3.1列代数式表示数量关系（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦“列代数式表示数量关系”核心知识点，系统梳理代数式书写规则、常见数量关系（和差倍分、行程等）及正反比例关系，构建从规范书写到实际应用再到规律探索的递进学习支架。 资料特色在于结合生活情境设计随学随练与分层题型，通过开放性问题（如构造反比例代数式）培养创新意识，规律探索题（如图形木棍数量）发展几何直观和抽象能力。课中辅助教师清晰授课，课后分层练习助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达现实世界的能力。

第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 课标要点 能分析实际问题基础数量关系，用字母、运算符号规范列代数式，熟记和差倍分、平方、倒数等对应运算，遵守代数式书写格式。 理解正比例、反比例的文字描述，能根据 “比值一定、乘积一定” 的比例关系，列出对应代数式与关系式。 学习重难点 重点： 准确翻译文字描述，分清和、差、倍、分、平方、倒数等运算，规范书写代数式，牢记数字前置、省略乘号、除法写分数等书写规则。 掌握正比例、反比例核心判定依据：正比例两组量比值固定，反比例两组量乘积固定，能根据题意写出对应关系式。 能从购物、行程、工程、几何图形等实际情境中提取常量与变量，拆解复杂分层数量关系并列式。 难点： 区分语序带来的列式差异，如 “a 的 3 倍减 b” 与 “a 减 b 的 3 倍”，容易漏加括号、颠倒运算顺序。 混淆正反比例判断标准，分不清 “比值一定” 和 “乘积一定”，列式时常写错正比例、反比例关系式。 复杂复合情境同时包含普通数量关系与比例关系，难以分步梳理变量，容易混淆定量和变化量。 知识点 列代数式的基本规则 1. 数与字母相乘，省略乘号，并且把数字写在字母前面；数字是带分数的，要先化成假分数。 2. 字母与字母相乘，乘号可以省略不写，或者写成点号。 3. 式子中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写。 4. 涉及单位名称时，若结果是和或差的形式，要先把式子括起来，再写单位。 特别提醒 书写规则是代数式的规范要求，不规范的书写容易产生歧义，比如a÷2要写成，不能保留除号；当表示“a与b的和的3倍”时，结果是3(a+b)，若题目要求带单位，要写成3(a+b) 米，不能写成3a+b米，避免单位只加在最后一项上产生错误。 随学随练 1．下列代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A、 不符合规范，应写为； 选项B、 不符合规范，应写为 ； 选项D、 不符合规范，带分数应化为假分数 ； 选项C、 符合所有书写规范， 故选C． 2．下列代数式书写正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A的书写符合代数式书写规范，选项A正确； 选项B中，除法运算应写成分数形式，正确书写为，故B不符合要求； 选项C中，数字因数应写在字母前面，正确书写为，故C不符合要求； 选项D中，字母与字母相乘，乘号应省略，正确书写为，故D不符合要求. 3．有下列五个式子：①；②；③（不等于0）；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写规范，关键是掌握代数式书写的核心规则：数字与字母相乘时数字需写在字母前面，带分数要化为假分数；除法运算需写成分数形式，不能用“÷”；系数为时可简化为“-字母”的形式． 【详解】解：对于①：代数式中数字因数应写在字母因数的前面，正确写法为或，故①不符合书写格式； 对于②：该式为分数形式，分子是多项式，符合代数式书写格式； 对于③：代数式中除法运算需写成分数形式，正确写法为，故③不符合书写格式； 对于④：带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，正确写法为，故④不符合书写格式； 对于⑤：系数为时，可直接写为，符合代数式书写格式． 综上，不符合书写格式的有①③④，共3个． 故选：C． 4．下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，包括乘号省略、数字与字母的位置、带分数化假分数、除法写成分数等． （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：不规范，数字应写在字母前面，乘号省略，应写为． 故答案为：． （2）解：不规范，带分数应写成假分数，即． 故答案为：． （3）解：不规范，1应省略不写，应写为或． 故答案为：或． （4）解：不规范，除法应写成分数形式，即． 故答案为：． 知识点 常见数量关系的列法 1. 和差倍分问题：抓住“和、差、倍、分、多、少、增加、减少”等关键词确定运算关系，比如“比a的2倍多3的数”，先算a的2倍是2a，再多3就是2a+3。 2. 行程问题：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度，相遇问题总路程等于两者路程和，追及问题路程差等于初始距离。 3. 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间，合作工作效率等于各工作效率之和，若总工作量未知，一般设为1。 4. 利润问题：利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%，总利润=单利润×销售量，售价=标价×折扣。 5. 面积体积问题：根据图形的面积、体积公式，结合边长、半径等变量表示对应量，比如长方形长为a，宽比长少2，面积就是a(a-2)。 特别提醒 读题时要准确理解关键词的含义，注意语序，“a的3倍与b的差”是3a-b，“a与b的差的3倍”是3(a-b)，二者语序不同结果完全不同，不要混淆。 随学随练 1．某品牌三角板的售价是每副元，则买副这样的三角板需要（     ） A．元 B．（）元 C．元 D．元 【答案】A 【详解】解：总费用为元． 2．近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（  　  ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】解：∵原票价为元， ∴优惠后的票价为元． 3．某文具店销售一种水彩笔，每支元，小明买了2支，则小明一共花了（） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题利用“总价=单价×数量”的基本数量关系计算总花费，即可得到结果． 【详解】解：∵水彩笔每支单价为元，小明购买数量为2支， ∴总花费为元． 4．如图，阴影部分的面积是（     ）                                                    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于长方形的面积减去空白半圆的面积． 长方形的长为，宽为，空白半圆的直径为． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为 ， ∴长方形的面积为 ． ∵空白部分是一个半圆，且直径为， ∴半圆的半径为 ∴半圆的面积为， ∴阴影部分的面积为． 5．三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（     ） A．A B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，因此，三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是． 知识点 正（反）比例关系 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 特别提醒 正比例关系的核心是“比值一定”，判断时不能只看变化趋势，一种量扩大另一种量也扩大不一定是正比例，必须满足相对应的两个数的商不变 反比例的核心是“乘积一定”，不要和“和一定”混淆，比如“和为10的两个加数”，虽然一个增加另一个减少，但二者是和一定不是乘积一定，因此不成反比例。另外，反比例关系中两种量的变化方向相反，一个扩大另一个缩小，但变化方向相反不一定就是反比例，关键还是看乘积是否为定值。 随学随练 1．下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 【答案】A 【分析】本题考查反比例关系的判断，两种相关联的量若乘积为定值，则成反比例关系，若比值为定值，则成正比例关系，根据各选项的数量关系逐一判断即可． 【详解】解：判断两个量是否成反比例，核心看两个量的乘积是否为定值． ∵A选项中，总价一定，即数量与单价的乘积为定值，∴数量和单价成反比例； ∵B选项中，底面积为定值，体积和高比值一定，成正比例，不成反比例； ∵C选项中，长方形周长长宽，周长一定，仅长与宽的和为定值，乘积不是定值，∴长和宽不成反比例； ∵D选项中，速度一定，即路程与时间的比值为定值，路程和时间成正比例，不成反比例． 2．下列各式中，表示x与y成反比例关系的是（    ） A． B． C． 【答案】C 【分析】根据反比例关系的定义，两种相关联的量，若对应数的乘积为定值，则两个量成反比例关系，据此判断各选项即可． 【详解】解：对A选项，，与的和为定值，乘积不是定值，∴与不成反比例关系． 对B选项，，与的比值为定值，乘积不是定值，∴与不成反比例关系． 对C选项，由变形得，与的乘积是定值，符合反比例关系的定义，∴与成反比例关系． 3．下面各选项中，两个量成反比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例关系的判断，掌握反比例的定义是解题关键，两个相关联的量，若乘积为定值，则两个量成反比例． 【详解】解：A 选项，，，比值为定值，故和成正比例，不成反比例； B 选项，，和为定值，两个量乘积不是定值，故和不成反比例； C 选项，，等式两边同乘x得 ，乘积为定值，故和成反比例； D 选项，，差为定值，两个量乘积不是定值，故和不成反比例． 故选C． 4．下列选项中，属于反比例关系的是（   ） A．圆的面积与它的半径 B．某件商品的单价一定时，商品总价与数量 C．速度一定时，路程与时间 D．长方形的面积一定时，它的长与宽 【答案】D 【分析】本题考查正比例关系与反比例关系的判断，关键是牢记两种关系的定义：若两个变量的比值为非零定值，则二者成正比例关系；若两个变量的乘积为非零定值，则二者成反比例关系． 【详解】解：正比例关系的定义是两个变量的比值为非零定值，反比例关系的定义是两个变量的乘积为非零定值； A、圆的面积公式为，与的乘积不是定值，且与的比值为， 与不属于反比例关系； B、设商品单价为(且为定值)，则，， 与成正比例关系，不属于反比例关系； C、设速度为(且为定值)，则，， 与成正比例关系，不属于反比例关系； D、设长方形面积为(且为定值)，则，与的乘积为定值， 长方形的长与宽成反比例关系； 故选：D． 5．已知如表所示的和两个量成反比例关系，则“”处应填（    ） 6 5 A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了反比例关系的定义与应用，解题的关键是利用反比例关系中两个量的乘积为定值这一核心性质，建立方程求解未知量． 【详解】解：∵ 和 成反比例关系， ∴ ． 设“”处的值为 ，则有：，，． 此选项符合题意． 故选：A． 拓展 开放性问题中的代数式构造与规律 拓展点会设计开放性问题，不给出固定结论，要求学生自主构造代数式，探究规律。比如：“请写出一个同时满足：含有两个变量x、y，y和x成反比例，当x=2时y=3三个条件的代数式；再思考：能不能构造出一个代数式，使得y和x成反比例，y和z也成反比例，那么x和z成什么比例？请举例验证”。开放性问题没有标准答案，需要自主结合条件构造，再推导验证，充分锻炼了发散思维与探究能力。 再比如“找规律：用代数式表示下列数列的第n项：1，3，5，7……；2，4，8，16……；1，4，9，16……，并判断第n项和n成什么比例关系”，需要先归纳规律写出代数式，再判断比例，将数列规律和比例关系结合，深化了对代数式和比例的理解。 活学活用 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析第n个代数式的系数，a的次数，b的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。 【详解】解：按顺序拆分观察规律： ∵第1个代数式： 第2个代数式： 第3个代数式： 第4个代数式： …… ∴归纳可得，第个代数式中，系数为，的次数为，的系数为，整理得第个代数式是． 2．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 【答案】A 【分析】通过观察图形中木棍数量的变化，归纳出第n个图案的木棍数的规律． 【详解】解：由题意可知，第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第个图案用的木棍根数是， 当时，木棍根数为． 3．将边长为1的正方形纸片按图①的方法进行对折，记第1次对折后得到的图形的面积为；第2次按图②的方法对折，记第2次对折后得到的图形的面积为；第3次按图③的方法对折，记第3次对折后得到的图形的面积为；…，依此规律，第n次对折后得到的图形的面积S为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意求出前三次对折后的面积，再归纳规律即可解答． 【详解】解：由题意可知， ， ， …， ，即选项B符合题意． 4．用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形共有4个三角形，第②个图形共有9个三角形，第③个图形共有14个三角形，…，按照这一规律，第⑨个图形中三角形的个数为（   ） A．45 B．44 C．47 D．42 【答案】B 【分析】先分别确定第①，②，③图形中三角形的个数，即可得出数字变化特点，再根据规律解答． 【详解】解：第①个图形共有4个三角形； 第②个图形共有个三角形； 第③个图形共有个三角形； 第④个图形共有个三角形， 第⑨个图形共有个三角形． 题型 直接用字母表示已知数量关系 解题贴士 遇到这类题目先拆分描述，把每个部分的数量分别用代数式表示出来，再根据最后的问题要求确定运算顺序，注意除法运算一般写成分数形式更规范。 ▌例1 一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用字母表示两位数，关键是掌握十进制中十位和个位的位值原理． 根据两位数的表示方法，十位数字乘以10加上个位数字即可得到该数． 【详解】解：∵十位数字是， ∴表示； ∵个位数字是， ∴表示； ∴这个两位数为． 故选：D． ▌例2．万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 【答案】A 【分析】本题考查匀速进水问题．熟练掌握：总水量 = 原有水量 + 进水总量，进水总量 = 进水速度 × 时间，是解题的关键． 泳池总水量由原有水量和进水量组成，进水量为进水速率乘以时间． 【详解】∵原有水量为20立方米，进水速率为a立方米/小时，时间为t小时， ∴进水量为立方米， ∴总水量为立方米． 故选：A． ▌对点练1-1．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，也就是把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来； 百位上的数字是，表示个百，十位上的数字是，表示个十，个位上的数字是，表示个一，所以表示这个三位数的式子应该是． 【详解】因为百位上的数字是，表示个百，即， 因为十位上的数字是，表示个十，即， 因为个位上的数字是，表示个一，即， 所以表示这个三位数的式子应该是． 故选：D． ▌对点练1-2．一个三角形的面积为，底边长为，该边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的面积公式，根据三角形的面积公式变形解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． ▌对点练1-3．下面的选项中，能用表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，根据代数式的意义，逐项列出代数式即可判断． 【详解】解：A、线段长度表示为，故不符合题意； B、最大长方形面积为，故不符合题意； C、长方体的体积为，故不符合题意； D、长方形周长为：，符合题意， 故选：D． 题型 列代数式 解题贴士 有1. 先抓关键词翻译运算，理清语句语序，该加括号绝不遗漏。 2. 2. 严格遵守代数式书写规范，数字放前面、除法改写分数形式。 3. 4. 写完反向核对题意，检验式子是否贴合全部数量逻辑。 ▌例1 ．亮亮计划购买6筒羽毛球，若每筒元，则共需（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】∵购买羽毛球的数量是筒，每筒单价是元， 又∵总价=单价×数量， ∴总费用为元． ▌例2．一件商品进价a元，按进价提高标价，再打八折销售，则售价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】先求出提高后的标价，再计算打八折后的售价即可． 【详解】解：∵商品进价为元，按进价提高标价， ∴标价为（元）， ∵再打八折销售，打八折即按标价的销售， ∴售价为（元）． ▌对点练1-1．小亮比小强大岁，比小花小岁，如果小强是岁，小花是（     ）岁． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵小亮比小强大岁，小强是岁， ∴小亮是岁， ∵小亮比小花小岁， ∴小花是岁． ▌对点练1-2．长白山某温泉广场用温泉水煮鸡蛋、玉米被游客们津津乐道．已知一个鸡蛋售价为元，一根玉米售价为元，则购买3个鸡蛋和4根玉米共需（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【详解】解：由题意可知：购买3个鸡蛋和4根玉米的总费用为元． ▌对点练1-3．某型号智能采摘设备的一个采摘臂平均每分钟采摘8个草莓．若该设备配备个采摘臂（），则该设备平均每分钟采摘的草莓个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总采摘量=单个采摘臂每分钟采摘量×采摘臂数量，即可列出代数式得到答案． 【详解】解：∵ 一个采摘臂平均每分钟采摘8个草莓，该设备共有个采摘臂， ∴ 该设备平均每分钟采摘草莓的总个数为 ． 题型 代数式的书写规范 解题贴士 运1. 数字写在字母前面，数与字母、字母之间省略乘号，数字相乘仍写乘号。 2. 除法统一改写成分数形式，不使用除号；带分数要化成假分数。 3. 加减形式代数式带单位时，整体添括号，单位写在括号外侧。 4. 相同字母相乘写成乘方形式，1或-1与字母相乘省略数字1。 ▌例1下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A．人 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的正确书写格式，需掌握核心规范：①带单位的和/差形式代数式需添加括号；②带分数与字母相乘时要转化为假分数；③数字与字母相乘时，数字前置且省略乘号；④除法运算需写成分数形式． 【详解】解：∵选项A中，带单位的差形式代数式应写为人，不符合书写格式； 选项B中，带分数与字母相乘应化为假分数形式，即，不符合书写格式； 选项C中，数字与字母相乘应写为，不符合书写格式； 选项D中，除法运算写成分数形式，符合代数式书写格式； 故选：D． ▌例2下列代数式书写格式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A．正确的书写格式是，故此选项不符合题意； B．正确的书写格式是，故此选项不符合题意； C．正确的书写格式是，故此选项不符合题意； D．正确，故此选项符合题意． 故选：D． ▌对点练1-1下列代数式中，符合代数式书写要求的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦千米． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 根据代数式书写规则，检查每个式子是否符合要求，如不使用带分数、除号，数字应在字母前，单位需加括号等． 【详解】解：∵①应写成，不符合书写要求； ②是加法运算，符合书写要求； ③是分数形式，符合书写要求； ④是分数形式，符合书写要求； ⑤数字在括号前，符合书写要求； ⑥应写成，不符合书写要求； ⑦千米应写成千米，不符合书写要求. ∴符合要求的是②③④⑤，共4个， 故选：C． ▌对点练1-2下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的是______（填序号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了代数式的书写要求，①在代数式中出现的乘号通常简写成“”或省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；④带分数要写成假分数的形式． 【详解】①应表示为，故书写错误； ②应表示为，故书写错误； ③，书写正确； ④，书写正确， 故答案为：③④． ▌对点练1-3，，，，，中，其中符合书写要求的代数式的个数为________． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．解题关键是掌握代数式的书写要求．根据代数式的书写要求分别进行判断即可． 【详解】解：用字母表示数的式子中，符合书写要求的有：，，，共3个， 应该写成或，应该写成， 应该写成中， 故答案为：． 题型 代数式表示的实际意义 解题贴士 1.11. 拆分代数式运算顺序，先分清乘除、加减层次，逐段对应生活中的数量描述。 2. 结合单价、路程、面积、工程等常见场景，给字母赋予贴合题意的实际含义。 3. 区分括号作用，有括号要完整表述整体运算，不能颠倒前后运算逻辑。 4. 语言简洁通顺，说清已知量、未知量之间的关系，贴合生活实际情境。 ▌例1代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 【答案】C 【分析】只需根据各选项描述写出对应代数式，与对比即可得到答案. 【详解】解：A选项：与的和对应代数式为，故A选项错误； B选项：与的差对应代数式为，故B选项错误； C选项：个相加对应代数式为，故C选项正确； D选项：个相乘对应代数式为，故D选项错误. ▌例2下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（ ）． A．的倍 B．与的积 C．个相加的和 D．个相乘 【答案】D 【详解】解：对于选项A：的倍，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项B：与的积，直接表示为，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项C：个相加的和，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项D：个相乘，即，不能表示代数式的意义，符合题意． ▌对点练1-1下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 【答案】D 【分析】根据运算顺序准确理解代数式所表达的数量关系，需逐一分析各选项的叙述是否匹配代数式的运算逻辑． 【详解】解：选项A：的意义是的2倍与3的和，叙述正确； 选项B：的意义是的平方与1的差，叙述正确； 选项C：的意义是与的积的5倍，叙述正确； 选项D：表示与的平方的和，而“与的和的平方”对应的代数式是，两者运算顺序不同，该叙述错误． ▌对点练1-2单项式可以解释为：正方形的边长为，则正方形的周长为，请你再给单项式赋一个实际意义：_____. 【答案】一本笔记本元，买了4本，共需元（答案不唯一） 【分析】根据单项式的意义解析即可． 【详解】略 ▌对点练1-3已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为_________． 【答案】3个足球的总价格 【详解】解：已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为3个足球的总价格． 题型 正（反）比例关系 解题贴士 牢1. 先找准题目里两种变化的相关量，锁定固定不变的常量，区分变量与定值。 2. 看数量关系：比值恒定为正比例，可写成y=kx；乘积恒定为反比例，可写成xy=k。 3. 排除加减关系，只有乘除固定关系才存在正反比例，和差一定不成比例。 4. 结合代数式变形验证，整理式子后判断是商定值还是积定值，避免判断出错。 ▌例1 下列问题中的两个量成反比例关系的是（） A．驾驶汽车3小时，行驶里程（单位：公里）与平均时速（单位：公里/小时） B．长方形的周长一定，长方形的长与宽 C．长方形的面积一定，长方形的长与宽 D．每天阅读半小时，阅读总时长与天数 【答案】C 【分析】本题考查了反比例关系．判断两个量是否成反比例关系，需检查它们的乘积是否为常数． 【详解】解：A∶行驶里程=平均时速×时间，时间固定为3小时，∴行驶里程与平均时速成正比，不成反比． B∶周长=2(长+宽)，周长一定，∴长+宽=常数，和一定，不成反比． C∶面积=长×宽，面积一定，∴长×宽=常数，成反比例关系． D∶阅读总时长=每天阅读时间×天数，每天阅读时间固定为0.5小时，∴阅读总时长与天数成正比，不成反比． 故选：C． ▌例2下面各选项中，两个量成反比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查成反比例关系，熟练掌握成反比例关系的概念是解题的关键；判断两个量是否成反比例，需看它们的乘积是否为常数，然后问题可求解． 【详解】解：A、由可知它们的乘积不是常数，所以不成反比例； B、由可知它们的乘积为常数，所以成反比例； C、由可知它们的乘积不是常数，所以不成反比例； D、由可知它们的乘积不是常数，所以不成反比例； 故选：B． ▌对点练1-1如表， x与y成正比例， “△”和“▲”的组合不可能是（    ）． x 2 △ y ▲ 12 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例，掌握相关知识是解决问题的关键．若x与y成正比例，则▲△，由此解答问题即可． 【详解】解：若x与y成正比例，则▲△， 即▲△， 故C选项不符合题意， 故选：C． ▌对点练1-2若长方形的面积一定，则长方形的长和宽成_________关系．（填“正比例”或“反比例”） 【答案】反比例 【分析】本题考查了正比例与反比例关系，掌握成反比例关系的定义是关键． 长方形面积一定时，长与宽的乘积为常数，因此长和宽成反比例关系，即可作答． 【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，面积为S，则． 由于S一定，即为常数，因此长和宽成反比例关系． 故答案为：反比例． ▌对点练1-3某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表： 每天运输的吨数 300 150 100 75 60 50 ··· 运输的天数 1 2 3 4 5 6 ··· 若每天运输a吨，则运输天数是____（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例关系的应用． 从表格数据可知，每天运输的吨数与运输天数的乘积恒为300吨，因此货物总吨数为300吨；每天运输a吨时，运输天数为总吨数除以a． 【详解】解：由表可知，， 故货物总吨数为300吨， 若每天运输吨，则运输天数为天． 故答案为：． 题型 用代数式表示数、图形的规律 解题贴士 解1. 先列出前几组对应数字，标出序号n，分开观察不变常量与随n变化的变量。 2. 图形规律拆分成行数、列数、增减部分，分别找等差、乘方、倍数类变化关系。 3. 对比相邻两项差值或比值，匹配一次、二次、乘方类代数式，写出通用式子。 4. 用序号代入代数式验算，验证多组数据，修正规律表达式避免片面错误。 ▌例1按照一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别找出系数、的指数的变化规律，推导得到第个代数式，对应选项判断即可． 【详解】解：分别观察系数和的指数的变化规律： 当时，第1个代数式为； 当时，第2个代数式为； 当时，第3个代数式为； 当时，第4个代数式为； ∴第个代数式是． ▌例2如图所示，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…，则第个图形中小正方形的个数为（    ） A．245个 B．246个 C．254个 D．255个 【答案】C 【分析】观察图形可知后面一个图形比前面一个图形多5个小正方形，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形共有小正方形个， 第2个图形共有小正方形个， 第3个图形共有小正方形个， ……， 以此类推，可知第n个图形共有小正方形个， ∴第50个图形中小正方形的总个数为个． ▌对点练1-1/规律探索/ 如图是一组有规律的图案，它由若干个长度相同的小木棒拼接而成．第1个图案中有10根小木棒，第2个图案中有18根小木棒，第3个图案中有26根小木棒，第4个图案中有34根小木棒……依此规律，第个图案中小木棒的根数（用含的代数式表示）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知图形，得到后一个图形比前一个图形多8根小木棒，列出代数式即可． 【详解】解：第1个图案中小木棒的根数为； 第2个图案中小木棒的根数为； 第3个图案中小木棒的根数为 依此规律，第个图案中小木棒的根数为． ▌对点练1-2我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． 【答案】66 【分析】根据题意，分析展开式中从左起第三项的系数的变化规律，可得的第三项系数为，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为， ∴的展开式中从左起第三项的系数为． ▌对点练1-3摆一摆，找规律 摆第7个图形需要用_____根小棒． 【答案】15 【分析】由图可知，每一个图像都是在前一个三角形的基础上再加2根火柴，所以第一个是3根小棒，第二个是根小棒，第三个是根小棒，第个就是根小棒． 【详解】解：∵①由3根小棒组成； ②由根小棒组成； ③由根小棒组成； ④由根小棒组成； ∴⑦由根小棒组成． 基础通关 1．下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 【答案】D 【详解】解：∵ 单独的一个数或单独的一个字母都是代数式，∴ 是代数式，A错误． ∵ 带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，∴ 的书写不符合规范，应写为，B错误． ∵ 表示与的差除以的商，“与的差除”对应的代数式为，∴ C错误． ∵ 与的差可表示为，∴ D正确． 2．下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．根据代数式的定义进行解答即可． 【详解】解：2是代数式；是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是等式，不是代数式； 综上，代数式有4个． 故选：B． 3．下列各式符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的书写，正确书写代数式是解题的关键．代数式书写规范要求：乘号通常省略或写点，数字与字母相乘时数字在前，除法写成分数形式，带分数写成假分数，据此判断即可． 【详解】A 为分数形式，符合规范，此选项符合题意； B 应简写为 ，不符合规范，此选项不符合题意； C 应写为 ，不符合规范，此选项不符合题意； D 应写为 ，不符合规范，此选项不符合题意； 故选： A． 4．下列代数式符合书写要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写要求．注意：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、要写成，故本选项不符合题意； B、要写成，故本选项不符合题意； C、要写成，故本选项不符合题意； D、符合书写要求，故本选项符合题意； 故选：D． 5．“m与3的差的2倍”用代数式可以表示成（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． m与3的差即，然后即可得到m与3的差的2倍为． 【详解】解：由题意可得， m与3的差的2倍可以表示为， 故选：D． 6．下列问题中两个变量之间的关系不是反比例的是（   ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．三角形的面积一定时，它的一边长与这条边上的高之间的关系 D．圆的面积与它的半径之间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，对于两个变量，若它们的乘积一定，则这两个变量是反比例函数关系，据此可得答案． 【详解】解：选项A、由题意得，即时间与跑步平均速度是反比例关系，不符合题意； 选项B、由题意得，长方形的面积一定，它的两条邻边的长与是反比例关系，不符合题意； 选项C、由题意得，三角形的面积一定时，它的一边长与这条边上的高是反比例关系，不符合题意； 选项D、由题意得，圆的面积与它的半径不是反比例关系，符合题意； 故选：D． 7．下面四个关系式中，x和y成反比例关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例关系的认识，反比例关系定义为或 （k 为常数，），直接判断各选项是否符合此定义. 【详解】解：∵ 反比例关系需满足（k 为常数，）. 选项 A：，和为常数，不符合题意； 选项 B：，即 ，符合反比例关系； 选项 C：，即，为正比例关系，不符合题意； 选项 D：，整理得，不符合题意； ∴ 只有选项B正确， 故选：B 8．对单项式“”可以解释为：一支碳素笔元，买了3支碳素笔，共消费元．请你再对“”赋予一个实际意义___________． 【答案】一个笔记本a元，买了3本，共付款元（答案不唯一） 【分析】本题考查代数式的实际意义，需结合生活实际，根据单项式的特点赋予合理情境． 【详解】解：例如，一个笔记本a元，购买3本，总费用为元， 故答案为：一个笔记本a元，买了3本，共付款元（答案不唯一）． 9．代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举一个例子说明：___________． 【答案】钢笔每支元，用100元买2支钢笔，应找回元．（答案不唯一） 【分析】本题考查用代数式表示实际问题的数量关系；代数式表示从100中减去2倍的，因此适用于涉及总价和付款找零的场景 【详解】解：钢笔每支元，用100元买2支钢笔，应找回元． 10．近几年平板价格不断降低，某品牌平板原售价为元，现打八五折，再让利元，那么该平板现在的售价为______元． 【答案】 【分析】根据题意，先计算打八五折后的价格，再减去让利的元，即可得到该平板现在的售价． 【详解】解：原售价为元，打八五折即按原售价的出售， 故打八五折后的价格为元. 再让利元，即从打折后的价格中减去元， 故现在的售价为元． 11．某商店销售一款AI萌宠玩具，进价为元/个，商店将进价提高20%作为售价，则这款玩具每个的售价为__________元（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，解题思路为根据售价与进价，提高百分比的关系，列出代数式，再化简即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，售价为进价加上进价提高的部分，因此列式得 ． 12．如果和是两种相关联的量，且，那么和成______比例． 【答案】正 【分析】根据正比例与反比例的定义，判断两种相关联的量和是比值一定还是乘积一定，若比值一定则成正比例，若乘积一定则成反比例，对已知等式变形后即可判断． 【详解】解：已知， 当时，将等式两边同时除以，得，是不为零的常数， 即与的比值为定值，符合正比例的定义， 因此和成正比例． 13．观察下面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第100个图形共有__________个★． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求出前几个图形中★的个数，从中找出规律，再利用规律求解． 【详解】解：通过观察，得到星的个数分别是，1，3，6，10，15，…， 第一个图形为：个★， 第二个图形为：个★， 第三个图形为：个★， 第四个图形为：个★， …， 所以第个图形为：个★， 第100个图形共有个★， 故答案为：． 14．根据题意列代数式： (1)m的一半与n的和； (2)x的3倍与y的差的平方． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来即可解答； （2）把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：． 15．小明在十字路口要通过总长度为的斑马线，他匀速行走到正中间时，看到指示灯要变为红灯，于是他以原来速度的a倍匀速行走（加速过程忽略不计）若小明原来的速度为，解答下列问题： (1)小明行走到正中间所需的时间为 s；（用含x的代数式表示） (2)小明走完全程一共用了多长时间？（用含x，a的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，解题关键是找出数量关系． （1）根据路的宽度得出中间的路程为9米，原来的速度为，得出运动时间． （2）再求出另一半路程所需时间，再加上（1）的结果即可． 【详解】（1）解：因为路程为， 所以走到中间时路程为， 所以所需要的时间为：， 故答案为：， （2）解：另一半路程为，走完这一半路程的速度为， 所以所需要的时间为：， 所以，走完全程需要的时间为． 素养提升 1．小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　） A．78 B．87 C．23 D．12 【答案】A 【分析】设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为，则，化简可得，据此即可得出答案． 【详解】解：设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意得：， 整理得：， 即小明心里想的那个两位数是78， 故选：A． 【点睛】本题考查了用字母表示数，正确列出等式是解题关键． 2．下列代数式，书写不规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A.代数式书写规范，故此选项不符合题意； B.代数式书写规范，故此选项不符合题意； C.代数式书写规范，故此选项不符合题意； D.带分数要写成假分数的形式，代数式书写不规范，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 3．如图，大长方形的长为 a，宽为 b，从右上角切去一个小长方形，剩余的阴影部分图形面积可通过多种方法表示．下列四个表达式中，不能表示该阴影部分面积的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：用大长方形面积减去长方形面积表示该阴影部分面积为， A选项表达式正确，不符合题意； 如图①，用上半部分的长方形面积加下半部分长方形的面积表示该阴影部分面积为，B选项表达式正确，不符合题意；C选项表达式错误，符合题意； 如图②，用两个梯形的面积表示该阴影部分面积为， D选项表达式正确，不符合题意． 4．如图是某智能机器人的零件，则该零件的面积可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零件的面积等于正方形的面积减去圆的面积，求解即可； 【详解】解：根据题意，得零件的面积等于正方形的面积减去圆的面积， 故面积为； 5．甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（    ） 甲：的2倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买2千克的总花费． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的意义，熟练掌握将文字叙述转化为代数式并进行对比是解题的关键．通过将甲、乙的叙述转化为代数式，与给定代数式 对比判断． 【详解】∵ 甲的叙述“x的2倍与y的和”对应代数式为 ， 而给定代数式为 ， ∴ ，甲错误； ∵ 乙的叙述“苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费”对应代数式为 ， 而给定代数式为 ， ∴ ，乙错误； ∴ 甲、乙都不正确， 故选D． 6．①汽车行驶的路程一定，汽车行驶的平均速度和时间：②三角形的面积一定，它的一边长和这条边上的高：③一本书的页数一定，已读的页数和剩下的页数：④商品的单价一定，购物的总金额和购物的数量．以上语句中两个量成反比例关系的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系，解题的关键是掌握：如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系．据此判断即可． 【详解】对于①：设路程s一定，速度v，时间t，则，∴（常数），故v与t成反比例． 对于②：设面积S一定，边长a，高h，则，∴（常数），故a与h成反比例． 对于③：设总页数P一定，已读x，剩下y，则，∴（常数），但不一定为常数，故不成反比例． 对于④：设单价p一定，总金额M，数量n，则，∴（常数），故M与n成正比例，不成反比例． 综上，①②成反比例，共2个． 故选B． 7．一棵树高h（m）与生长时间n（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出h（m）与n（年）之间的关系式，______． n（年） 2 4 6 8 10 h（m） 2.6 3.2 3.8 4.4 5.0 【答案】 【分析】由表格可知树每年生长的高度，然后问题可求解． 【详解】解：由表格可知树每生长一年长高， ∴当时，树高为， ∴满足的关系式为． 8．智能农机装备的推广是山西特色农业现代化发展的核心方向之一．某款用于临县红枣种植的智能采摘机器人，其单个机械臂平均即可完成一颗红枣的采摘．若该机器人搭载m个机械臂，与熟练采摘工人同时工作，已知工人平均可采摘一颗红枣，则机器人在这段时间内可比工人多采摘________颗红枣． 【答案】 【分析】分别算得一个机械臂和该工人一小时采摘的个数，得到有个机械臂的机器人1小时内采摘红枣总数，然后列代数式计算采摘数量差即可． 【详解】解：∵机器人每个机械臂每8秒采摘1个红枣，1小时秒， ∴每个机械臂在3600秒内采摘红枣数为（个），即每个机械臂1小时采摘450个， ∵机器人有个机械臂， ∴机器人工作1小时采摘红枣为个， ∵工人每5秒采摘1个红枣， ∴工人在3600秒内采摘红枣数为（个），即该工人1小时采摘720个， ∴机器人比工人多采摘的红枣数为个． 9．某机床要加工一批零件，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工的件数 63 42 35 30 … 加工时间（） 10 15 21 … (1)这批零件共________件； (2)表中________； (3)用表示每小时加工零件的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ 【答案】(1) (2) (3)；与成反比例关系． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，合理从表格中获取相关信息是解题的关键． （1）根据工作时间工作效率总数解答即可； （2）根据工作时间工作效率总数解答即可； （3）列出函数式子判断即可． 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：件； （2）解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴与成反比例关系． 10．用一根绳子围成一个长方形，相邻两边的长分别为和． (1)当长方形的面积为时，用式子表示与的关系． (2)当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系吗？当长方形的面积一定时呢？为什么？ 【答案】(1) (2)周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系；面积一定时，相邻两边的长成反比例关系；理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例关系，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据长方形面积公式列式并整理，即可获得答案； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．根据反比例关系的定义，即可获得答案． 【详解】（1）解：当长方形的面积为时，根据题意可得， 答：与的关系为； （2）解：设周长为，， 当长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系；因为此时相邻两边的长的和为定值； 设面积为，则有， 当长方形的面积一定时，相邻两边的长成反比例；因为此时相邻两边的长的积为定值． 迁移创新 1．有一个填数游戏，将，，，，，这个数填入图的各个圆圈内使得每条边上的三个数的和都相等，图是小颖的一次尝试． (1)通过计算判断小颖的尝试是否正确； (2)若填入的上述个数符合游戏条件，已知这个数之和为，设每条边上的三个数之和为，三个顶点处的三个数之和为，直接写出，之间的关系式； (3)求出所有填法中每条边上三个数之和的最大值． 【答案】(1)小颖的尝试不正确，见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别计算三条边上的数字之和，进行判断即可； （2）根据三条边上数字之和与顶点处数字之和的关系列式即可； （3）根据，之间的关系可得最大时，最大，进而确定已知个数中三个数的和最大值即可． 【详解】（1）解：，，，每条边上的三个数的和不相等， 小颖的尝试不正确； （2）解：由题意可知，三角形有条边，每条边上的三个数之和为， 三条边的总和为， 在计算三条边的总和时，三个顶点处的数各被计算了两次，其余各数各被计算了一次， 三条边的总和等于个数的总和加上三个顶点处的数之和， 这个数之和为，设每条边上的三个数之和为，三个顶点处的三个数之和为， ； （3）解：每条边上三个数之和为，最大，即最大， 即最大时，最大， 为三个顶点处三个数之和，，，，，，中三个数的和最大为， 最大为，此时， 每条边上三个数之和的最大值为． 2．探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行：        3         第3行：5                7                9 第4行：        11                13               15         …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了用代数式表示数的规律，观察数阵，推断出规律是解题的关键． （1）观察数阵，由此推断规律即可； （2）先将第5行所有数列出，再求其和即可； （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数，前88个数分成44组，且每组的和为，由此求解即可． 【详解】（1）解：观察数阵可知：第1行有（个）数， 第2行有（个）数， 第3行有（个）数， 第4行有（个）数， 则第n行有个数； 第2行最右边的数为， 第3行最右边的数为， 第4行最右边的数为， 则第n行最右边的数为， 故答案为：，； （2）第5行的9个数为：17，，19，，21，，23，，25， 它们的和为； （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数， 前88个数分成44组，每组的和为， 所以该行所有数的和为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 课标要点 能分析实际问题基础数量关系，用字母、运算符号规范列代数式，熟记和差倍分、平方、倒数等对应运算，遵守代数式书写格式。 理解正比例、反比例的文字描述，能根据 “比值一定、乘积一定” 的比例关系，列出对应代数式与关系式。 学习重难点 重点： 准确翻译文字描述，分清和、差、倍、分、平方、倒数等运算，规范书写代数式，牢记数字前置、省略乘号、除法写分数等书写规则。 掌握正比例、反比例核心判定依据：正比例两组量比值固定，反比例两组量乘积固定，能根据题意写出对应关系式。 能从购物、行程、工程、几何图形等实际情境中提取常量与变量，拆解复杂分层数量关系并列式。 难点： 区分语序带来的列式差异，如 “a 的 3 倍减 b” 与 “a 减 b 的 3 倍”，容易漏加括号、颠倒运算顺序。 混淆正反比例判断标准，分不清 “比值一定” 和 “乘积一定”，列式时常写错正比例、反比例关系式。 复杂复合情境同时包含普通数量关系与比例关系，难以分步梳理变量，容易混淆定量和变化量。 知识点 列代数式的基本规则 1. 数与字母相乘，省略乘号，并且把数字写在字母前面；数字是带分数的，要先化成假分数。 2. 字母与字母相乘，乘号可以省略不写，或者写成点号。 3. 式子中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写。 4. 涉及单位名称时，若结果是和或差的形式，要先把式子括起来，再写单位。 特别提醒 书写规则是代数式的规范要求，不规范的书写容易产生歧义，比如a÷2要写成，不能保留除号；当表示“a与b的和的3倍”时，结果是3(a+b)，若题目要求带单位，要写成3(a+b) 米，不能写成3a+b米，避免单位只加在最后一项上产生错误。 随学随练 1．下列代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 2．下列代数式书写正确的是（   ） A． B． C． D． 3．有下列五个式子：①；②；③（不等于0）；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 知识点 常见数量关系的列法 1. 和差倍分问题：抓住“和、差、倍、分、多、少、增加、减少”等关键词确定运算关系，比如“比a的2倍多3的数”，先算a的2倍是2a，再多3就是2a+3。 2. 行程问题：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度，相遇问题总路程等于两者路程和，追及问题路程差等于初始距离。 3. 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间，合作工作效率等于各工作效率之和，若总工作量未知，一般设为1。 4. 利润问题：利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%，总利润=单利润×销售量，售价=标价×折扣。 5. 面积体积问题：根据图形的面积、体积公式，结合边长、半径等变量表示对应量，比如长方形长为a，宽比长少2，面积就是a(a-2)。 特别提醒 读题时要准确理解关键词的含义，注意语序，“a的3倍与b的差”是3a-b，“a与b的差的3倍”是3(a-b)，二者语序不同结果完全不同，不要混淆。 随学随练 1．某品牌三角板的售价是每副元，则买副这样的三角板需要（     ） A．元 B．（）元 C．元 D．元 2．近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（  　  ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．某文具店销售一种水彩笔，每支元，小明买了2支，则小明一共花了（） A．元 B．元 C．元 D．元 4．如图，阴影部分的面积是（     ）                                                    A． B． C． D． 5．三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（     ） A．A B． C． D． 知识点 正（反）比例关系 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 特别提醒 正比例关系的核心是“比值一定”，判断时不能只看变化趋势，一种量扩大另一种量也扩大不一定是正比例，必须满足相对应的两个数的商不变 反比例的核心是“乘积一定”，不要和“和一定”混淆，比如“和为10的两个加数”，虽然一个增加另一个减少，但二者是和一定不是乘积一定，因此不成反比例。另外，反比例关系中两种量的变化方向相反，一个扩大另一个缩小，但变化方向相反不一定就是反比例，关键还是看乘积是否为定值。 随学随练 1．下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 2．下列各式中，表示x与y成反比例关系的是（    ） A． B． C． 3．下面各选项中，两个量成反比例的是（   ） A． B． C． D． 4．下列选项中，属于反比例关系的是（   ） A．圆的面积与它的半径 B．某件商品的单价一定时，商品总价与数量 C．速度一定时，路程与时间 D．长方形的面积一定时，它的长与宽 5．已知如表所示的和两个量成反比例关系，则“”处应填（    ） 6 5 A． B．3 C． D．5 拓展 开放性问题中的代数式构造与规律 拓展点会设计开放性问题，不给出固定结论，要求学生自主构造代数式，探究规律。比如：“请写出一个同时满足：含有两个变量x、y，y和x成反比例，当x=2时y=3三个条件的代数式；再思考：能不能构造出一个代数式，使得y和x成反比例，y和z也成反比例，那么x和z成什么比例？请举例验证”。开放性问题没有标准答案，需要自主结合条件构造，再推导验证，充分锻炼了发散思维与探究能力。 再比如“找规律：用代数式表示下列数列的第n项：1，3，5，7……；2，4，8，16……；1，4，9，16……，并判断第n项和n成什么比例关系”，需要先归纳规律写出代数式，再判断比例，将数列规律和比例关系结合，深化了对代数式和比例的理解。 活学活用 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 2．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 3．将边长为1的正方形纸片按图①的方法进行对折，记第1次对折后得到的图形的面积为；第2次按图②的方法对折，记第2次对折后得到的图形的面积为；第3次按图③的方法对折，记第3次对折后得到的图形的面积为；…，依此规律，第n次对折后得到的图形的面积S为（     ） A． B． C． D． 4．用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形共有4个三角形，第②个图形共有9个三角形，第③个图形共有14个三角形，…，按照这一规律，第⑨个图形中三角形的个数为（   ） A．45 B．44 C．47 D．42 题型 直接用字母表示已知数量关系 解题贴士 遇到这类题目先拆分描述，把每个部分的数量分别用代数式表示出来，再根据最后的问题要求确定运算顺序，注意除法运算一般写成分数形式更规范。 ▌例1 一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． ▌例2．万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． ▌对点练1-1．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．一个三角形的面积为，底边长为，该边上的高为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．下面的选项中，能用表示的是（    ） A． B． C． D． 题型 列代数式 解题贴士 有1. 先抓关键词翻译运算，理清语句语序，该加括号绝不遗漏。 2. 2. 严格遵守代数式书写规范，数字放前面、除法改写分数形式。 3. 4. 写完反向核对题意，检验式子是否贴合全部数量逻辑。 ▌例1 ．亮亮计划购买6筒羽毛球，若每筒元，则共需（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 ▌例2．一件商品进价a元，按进价提高标价，再打八折销售，则售价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 ▌对点练1-1．小亮比小强大岁，比小花小岁，如果小强是岁，小花是（     ）岁． A． B． C． D． ▌对点练1-2．长白山某温泉广场用温泉水煮鸡蛋、玉米被游客们津津乐道．已知一个鸡蛋售价为元，一根玉米售价为元，则购买3个鸡蛋和4根玉米共需（     ） A． 元 B．元 C．元 D．元 ▌对点练1-3．某型号智能采摘设备的一个采摘臂平均每分钟采摘8个草莓．若该设备配备个采摘臂（），则该设备平均每分钟采摘的草莓个数是（    ） A． B． C． D． 题型 代数式的书写规范 解题贴士 运1. 数字写在字母前面，数与字母、字母之间省略乘号，数字相乘仍写乘号。 2. 除法统一改写成分数形式，不使用除号；带分数要化成假分数。 3. 加减形式代数式带单位时，整体添括号，单位写在括号外侧。 4. 相同字母相乘写成乘方形式，1或-1与字母相乘省略数字1。 ▌例1下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A．人 B． C． D． ▌例2下列代数式书写格式正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1下列代数式中，符合代数式书写要求的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦千米． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▌对点练1-2下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的是______（填序号）． ▌对点练1-3，，，，，中，其中符合书写要求的代数式的个数为________． 题型 代数式表示的实际意义 解题贴士 1.11. 拆分代数式运算顺序，先分清乘除、加减层次，逐段对应生活中的数量描述。 2. 结合单价、路程、面积、工程等常见场景，给字母赋予贴合题意的实际含义。 3. 区分括号作用，有括号要完整表述整体运算，不能颠倒前后运算逻辑。 4. 语言简洁通顺，说清已知量、未知量之间的关系，贴合生活实际情境。 ▌例1代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 ▌例2下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（ ）． A．的倍 B．与的积 C．个相加的和 D．个相乘 ▌对点练1-1下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 ▌对点练1-2单项式可以解释为：正方形的边长为，则正方形的周长为，请你再给单项式赋一个实际意义：_____. ▌对点练1-3已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为_________． 题型 正（反）比例关系 解题贴士 牢1. 先找准题目里两种变化的相关量，锁定固定不变的常量，区分变量与定值。 2. 看数量关系：比值恒定为正比例，可写成y=kx；乘积恒定为反比例，可写成xy=k。 3. 排除加减关系，只有乘除固定关系才存在正反比例，和差一定不成比例。 4. 结合代数式变形验证，整理式子后判断是商定值还是积定值，避免判断出错。 ▌例1 下列问题中的两个量成反比例关系的是（） A．驾驶汽车3小时，行驶里程（单位：公里）与平均时速（单位：公里/小时） B．长方形的周长一定，长方形的长与宽 C．长方形的面积一定，长方形的长与宽 D．每天阅读半小时，阅读总时长与天数 ▌例2下面各选项中，两个量成反比例的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如表， x与y成正比例， “△”和“▲”的组合不可能是（    ）． x 2 △ y ▲ 12 A． B． C． D． ▌对点练1-2若长方形的面积一定，则长方形的长和宽成_________关系．（填“正比例”或“反比例”） ▌对点练1-3某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表： 每天运输的吨数 300 150 100 75 60 50 ··· 运输的天数 1 2 3 4 5 6 ··· 若每天运输a吨，则运输天数是____（用含a的代数式表示）． 题型 用代数式表示数、图形的规律 解题贴士 解1. 先列出前几组对应数字，标出序号n，分开观察不变常量与随n变化的变量。 2. 图形规律拆分成行数、列数、增减部分，分别找等差、乘方、倍数类变化关系。 3. 对比相邻两项差值或比值，匹配一次、二次、乘方类代数式，写出通用式子。 4. 用序号代入代数式验算，验证多组数据，修正规律表达式避免片面错误。 ▌例1按照一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． ▌例2如图所示，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…，则第个图形中小正方形的个数为（    ） A．245个 B．246个 C．254个 D．255个 ▌对点练1-1/规律探索/ 如图是一组有规律的图案，它由若干个长度相同的小木棒拼接而成．第1个图案中有10根小木棒，第2个图案中有18根小木棒，第3个图案中有26根小木棒，第4个图案中有34根小木棒……依此规律，第个图案中小木棒的根数（用含的代数式表示）为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． ▌对点练1-3摆一摆，找规律 摆第7个图形需要用_____根小棒． 基础通关 1．下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 2．下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．下列各式符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C．2 D． 4．下列代数式符合书写要求的是（   ） A． B． C． D． 5．“m与3的差的2倍”用代数式可以表示成（   ） A． B． C． D． 6．下列问题中两个变量之间的关系不是反比例的是（   ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．三角形的面积一定时，它的一边长与这条边上的高之间的关系 D．圆的面积与它的半径之间的关系 7．下面四个关系式中，x和y成反比例关系的是（    ） A． B． C． D． 8．对单项式“”可以解释为：一支碳素笔元，买了3支碳素笔，共消费元．请你再对“”赋予一个实际意义___________． 9．代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举一个例子说明：___________． 10．近几年平板价格不断降低，某品牌平板原售价为元，现打八五折，再让利元，那么该平板现在的售价为______元． 11．某商店销售一款AI萌宠玩具，进价为元/个，商店将进价提高20%作为售价，则这款玩具每个的售价为__________元（用含的代数式表示） 12．如果和是两种相关联的量，且，那么和成______比例． 13．观察下面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第100个图形共有__________个★． 14．根据题意列代数式： (1)m的一半与n的和； (2)x的3倍与y的差的平方． 15．小明在十字路口要通过总长度为的斑马线，他匀速行走到正中间时，看到指示灯要变为红灯，于是他以原来速度的a倍匀速行走（加速过程忽略不计）若小明原来的速度为，解答下列问题： (1)小明行走到正中间所需的时间为 s；（用含x的代数式表示） (2)小明走完全程一共用了多长时间？（用含x，a的代数式表示） 素养提升 1．小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　） A．78 B．87 C．23 D．12 2．下列代数式，书写不规范的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，大长方形的长为 a，宽为 b，从右上角切去一个小长方形，剩余的阴影部分图形面积可通过多种方法表示．下列四个表达式中，不能表示该阴影部分面积的是（     ） A． B． C． D． 4．如图是某智能机器人的零件，则该零件的面积可以表示为（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（    ） 甲：的2倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买2千克的总花费． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 6．①汽车行驶的路程一定，汽车行驶的平均速度和时间：②三角形的面积一定，它的一边长和这条边上的高：③一本书的页数一定，已读的页数和剩下的页数：④商品的单价一定，购物的总金额和购物的数量．以上语句中两个量成反比例关系的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．一棵树高h（m）与生长时间n（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出h（m）与n（年）之间的关系式，______． n（年） 2 4 6 8 10 h（m） 2.6 3.2 3.8 4.4 5.0 8．智能农机装备的推广是山西特色农业现代化发展的核心方向之一．某款用于临县红枣种植的智能采摘机器人，其单个机械臂平均即可完成一颗红枣的采摘．若该机器人搭载m个机械臂，与熟练采摘工人同时工作，已知工人平均可采摘一颗红枣，则机器人在这段时间内可比工人多采摘________颗红枣． 9．某机床要加工一批零件，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工的件数 63 42 35 30 … 加工时间（） 10 15 21 … (1)这批零件共________件； (2)表中________； (3)用表示每小时加工零件的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ 10．用一根绳子围成一个长方形，相邻两边的长分别为和． (1)当长方形的面积为时，用式子表示与的关系． (2)当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系吗？当长方形的面积一定时呢？为什么？ 迁移创新 1．有一个填数游戏，将，，，，，这个数填入图的各个圆圈内使得每条边上的三个数的和都相等，图是小颖的一次尝试． (1)通过计算判断小颖的尝试是否正确； (2)若填入的上述个数符合游戏条件，已知这个数之和为，设每条边上的三个数之和为，三个顶点处的三个数之和为，直接写出，之间的关系式； (3)求出所有填法中每条边上三个数之和的最大值． 2．探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行：        3         第3行：5                7                9 第4行：        11                13               15         …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $