时，，且， ∴ 即从起，前n项和是前项和的2倍， ∴ 当时，， 故③正确 综上，正确的说法有2个， 故选：C． 【变式】（25-26七年级上·广西钦州·期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：____； 【深入思考】我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算，并化成幂的形式． 例如： （2）类比上面的计算过程，请将运算转化为幂的形式，要求写出转化过程； （3）利用上述规律计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，除方的运算法则，解题的关键在于正确理解除方的运算法则． （1）根据除方的运算法则，以及有理数的乘除运算法则计算求解，即可解题； （2）根据除方的运算法则，以及有理数乘方整理求解，即可解题； （3）根据除方的运算法则，以及含乘方的有理数的混合运算法则计算求解，即可解题． 【完整解答】解：（1）， 故答案为：． （2） ． （3）原式 ． 考点十：图形类规律探索 【例】（25-26七年级上·广东深圳·月考）【再现】：你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图： (1)这样捏合到第五次后，拉面师傅将面放入锅中煮好后（两头断裂啦）盛入碗中，此时碗中有 根面条． (2)据报道，在南京的一个美食节上，一个师傅用面粉拉出了约万根面条，请问这个师傅拉出约万根面条大概需要拉 次．（已知） (3)若一张纸片毫米的厚度，我们住的住宅楼的高度约为米，那么对折次后约有 层楼房高？（结果取整数，参考数据：） (4)将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到条折痕，那么对折次可以得到 条折痕．如果对折次，可以得到 条折痕． (5)按照如图方式对折次后，用剪子在中间将所有纸片剪断，请问，总共有 张纸片． (6) 【答案】(1) (2) (3) (4)， (5) 【思路引导】本题考查有理数的乘方运算，规律探究与归纳，归纳规律和通用公式是解题关键． （1）利用每次捏合后面条数量翻倍的规律，第次捏合后数量为，代入计算； （2）用乘方近似关系，推导，得出拉万根面条需要次； （3）先计算纸张对折次后的厚度，换算单位后除以楼房层高，取整数得到楼层数； （4）通过前几次对折的折痕数归纳出规律，代入求出对折次的折痕数； （5）分析对折次后剪断的纸片数与层数的关系，归纳出纸片数为． 【完整解答】（1）解：由图可知，第一次捏合，面条数为根，第二次捏合，面条数为根，第三次捏合，面条数为根， 可得，第次捏合，面条数为根， 则第五次捏合，面条数为根． 故答案为：． （2）解：已知第次捏合，面条数为根， 令， ∵ ∴， 即， ∴第次捏合时，面条数约为万根． 故答案为：． （3）解：根据题意可知，对折次后，纸张的厚度为毫米， 由，则纸张的厚度可表示毫米， 毫米可换算为米， 住宅楼的高度约为米，则对折后的纸相当于楼层数为层． 故答案为：． （4）解：对折一次，有条折痕， 对折两次，有条折痕， 对折三次，有条折痕， 可知对折次，有条折痕， 则第五次折叠，有条折痕． 故答案为：，． （5）解：第一次折叠有层纸片，用剪子在中间剪开会有张纸条，即张纸片； 第二次折叠有层纸片，用剪子在中间剪开会有张纸条，即张纸片； 第三次折叠有层纸片，用剪子在中间剪开会有张纸条，即张纸片； 可知第次折叠有层纸片，用剪子在中间剪开会有张纸片． 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·广东深圳·月考）在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图，为了计算的值，我们构造以下图形共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图，添加图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得，用此方法，可求得 ． (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则 ， ； ② （用含的代数式表示）． (3)小华在课后思考连续的偶数的和如何借助图形来找到规律，他做了如下尝试： 请你画出第四个图，并总结出规律： ． (4)如图是一个边长为的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） 【答案】(1) (2)，， (3) (4) 【思路引导】本题考查规律探究与归纳，代数式表示规律，掌握数形结合思想是解题关键． （1）用补全图形的方法，将数列的和转化为矩形的点数进行计算； （2）观察点阵中点的数量规律，归纳出从开始的连续奇数之和等于首末项之和的一半的平方； （3）通过图形面积的累加，归纳出连续偶数之和等于项数与项数加的乘积； （4）用正方形面积的连续三等分与截取，将数列的和转化为总面积减去最后剩余图形的面积． 【完整解答】（1）解：根据题意可知，若要计算，添出另一半后的图形有个点， 则． 答：． （2）解：根据题意可知， ， ， ， ，， ． 答：，，． （3）解：第1图：， 第2图：， 第3图：， 则． 答：． （4）解：正方形边长为，则其面积为，求可画图如下： 第一步：将正方形三等分，取其中份，面积为； 第二步：将剩下的正方形再三等分，取其中份，面积为； 第三步：将剩下的正方形再三等分，取其中份，面积为； 第四步：将剩下的​正方形再三等分，取其中份，面积为， 这四部分面积之和即为所求式子的值，而它等于正方形总面积减去最后剩下的一小块面积 ， 则． 答：． 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）已知，则代数式的值为 （     ） A．13 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，把所求式子变形为，再利用整体代入法求解即可． 【完整解答】解：∵， ∴ ， 故选：A． 2．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个运算程序，若输入，则输出的结果为（   ） A．10 B．15 C．17 D．19 【答案】D 【思路引导】本题考查了程序图问题． 将代入程序图计算，若结果输出，若结果，将结果再次代入程序图计算即可． 【完整解答】解：，输入得：； ，输入得：； ，输入得：，输出． 故选：D． 3．（25-26七年级上·广东广州·期末）下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度： B．这个长方形的面积： C．购买2个单价为元的本子和3支单价为2元的铅笔的总费用 D．与6的和的两倍 【答案】C 【思路引导】本题考查了列代数式，理解题意并列出代数式是解题的关键． 列出代数式，逐项判断即可． 【完整解答】解：A：整条线段的长度为：，故该选项不符合题意； B：长方形的面积为：，故该选项不符合题意； C：购买2个单价为元的本子和3支单价为2元的铅笔的总费用：，故该选项符合题意； D：与6的和的两倍：，故该选项不符合题意． 故选：C ． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，将图1中的正六边形进行分割得到图2，再将图2中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图3，再将图3中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，其中图1中有1个正六边形，图2中有4个正六边形，图3中有7个正六边形，则图n中的正六边形共有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了规律问题，列代数式，根据图象或数的关系找出规律是解题关键． 根据图象可知，后一个图形比前一个图形多3个正六边形，据此找到关于n的关系即可． 【完整解答】解：由图象可知，后一个图形比前一个图形多3个正六边形， 对于第1个图形，； 对于第2个图形，； 对于第3个图形，； 故对于第n个图形，正六边形的个数有， 故选： C． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，两摞规格完全相同的练习册整齐地叠放在桌面上，若有本这种规格的练习册以同样的摆放方式放在桌面上，则这摞练习册顶部距离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了列代数式和有理数混合运算的实际应用，理解题意列出正确的代数式是解题的关键． 根据练习册的厚度差除以数量即可求得每本练习册的厚度，再根据图形求得课桌的高度，进而求得这摞练习册的顶部距离地面的高度． 【完整解答】解：∵每本练习册的厚度为：， 课桌的高度为：， ∴这摞练习册的顶部距离地面的高度为：， 故选：A． 6．（25-26七年级上·河南周口·期末）按数字规律填空： 2，， 6，，10， ，14， …． 【答案】 【思路引导】观察序列的符号和绝对值，发现符号交替变化，绝对值是连续的偶数． 本题考查了规律的探索，正确发现规律是解题的关键． 【完整解答】解： 序列的绝对值为2，4，6，8，10，12，14，即第n项的绝对值为； 符号由n的奇偶性决定，n为奇数时为正，n为偶数时为负； 第6项，此时，绝对值为12，符号为负， 故为； 故答案为：． 7．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，y是最大的负整数，则的值是 ． 【答案】4或 【思路引导】本题考查了相反数的定义、倒数的定义、绝对值的定义、有理数的混合运算． 先根据题意得出，再代入进行计算即可． 【完整解答】解：∵互为相反数，互为倒数，的绝对值是3，是最大的负整数， ∴， ∴当时， ， 当时， ． 故答案为：4或． 8．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图所示，用黑白两色棋子摆图形．依此规律，第108个图形中黑色棋子的个数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查图形的变化规律，列代数式，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【完整解答】解：观察发现：第一个图形有4个黑色棋子，， 第二个图形有7个黑色棋子，， 第三个图形有10个黑色棋子，， …， 第个图形有个黑色棋子， 那么第个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·山东临沂·期末）年元旦期间，城市广场进行无人机表演，其中有一个设计由如图所示图案逐步演变而成，其中一个圆圈代表一架无人机，代表第次演变过程，代表第次演变后的无人机的数量．仔细观察下列演变过程，当时，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查图形规律探究，代数式表示规律，有理数的混合运算，准确归纳规律是解题关键． 先观察图案演变从而归纳出无人机数量的增长规律，再代入计算得出结果． 【完整解答】解：据图可知， 第个图案有个无人机， 第个图案有个无人机， 第个图案有个无人机， 第个图案有个无人机， 则第个图案有个无人机， 故第个图案有个无人机， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·山西临汾·期末）已知互为倒数，互为相反数，．则的值为 ． 【答案】0或 【思路引导】本题考查了倒数，相反数，绝对值，代数式求值，掌握相关概念是关键． 互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，则，，再由绝对值的定义可得，据此代入计算即可． 【完整解答】解：根据题意可知，，； ， ， 或， 故答案为：0或． 11．（25-26七年级上·河南许昌·期末）已知x的相反数是2，y的倒数是，，求的值． 【答案】或 【思路引导】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义，有理数的混合运算． 根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义求出的值，进而代入计算即可． 【完整解答】解：∵x的相反数是2，y的倒数是，， ∴， 当时， ； 当时， ． 12．（25-26七年级上·广东河源·月考）已知：与互为相反数，与互为倒数，的立方是125，是最大的负整数．求：的值． 【答案】20 【思路引导】此题考查了代数式求值，相反数，倒数，立方以及负整数的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 利用相反数，倒数，立方的性质以及负整数的定义求出，，x和y的值，然后代入原式计算即可得到结果． 【完整解答】解：∵与互为相反数，与互为倒数，的立方是125，是最大的负整数， ∴， ∴， ∴ ． 13．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）老师在黑板上出示了下面的5个未计算完的有理数． ，，，， (1)求这5个数的和； (2)在这5个数中，最大的数是m，最小的数是n．求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，比较有理数的大小，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）首先列出算式，计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （2）分别求出五个数，得到，，然后代入求解即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：∵，，，，， ∵最大的数是m，最小的数是n， ∴，， ∴ ． 14．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，在一张宽为10，长为20的长方形纸片的四个角剪去四个同样大小的小正方形，可以折成一个无盖的长方体，且无盖长方体的底面为长方形（纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）． (1)若设剪去小正方形的边长为，则折成无盖长方体纸盒的底面长为_________，宽为_________，体积为_________（用含x的代数式表示，结果无需化简）； (2)剪去小正方形的边长分别取时，折成无盖长方体的容积如下表，表中_________，_________，观察表格数据，当剪去的小正方形的边长变大时，折成的无盖长方体盒子容积的变化情况是_________． 剪去小正方形的边长 1 2 3 4 容积/ 144 a b 96 【答案】(1)，， (2)192，168，先变大后变小 【思路引导】本题主要考查了列代数式，代数式求值等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意确定底面长和宽，然后计算其体积即可； （2）分别将，代入并计算，即可确定的值，比较表格中的数据，即可获得答案． 【完整解答】（1）解：若设剪去小正方形的边长为， 则折成无盖长方体纸盒的底面长为 ，宽为 ， 体积为 ． 故答案为：，，； （2）剪去小正方形的边长分别取时， ， ， 将表格填写完整，如下所示， 剪去小正方形的边长 1 2 3 4 容积/ 144 192 168 96 观察表格数据，当剪去的小正方形的边长变大时，折成的无盖长方体盒子容积的变化情况是先变大后变小． 故答案为：192，168，先变大后变小． 15．（25-26七年级上·安徽六安·期末）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题． ，……； (1)请写出第n个式子：　 　； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】此题考查了数字规律题，总结出计算规律是解题的关键． 根据已知算式找到规律即可； 根据已知算式的特点变形后计算即可． 【完整解答】（1）解：∵，…… ∴第n个式子为， 故答案为： （2） ． 16．（25-26七年级上·云南文山·期末）如图，正方形的边长为． (1)根据图中数据，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若满足，求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据题意列代数式即可； （2）根据条件先求出的值，再代入代数式计算即可． 本题考查了列代数式及求值，非负数的性质，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键． 【完整解答】（1）解：由条件得； （2）解：， ， ， ， ． 17．（25-26七年级上·江西赣州·期末）阅读材料： 在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A在点B的右边，则线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．请用这个知识解答下面的问题． 问题解决： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示 (1)点A表示的数为____，点B表示的数为____，点C表示的数为____； (2)若将点A向右移动，则移动后的点A表示的数为____（用含x的代数式表示）； (3)若点B以每秒的速度沿数轴向左运动，同时A、C两点分别以每秒、的速度沿数轴向右运动．设运动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的值是不会随着t的变化而改变，见详解 【思路引导】本题考查了数轴上两点的距离，数轴上点的移动规律，掌握数轴上点的移动规则是解题的关键． （1）根据数轴“左减右加”的移动规则，可直接得出A、B、C三点表示的数； （2）已知点表示的数为，向右移动x个单位，依据“右移加”，在原数基础上加x，即可得到移动后点表示的数； （3）先用含t的式子表示出t秒后各动点坐标，再利用“数轴两点距离右侧数−左侧数”求出，对化简即可． 【完整解答】（1）解：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：; （2）解：将点A向右移动，则移动后的点A表示的数为， 故答案为： （3）解：的值是不会随着t的变化而改变．理由如下： 点A：，点B：，点C：， ， ， ， 的值为3，是一个常数，不会随着的变化而改变． 18．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，将边长为的正方形第一次划分得到图，图中共有个正方形，其中右上角正方形的边长为原正方形边长的一半；第二次划分得到图，图中共有个正方形，其中右上角正方形的边长为正方形边长的一半；第三次划分得到图；；如此下去． 将划分次数和每次划分后正方形总个数进行整理，如表： 划分次数 正方形总个数 (1)上表中________，_________； (2)按上述划分方式，能否得到正方形的总数为个？为什么？ (3)第次划分后，右上角最小正方形的面积为_________． 【答案】(1)， (2)能得到正方形的总数为个，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查了图形类规律探索，读懂题意，找出规律是解题的关键． （）根据表格可得第次划分后，正方形个数有：；第次划分后，正方形个数有：； （）根据表格可得第次划分后，正方形个数有，则，求得； （）根据第次划分后，右上角最小正方形的面积为：；第次划分后，右上角最小正方形的面积为；第次划分后，右上角最小正方形的面积为；第次划分后，右上角最小正方形的面积为；第次划分后，右上角最小正方形的面积为；从而求解． 【完整解答】（1）解：第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 故答案为：，； （2）解：能得到正方形的总数为个，理由， 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； ； 第次划分后，正方形个数有：； ∴，解得：， 答：当划分次数为时，正方形的总数为个； （3）解：第次划分后，右上角最小正方形的面积为：； 第次划分后，右上角最小正方形的面积为； 第次划分后，右上角最小正方形的面积为； 第次划分后，右上角最小正方形的面积为； 第次划分后，右上角最小正方形的面积为； 故答案为：． 19．（25-26七年级上·全国·期末）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一套西装送一条领带；     方案二：西装和领带都按定价的90%付款． 现某客户要到该商场购买西装20套，领带条()． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元．(用含的代数式表示)若该客户按方案二购买，需付款______元．(用含的代数式表示) (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法． 【答案】(1)， (2)按方案一购买较为合算 (3)能，先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买20条领带 【思路引导】本题考查了列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式． （1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可； （2）将代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算； （3）根据题意先按方案一购买20套西装获赠20条领带，再按方案二购买20条领带更合算． 【完整解答】（1）解：按方案一购买：元， 按方案二购买：元． 故答案为：，； （2）解：当时， 方案一：元， 方案二：元， 因为， 所以按方案一购买较合算． （3）解：先按方案一购买20套西装获赠20条领带，再按方案二购买20条领带． 则元， ∵， ∴先按方案一购买20套西装获赠20条领带，再按方案二购买20条领带更为省钱． 20．（25-26七年级上·四川眉山·期末）阅读理解 定义新运算“和乘法”，其运算用符号“▼”表示，“”的运算法则为： ①其运算结果的绝对值为绝对值与绝对值的和，②其运算结果的正负由，的正负确定，当a，b同号时，“和乘法”的运算结果为正；当a，b异号时，“和乘法”的运算结果为负；当a，b中有一个为0时，“和乘法”的运算结果与另一个数相等；几个数的“和乘法”运算次序与有理数运算相同，按先后次序，如有括号先计算括号里的运算． 如：，又如：，． (1)根据“和乘法”法则计算：__________； (2)根据“和乘法”法则，计算这“连续”的2026个整数的运算结果： (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查了新定义运算，数字规律，绝对值的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用“和乘法”法则计算，即可作答． （2）充分理解题意，观察式子特征，式子结果数值的绝对值是所有数的绝对值相加，式子符号确定：以正、负、负、正为周期循环，，即式子结果为负数，即可作答． （3）理解题意，再进行分类讨论，分别算出每种情况下的的值，再进行验证，即可作答． 【完整解答】（1）解：依题意，； （2）解：依题意，共有个数进行和乘法运算， 式子结果数值的绝对值是所有数的绝对值相加， ∴的结果的绝对值 ；. 式子符号确定：以正、负、负、正为周期循环，，即式子结果为负数， 即 （3）解：依题意，当时，则，， ∵， ∴， 即， 解得； 验证：，，同号（均负），，结果为9，符合题意； 当时，则，， 即与异号， ∴与进行“和乘法”运算的结果是负数， ∵，且当时，， 故此种情况不符合题意；， 当时，则，， ∵， ∴， 即， 解得， 验证：，，，结果为9，符合题意； 综上，或 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $