专题3.1 代数式（高效培优讲义）数学人教版2024七年级上册

专题3.1 代数式 教学目标 1. 掌握代数式的概念与意义，能够熟练的判断代数式以及说明代数式的意义。 2. 根据运算法则以及实际问题能根据实际问题熟练的列出代数式，能够熟练的用代数式表示实际问题中的关系。 3. 掌握反比例关系的定义，能够熟练判断反比例关系，并能够熟练的在实际问题中应用。 教学重难点 1. 重点 （1）代数式的概念与意义及其列代数式； （2）反比例关系及其简单应用； 2. 难点 （1）列出代数式； （2）用代数式表示数字或图形的规律。 知识点01 代数式的概念 1. 代数式的概念： 代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示数的 连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2. 代数式的书写要求： ①数与数相乘必须必须用“×”连接，数与字母相乘，字母与字母相乘时把“×”用 代替或 。 ②在数与字母以及石子相乘中，排列的先后顺序依次是 ， ，然后单项式 ，最后多项式。 ③带分数写成 。 ④写含有字母的除法时，要把除法写成 的形式。 ⑤代数式后面有单位时一定要用 把代数式括起来。 【即学即练1】 1．下列各式中，代数式的个数是（　　） ①；②26+38；③ab＝ba；④；⑤2a﹣1；⑥a；⑦；⑧5n+2． A．5 B．6 C．7 D．8 【即学即练2】 2．下列式子中，符合代数式书写格式的是（　　） A．a÷c B．a×5 C． D． 知识点02 代数式的意义 1．代数式的意义： 代数式的意义指的是一个代数式所表示的 。 【即学即练1】 3．代数式表示的意义是（　　） A．a与b的和 B．a与b的倒数和 C．a与b的倒数的和 D．a与b的和的倒数 知识点03 列代数式 1．列代数式： 在解决一些数学问题或实际问题时，把问题中的数量关系用含有 、 和 的式子表示出来，就是列代数式。同一个问题中同一个字母表示同一个量。 【即学即练1】 4．用代数式表示下列各题 ①比x的3倍大6的数； ②比x小6的数的三分之一； ③a、b两数的和与a、b两数差的积； ④被5除商为n余3的数． 知识点04 用代数式表示实际问题中的数量关系 1．用代数式表示实际问题中的数量关系： 用代数式表示实际问题中的数量关系，首先要认真审题，弄清楚问题中各数量之间的关系和运算顺序，然后按代数式规范表达表达出来。 【即学即练1】 5．嘉嘉在期中考试中，语文、数学和英语三科的平均分是m分，语文和数学共得n分，则嘉嘉英语得（　　） A．（m﹣n）分 B．（3m﹣n）分 C．（m﹣2n）分 D．（3m﹣2n）分 知识点05 反比例关系以及实际问题中的反比例关系 1．反比例关系： 两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，且这两个量的 是一个定值，则这两个量叫做成反比例的量或成反比例关系。 字母表示为：或，k是一个定值，叫做比例系数。 【即学即练1】 6．下列各选项中，两种量成反比例关系的是（　　） A．折扣一定，商品的原价和折后价 B．路程一定，速度与时间 C．长方形的长一定，它的面积与宽 D．球体的体积与它的半径 【即学即练2】 7．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 需要的天数/天 25 20 15 10 （1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？ 题型01 判断代数式及其书写 【典例1】下列式子是代数式的是（　　） ①x+1＝7；②5t；③x+1≠0；④x﹣5≥0． A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】下列各式中，不是代数式的是（　　） A．x＝1 B．5 C．2a2+1 D．x﹣2y+3 【变式2】下列各式中，是代数式的是（　　） A．3x+y B．n+2＞3 C． D．5.89≈5.9 【典例2】下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A．a9 B．x﹣3元 C． D． 【变式1】下列代数式，表示正确的是（　　） A．a2 B． C．5a D．a+2元 【变式2】下列代数式符合通常书写规范的是（　　） A．a×4 B． C．s÷t D．（a+1）元 题型02 代数式表示的意义 【典例1】代数式（4m﹣n）2用文字语言表示为（　　） A．m与n的4倍的差的平方 B．m的4倍与n的平方的差 C．m与n的差的平方的4倍 D．m的4倍与n的差的平方 【变式1】下列代数式用自然语言表示正确的是（　　） A．（x+y）2表示x与y平方的和 B．x2+y2表示x与y和的平方 C．表示a与b的倒数和 D．表示c与a，b的积的商 【变式2】关于代数式a2﹣9的意义，下列说法中不正确的是（　　） A．比a的平方少9的数 B．a的平方与9的差 C．a的平方减去9 D．a与9的差的平方 【变式3】下列选项中，可用代数式（a﹣2b）表示实际意义的是（　　） A．七（1）班有学生a名，男生b名，其中一半男生去参加篮球比赛，班内剩余的学生数 B．一个长方形的周长为a，长为b，长方形的宽 C．某商品原价为a元/件，现促销价为b元/件，购买2件该商品可节省的钱 D．某品牌汽车油箱装a升油可装满，汽车每小时耗油b升，该品牌汽车在装满油的情况下，行驶2小时后，油箱的剩余油量 题型03 根据实际问题列出代数式 【典例1】下列语句用代数式表示正确的是（　　） A．比a的2倍大1的数：2a+1 B．a的相反数与b的一半的差： C．a与b的差的平方：a2﹣b2 D．a的平方除以b的商： 【变式1】男生有a人，女生人数比男生的4倍少5人，下面可以表示女生人数的式子是（　　） A．4a﹣5 B．4a+5 C．（a﹣5）÷4 D．a÷4﹣5 【变式2】一个小数，十位上的数字m，个位上的数字是0，十分位上的数字是n，根据每个数位上的计数单位，这个小数用含有字母的式子表示是（　　） A．10mn B．m+n C．10m+n D．10m+0.1n 【变式3】下面四个代数式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．x2+6 B．x2+3（x+2） C．x（x+3）+6 D．（x+3）（x+2）﹣2x 【变式4】有长为L的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园子，园子的宽为t，则所围成的园子面积为（　　） A．（L）t B．（L﹣t）t C．（t）t D．（L﹣2t）t 题型04 反比例关系的判断及其简单应用 【典例1】下列两个量成反比例的是（　　） A．某商品的单价一定，总价和数量 B．长方形的周长一定，它的长和宽 C．圆柱的体积一定，它的底面积和高 D．时间一定，路程和速度 【变式1】下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（　　） A．路程一定，速度和时间 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．被减数一定，减数和差 D．三角形的底边一定，它的面积与这条边上的高 【变式2】邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友．先填表，再回答． 每包的本数 10 20 40 包数 60 （1）每包的本数和包数成什么比例？为什么？ （2）如果每包15本，那么可以打成多少包？如果打成6包，那么每包多少本？ 【变式3】乐乐带了120元钱去买钢笔．根据不同的单价可算出买钢笔的支数，先补全如表，再回答问题． 单价/元 40 20 15 12 10 … 支数/支 … （1）钢笔的单价和支数是怎么变化的？ （2）写出几组这两个量中相对应的两个数的积，并比较积的大小； （3）表中的两个量成反比例吗？为什么？ 题型05 用代数式表示数字或图形的规律 【典例1】如图，正方形的边长均是a，以图①、②、③呈现的规律类推，图中所有圆的周长的和是（　　） A．πa B．6πa C．10πa D．20πa 【变式1】在月历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的月历，任意选择其中所示的含4个数的方框部分，设左上角的数为a，则下列叙述中正确的是（　　） A．右上角的数为a﹣1 B．左下角的数为a+8 C．右下角的数为a+7 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【变式2】有一串代数式：﹣x，2x2，﹣3x3，4x4，…，﹣19x19，20x20，…，求： （1）观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． （2）写出第2009个代数式． （3）写出第n个、第n+1个代数式． 【变式3】阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，； （1）依照上述规律，则可列式 　 ， 　 　 ． （2）用含n的式子表示你发现的规律：　 　 ． （3）求式子的值． 1．下列各选项的两个量成反比例关系的是（　　） A．完成一项定量的工作，工作时间和工作效率 B．进价a元的地球仪，售价和利润 C．正方形的周长和边长 D．圆柱体的底面不变，体积和高 2．下列式子中：①0；②a；③x+y＝2；④x﹣5；⑤2a；⑥a2+1；⑦a≠1；⑧x≤3．属于代数式的有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．一本故事书有a页，琪琪每天看12页，则b天后还剩（　　）页没看完 A．12b B．12a C．b﹣12a D．a﹣12b 4．用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（　　） A．2a﹣3 B．2a+3 C．2（a﹣3） D．2（a+3） 5．下列代数式用自然语言的表示中错误的是（　　） A．a2﹣2ab+b2表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．m+2n表示m与n的2倍的和 C．a2+b2表示a与b的平方的和 D．（a+b）（a﹣b）表示a，b两数的和与差的乘积 6．九月开学季，书店开展优惠活动，某套名著原价为m元，现售价为（0.7m﹣10）元，则下列说法符合题意的是（　　） A．原价减10元后再打7折 B．原价打7折后再减10元 C．原价打3折后再减10元 D．原价减10元后再打3折 7．我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的．请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中不正确的是（　　） A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额 B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长 C．某校七年级共有3个班，每个班平均有a名女生，则3a表示七年级女生总数 D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个数 8．买一个足球需要x元，买一个篮球需要y元，则（2x+3y）元表示的实际意义为（　　） A．买3个足球和2个篮球需要的钱 B．买2个足球和3个篮球需要的钱 C．买3个足球比买2个篮球多花多少钱 D．买2个足球比买3个篮球多花多少钱 9．如图是由连续的奇数1，3，5，7，…排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列中间的数为x，则这四个数的和为（　　） A．3x+1 B．3x+2 C．4x+1 D．4x+2 10．小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（　　） A．赚了99元 B．赚了100元 C．亏了99元 D．亏了100元 11．根据要求写出式子“x的一半与y的2倍的和”：　 　 ． 12．某商场出售一批贺卡，在市场营销中发现，此贺卡的日销售单价x（单位：元）与日销数量y（单位：个）之间有如下关系，请用式子表示y与x的关系：　　 ． 日销售单价x/元 … 3 4 5 6 … 日销售量y/个 … 20 15 12 10 … 13．如图，阴影部分是正方形，图中最大的长方形的周长是 　 　 （用含有字母a，b的代数式表示）． 14．某蓄水池装有A，B两个进水管，每时可分别进水a立方米，b立方米．若单独开放A进水管，p小时可将该水池注满，如果A，B两个进水管同时开放，将该蓄水池注满的时间能提前 　 　 小时． 15．某种杯子的高度是15cm，两个以及三个这样的杯子叠放时高度如图，n个这样的杯子叠放在一起高度是 　 　 （用含n的式子表示）． 16．用文字语言表示下列代数式： （1）3x+4y； （2． 17．学校图书馆有一批图书要分发给学生，学生人数和每名学生分得图书数如下表： 每名学生分得的图书数 2 3 4 5 6 … 学生人数 300 200 150 120 100 … （1）这批图书共有多少本？ （2）若用m表示学生人数，n表示每名学生分得图书数，则n与m成什么比例关系． 18．某养殖场计划用360米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，三个养殖区组成一个大长方形，其中区域①是正方形，区域②和③是长方形，且AG＝2BG．设BG的长为2x米．（公共边共用一条篱笆）． （1）用含x的代数式表示AF的长为　 米； （2）用含x的代数式表示DF的长．（结果需化为最简形式） 19．某公司准备修建一块长方形草坪，长为45米，宽为20米，并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x米，回答下列问题： （1）修建十字路的面积是多少平方米？ （2）草坪（阴影部分）的面积是多少？ （3）如果十字路宽2米，那么草坪（阴影部分）的面积是多少？ 20．某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆．已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为100元和200元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为80元和120元．设从甲仓库调往A县农用车x辆． （1）甲仓库调往B县农用车 　 　 辆，乙仓库调往A县农用车 　 　 辆，乙仓库调往B县农用车 　 　 辆；（用含x的代数式表示） （2）写出该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费（用含x的代数式表示）； （3）在（2）的基础上，求当从甲仓库调往A县农用车5辆时，总运费是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 代数式 教学目标 1. 掌握代数式的概念与意义，能够熟练的判断代数式以及说明代数式的意义。 2. 根据运算法则以及实际问题能根据实际问题熟练的列出代数式，能够熟练的用代数式表示实际问题中的关系。 3. 掌握反比例关系的定义，能够熟练判断反比例关系，并能够熟练的在实际问题中应用。 教学重难点 1. 重点 （1）代数式的概念与意义及其列代数式； （2）反比例关系及其简单应用； 2. 难点 （1）列出代数式； （2）用代数式表示数字或图形的规律。 知识点01 代数式的概念 1. 代数式的概念： 代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 数 或表示数的 字母 连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2. 代数式的书写要求： ①数与数相乘必须必须用“×”连接，数与字母相乘，字母与字母相乘时把“×”用 “· ” 代替或 直接省略 。 ②在数与字母以及石子相乘中，排列的先后顺序依次是 数 ， 字母 ，然后单项式 ，最后多项式。 ③带分数写成 假分数 。 ④写含有字母的除法时，要把除法写成 分数 的形式。 ⑤代数式后面有单位时一定要用 括号 把代数式括起来。 【即学即练1】 1．下列各式中，代数式的个数是（　　） ①；②26+38；③ab＝ba；④；⑤2a﹣1；⑥a；⑦；⑧5n+2． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C． 【解答】解：式子，26+38，，2a﹣1，a，，5n+2，符合代数式的定义，是代数式； 式子ab＝ba，是等式，不是代数式． 故代数式有7个． 故选：C． 【即学即练2】 2．下列式子中，符合代数式书写格式的是（　　） A．a÷c B．a×5 C． D． 【答案】C 【解答】解：A、正确的书写格式是，原书写错误，故此选项不符合题意； B、正确的书写格式是5a，原书写错误，故此选项不符合题意； C、原书写是正确，故此选项符合题意； D、正确的书写格式是x，原书写错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 知识点02 代数式的意义 1．代数式的意义： 代数式的意义指的是一个代数式所表示的 数量关系 。 【即学即练1】 3．代数式表示的意义是（　　） A．a与b的和 B．a与b的倒数和 C．a与b的倒数的和 D．a与b的和的倒数 【答案】D 【解答】解：代数式表示的意义是a与b的和的倒数． 故选：D． 知识点03 列代数式 1．列代数式： 在解决一些数学问题或实际问题时，把问题中的数量关系用含有 数字 、 字母 和 运算符号 的式子表示出来，就是列代数式。同一个问题中同一个字母表示同一个量。 【即学即练1】 4．用代数式表示下列各题 ①比x的3倍大6的数； ②比x小6的数的三分之一； ③a、b两数的和与a、b两数差的积； ④被5除商为n余3的数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①∵x的3倍为3x， ∴比x的3倍大6的数为3x+6； ②比x小6的数为x﹣6， ∴比x小6的数的三分之一为（x﹣6）； ③∵a、b两数的和为a+b， a、b两数差为a﹣b， ∴a、b两数的和与a、b两数差的积为（a+b）（a﹣b）； ④所求的数为5n+3． 知识点04 用代数式表示实际问题中的数量关系 1．用代数式表示实际问题中的数量关系： 用代数式表示实际问题中的数量关系，首先要认真审题，弄清楚问题中各数量之间的关系和运算顺序，然后按代数式规范表达表达出来。 【即学即练1】 5．嘉嘉在期中考试中，语文、数学和英语三科的平均分是m分，语文和数学共得n分，则嘉嘉英语得（　　） A．（m﹣n）分 B．（3m﹣n）分 C．（m﹣2n）分 D．（3m﹣2n）分 【答案】B 【解答】解：因为语文、数学和英语三科的平均分是m分， 所以语文、数学和英语三科的总分为3m， 因为语文和数学共得n分， 所以嘉嘉英语得（3m﹣n）分， 故选：B． 知识点05 反比例关系以及实际问题中的反比例关系 1．反比例关系： 两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，且这两个量的 积 是一个定值，则这两个量叫做成反比例的量或成反比例关系。 字母表示为：或，k是一个定值，叫做比例系数。 【即学即练1】 6．下列各选项中，两种量成反比例关系的是（　　） A．折扣一定，商品的原价和折后价 B．路程一定，速度与时间 C．长方形的长一定，它的面积与宽 D．球体的体积与它的半径 【答案】B 【解答】解：A．∵折扣一定时，商品的原价越高，折扣价越高， ∴折扣一定，商品的原价和折后价成正比例，故A不符合题意； B．∵路程＝速度×时间， ∴当路程一定时，速度与时间成反比例，故B符合题意，当选； C．∵长方形的面积＝长×宽， ∴当长方形的长一定时，它的面积与宽成正比例，故C不符合题意； D．∵球体的体积公式是， ∴球体的体积随半径的增大而增大，球体的体积与它的半径不是反比例关系，故D不符合题意． 故选：B． 【即学即练2】 7．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 需要的天数/天 25 20 15 10 （1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系， 理由：∵12×25＝15×20＝300， ∴每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系； （2）300÷6＝50（页）， 答：平均每天要看50页． 题型01 判断代数式及其书写 【典例1】下列式子是代数式的是（　　） ①x+1＝7；②5t；③x+1≠0；④x﹣5≥0． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B． 【解答】解：式子5t，符合代数式的定义，是代数式； 式子x+1＝7是等式，不是代数式； 式子x+1≠0，x﹣5≥0是不等式，不是代数式． 故代数式有②． 故选：B． 【变式1】下列各式中，不是代数式的是（　　） A．x＝1 B．5 C．2a2+1 D．x﹣2y+3 【答案】A． 【解答】解：A．x＝1是等式，不是代数式； B．5是代数式； C．2a2+1是代数式； D．x﹣2y+3是代数式． 故选：A． 【变式2】下列各式中，是代数式的是（　　） A．3x+y B．n+2＞3 C． D．5.89≈5.9 【答案】A 【解答】解：A．3x+y，是代数式； B．n+2＞3，是不等式，不是代数式； C．，是等式，不是代数式； D．5.89≈5.9，是不等式，不是代数式． 故选：A． 【典例2】下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A．a9 B．x﹣3元 C． D． 【答案】C 【解答】解：A、a9应该写成9a，故选项不符合题意； B、x﹣3元应该写成（x﹣3）元，故选项不符合题意； C、符合代数式书写要求，故选项符合题意； D、带分数要写成假分数，故选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列代数式，表示正确的是（　　） A．a2 B． C．5a D．a+2元 【答案】C 【解答】解：根据代数式的书写要求①在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式判断如下： A、a2应写成2a，故此选项不符合题意； B、应写成，故此选项不符合题意； C、5a，书写正确，故此选项符合题意； D、a+2元，应写成（a+2）元，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列代数式符合通常书写规范的是（　　） A．a×4 B． C．s÷t D．（a+1）元 【答案】D 【解答】解：选项A正确的书写格式是4a，故不符合题意， 选项B正确的书写格式是，故不符合题意， 选项C正确的书写格式是，故不符合题意， 选项D正确，故符合题意． 故选：D． 题型02 代数式表示的意义 【典例1】代数式（4m﹣n）2用文字语言表示为（　　） A．m与n的4倍的差的平方 B．m的4倍与n的平方的差 C．m与n的差的平方的4倍 D．m的4倍与n的差的平方 【答案】D 【解答】解：代数式（4m﹣n）2用文字语言表示为m的4倍与n的差的平方． 故选：D． 【变式1】下列代数式用自然语言表示正确的是（　　） A．（x+y）2表示x与y平方的和 B．x2+y2表示x与y和的平方 C．表示a与b的倒数和 D．表示c与a，b的积的商 【答案】D 【解答】解：（x+y）2表示x与y的平方和，故选项A不正确； x2+y2表示x与y的平方和，故选项B不正确； 表示a与b和的倒数，故选项C不正确； 表示c与a，b的积的商，故选项D正确． 故选：D． 【变式2】关于代数式a2﹣9的意义，下列说法中不正确的是（　　） A．比a的平方少9的数 B．a的平方与9的差 C．a的平方减去9 D．a与9的差的平方 【答案】D 【解答】解：A．代数式a2﹣9表示比a的平方少9的数，说法正确，不符合题意； B．代数式a2﹣9表示a的平方与9的差，说法正确，不符合题意； C．代数式a2﹣9表示a的平方减去9，说法正确，不符合题意； D．代数式a2﹣9表示a与3的平方差，说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式3】下列选项中，可用代数式（a﹣2b）表示实际意义的是（　　） A．七（1）班有学生a名，男生b名，其中一半男生去参加篮球比赛，班内剩余的学生数 B．一个长方形的周长为a，长为b，长方形的宽 C．某商品原价为a元/件，现促销价为b元/件，购买2件该商品可节省的钱 D．某品牌汽车油箱装a升油可装满，汽车每小时耗油b升，该品牌汽车在装满油的情况下，行驶2小时后，油箱的剩余油量 【答案】D 【解答】解：A．七（1）班有学生a名，男生b名，其中一半男生去参加篮球比赛，班内剩余的学生数为（ab），所以A选项错误，不符合题意； B．一个长方形的周长为a，长为b，长方形的宽为（b），所以B选项错误，不符合题意； C．某商品原价为a元/件，现促销价为b元/件，购买2件该商品可节省的钱为2（a﹣b），所以C选项错误，不符合题意； D．汽车油箱装a升油可装满，汽车每小时耗油b升，该品牌汽车在装满油的情况下，行驶2小时后，油箱的剩余油量是（a﹣2b）升，所以D选项正确，符合题意． 故选：D． 题型03 根据实际问题列出代数式 【典例1】下列语句用代数式表示正确的是（　　） A．比a的2倍大1的数：2a+1 B．a的相反数与b的一半的差： C．a与b的差的平方：a2﹣b2 D．a的平方除以b的商： 【答案】A 【解答】解：A．比a的2倍大1的数表示为2a+1，符合题意， B．a的相反数与b的一半的差应表示为﹣a，不符合题意， C．a与b的差的平方应表示为（a﹣b）2，不符合题意， D．a的平方除以b的商应表示为a2÷b，不符合题意， 故选：A． 【变式1】男生有a人，女生人数比男生的4倍少5人，下面可以表示女生人数的式子是（　　） A．4a﹣5 B．4a+5 C．（a﹣5）÷4 D．a÷4﹣5 【答案】A 【解答】解：男生有a人，男生的4倍：4a人，则男生的4倍少5人为（4a﹣5）人， 女生人数比男生的4倍少5人，即女生的人数是（4a﹣5）人， 故选：A． 【变式2】一个小数，十位上的数字m，个位上的数字是0，十分位上的数字是n，根据每个数位上的计数单位，这个小数用含有字母的式子表示是（　　） A．10mn B．m+n C．10m+n D．10m+0.1n 【答案】D 【解答】解：由于十位上的数字是m，表示m个十，即10m，十分位上的数字是n，表示n个0.1，即0.1n， 所以这个小数用含有字母的式子表示为10m+0.1n， 故选：D． 【变式3】下面四个代数式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．x2+6 B．x2+3（x+2） C．x（x+3）+6 D．（x+3）（x+2）﹣2x 【答案】A 【解答】解：根据图形列出代数式逐项分析判断如下： A．x2+6表示左上角和右下角两部分阴影的和，符合题意； B：阴影部分的面积等于右边两个小长方形组成的大长方形面积加上左边阴影部分的长方形面积，即，不符合题意； C：阴影部分的面积等于上面两个小长方形组成的大长方形面积加上下面阴影部分的长方形面积，即S阴影＝x（x+3）+6，不符合题意； D：阴影部分的面积等于大长方形的面积减去空白部分长方形的面积，即S阴影＝（x+3）（x+2）﹣2x，不符合题意； 故选：A． 【变式4】有长为L的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园子，园子的宽为t，则所围成的园子面积为（　　） A．（L）t B．（L﹣t）t C．（t）t D．（L﹣2t）t 【答案】D 【解答】解：由题意可得， 围成的园子的面积为：t（L﹣2t）， 故选：D． 题型04 反比例关系的判断及其简单应用 【典例1】下列两个量成反比例的是（　　） A．某商品的单价一定，总价和数量 B．长方形的周长一定，它的长和宽 C．圆柱的体积一定，它的底面积和高 D．时间一定，路程和速度 【答案】C 【解答】解：A．单价＝总价÷数量，故某商品的单价一定，购买的总价和数量的比值是定值，选项说法不正确，不符合题意； B．长方形的周长＝（长+宽）×2，故长方形的周长一定，长和宽的和是定值，选项说法不正确，不符合题意； C．因为圆柱的体积＝底面积×高，则圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例，选项说法正确，符合题意； D．速度＝路程÷时间，故时间一定，路程和速度的比值是定值，选项说法不正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（　　） A．路程一定，速度和时间 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．被减数一定，减数和差 D．三角形的底边一定，它的面积与这条边上的高 【答案】A 【解答】解：A、路程一定，行驶的时间和速度成反比关系，选项说法正确，符合题意； B、圆柱的高一定，体积和底面积成正比关系，选项说法错误，不符合题意； C、被减数一定，减数和差不成比例关系，选项说法错误，不符合题意； D、三角形的底边一定，它的面积与这条边上的高成正比，选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2】邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友．先填表，再回答． 每包的本数 10 20 40 包数 60 （1）每包的本数和包数成什么比例？为什么？ （2）如果每包15本，那么可以打成多少包？如果打成6包，那么每包多少本？ 【答案】（1）每包的本数和包数成反比例，则填表如下： 每包的本数 10 20 40 包数 60 30 15 由于10×60＝20×30＝40×15＝600， 所以两个变量的乘积为常数， ∴每包的本数和包数成反比例； （2）如果每包15本，那么可以打成40包，如果打成6包，那么每包100本． 【解答】解：（1）邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友由题意得， 10×60÷20＝30，10×60÷40＝15， 每包的本数 10 20 40 包数 60 30 15 由于10×60＝20×30＝40×15＝600， 乘积为常数， ∴每包的本数和包数成反比例； （2）由题意得，600÷15＝40（包），600÷6＝100（本）， 答：如果每包15本，那么可以打成40包，如果打成6包，那么每包100本． 【变式3】乐乐带了120元钱去买钢笔．根据不同的单价可算出买钢笔的支数，先补全如表，再回答问题． 单价/元 40 20 15 12 10 … 支数/支 … （1）钢笔的单价和支数是怎么变化的？ （2）写出几组这两个量中相对应的两个数的积，并比较积的大小； （3）表中的两个量成反比例吗？为什么？ 【答案】3；6；8；10；12； （1）支数随单价的减小而增大； （2）40×3＝120，20×6＝120，15×8＝120（答案不唯一），乘积相等，都是120； （3）成反比例，因为单价×支数＝总价（一定）． 【解答】解：先补全列表如图： 单价/元 40 20 15 12 10 支数 3 6 8 10 12 （1）根据表中数据，40＞20＞15＞12＞10，3＜6＜8＜10＜12， ∴支数随单价的减小而增大． （2）20×6＝120，15×8＝120（答案不唯一），乘积相等，都是120； （3）成反比例，因为单价×支数＝总价（一定）． 题型05 用代数式表示数字或图形的规律 【典例1】如图，正方形的边长均是a，以图①、②、③呈现的规律类推，图中所有圆的周长的和是（　　） A．πa B．6πa C．10πa D．20πa 【答案】B 【解答】解：根据图形发现： 第一个图中，圆的周长为πa； 第二个图中，所有圆的周长之和是2πa； 以此类推，则第3个图中所有圆的周长之和为3πa： 所以图中所有圆的周长的和是：πa+2πa+3πa＝6πa． 故选：B． 【变式1】在月历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的月历，任意选择其中所示的含4个数的方框部分，设左上角的数为a，则下列叙述中正确的是（　　） A．右上角的数为a﹣1 B．左下角的数为a+8 C．右下角的数为a+7 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【解答】解：由图可得， 左上角的数为a，则右上角的数字为a+1，左下角的数字为a+7，右下角的数字为a+8，故选项A、B、C均不符合题意， a+（a+1）+（a+7）+（a+8） ＝a+a+1+a+7+a+8 ＝4a+16 ＝4（a+4）， ∴方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】有一串代数式：﹣x，2x2，﹣3x3，4x4，…，﹣19x19，20x20，…，求： （1）观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． （2）写出第2009个代数式． （3）写出第n个、第n+1个代数式． 【答案】（1）这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正； （2）﹣2009x2009； （3）（﹣1）nnxn，（﹣1）n+1（n+1）xn+1． 【解答】解：（1）这组代数式的规律是：这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正． （2）根据这串代数式的规律，第2009个代数式是﹣2009x2009． （3）第n个代数式是（﹣1）nnxn，第n+1个代数式是（﹣1）n+1（n+1）xn+1． 【变式3】阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，； （1）依照上述规律，则可列式 　　 ， 　　 ． （2）用含n的式子表示你发现的规律：　　 ． （3）求式子的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1），． 故答案为：，． （2）用含n的式子表示发现的规律为． 故答案为：． （3）原式＝1 ＝1 ． 1．下列各选项的两个量成反比例关系的是（　　） A．完成一项定量的工作，工作时间和工作效率 B．进价a元的地球仪，售价和利润 C．正方形的周长和边长 D．圆柱体的底面不变，体积和高 【答案】A 【解答】解：A、完成一项定量的工作，工作时间和工作效率的乘积一定，成反比例关系，故本选项符合题意； B、进价a元的地球仪，售价和利润的差值一定，不成反比例关系，故本选项不符合题意； C、正方形的周长和边长的比值一定，成正比例关系，故本选项不符合题意； D、圆柱体的底面不变，体积和高的比值一定，成正比例关系，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．下列式子中：①0；②a；③x+y＝2；④x﹣5；⑤2a；⑥a2+1；⑦a≠1；⑧x≤3．属于代数式的有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【解答】解：式子0，a，x﹣5，2a，a2+1，符合代数式的定义，是代数式； 式子x+y＝2，是等式，不是代数式； 式子a≠1，x≤3，是不等式，不是代数式． 故代数式有5个． 故选：B． 3．一本故事书有a页，琪琪每天看12页，则b天后还剩（　　）页没看完 A．12b B．12a C．b﹣12a D．a﹣12b 【答案】D 【解答】解：b天看了12b页，则b天后还剩（a﹣12b）页， 故选：D． 4．用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（　　） A．2a﹣3 B．2a+3 C．2（a﹣3） D．2（a+3） 【答案】B 【解答】解：a的2倍就是：2a， a的2倍与3的和就是：2a与3的和，可表示为：2a+3． 故选：B． 5．下列代数式用自然语言的表示中错误的是（　　） A．a2﹣2ab+b2表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．m+2n表示m与n的2倍的和 C．a2+b2表示a与b的平方的和 D．（a+b）（a﹣b）表示a，b两数的和与差的乘积 【答案】C 【解答】解：A．a2﹣2ab+b2表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍，故正确，不符合题意； B．m+2n表示m与n的2倍的和，故正确，不符合题意； C．a2+b2表示a的平方与b的平方的和，故错误，符合题意； D．（a+b）（a﹣b）表示a，b两数的和与差的乘积，故正确，不符合题意； 故选：C． 6．九月开学季，书店开展优惠活动，某套名著原价为m元，现售价为（0.7m﹣10）元，则下列说法符合题意的是（　　） A．原价减10元后再打7折 B．原价打7折后再减10元 C．原价打3折后再减10元 D．原价减10元后再打3折 【答案】B 【解答】解：由题意得，（0.7m﹣10）元表示的是在原价的基础上先打7折，然后再降价10元． 故选：B． 7．我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的．请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中不正确的是（　　） A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额 B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长 C．某校七年级共有3个班，每个班平均有a名女生，则3a表示七年级女生总数 D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个数 【答案】D 【解答】解：A、若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额，正确，故A不符合题意； B、若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长，正确，故B不符合题意； C、若某校七年级共有3个班，平均每个班有a名女生，3a表示该校七年级女生总数，正确，故C不符合题意； D、若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则30+a表示这个两位数，此选项错误，故D符合题意． 故选：D． 8．买一个足球需要x元，买一个篮球需要y元，则（2x+3y）元表示的实际意义为（　　） A．买3个足球和2个篮球需要的钱 B．买2个足球和3个篮球需要的钱 C．买3个足球比买2个篮球多花多少钱 D．买2个足球比买3个篮球多花多少钱 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，（2x+3y）表示的是买2个篮球和3个足球共需多少元． 故选：B． 9．如图是由连续的奇数1，3，5，7，…排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列中间的数为x，则这四个数的和为（　　） A．3x+1 B．3x+2 C．4x+1 D．4x+2 【答案】D 【解答】解：设竖列中间的数为x， 则上面的数为：x﹣10， 下面的数为：x+10， 其右侧的数为：x+2， 则这四个数的和为：x﹣10+x+10+x+2+x＝4x+2， 故选：D． 10．小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（　　） A．赚了99元 B．赚了100元 C．亏了99元 D．亏了100元 【答案】B 【解答】解：1﹣2+3﹣4+5﹣6+...+197﹣198+199 ＝（﹣1）199 ＝（﹣1）×99+199 ＝（﹣99）+199 ＝100（元）， 则小红赚了100元， 故选：B． 11．根据要求写出式子“x的一半与y的2倍的和”：　2y　 ． 【答案】2y． 【解答】解：根据题意，得2y． 故答案为：2y． 12．某商场出售一批贺卡，在市场营销中发现，此贺卡的日销售单价x（单位：元）与日销数量y（单位：个）之间有如下关系，请用式子表示y与x的关系：　　 ． 日销售单价x/元 … 3 4 5 6 … 日销售量y/个 … 20 15 12 10 … 【答案】． 【解答】解：通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60， 所以y与x的关系为xy＝60，即． 故答案为：． 13．如图，阴影部分是正方形，图中最大的长方形的周长是 　2a+2b　 （用含有字母a，b的代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设正方形的边长为x， 则最大的长方形的周长是（a+b﹣x+x）×2＝2a+2b， 故答案为：2a+2b． 14．某蓄水池装有A，B两个进水管，每时可分别进水a立方米，b立方米．若单独开放A进水管，p小时可将该水池注满，如果A，B两个进水管同时开放，将该蓄水池注满的时间能提前 　　 小时． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意可得：， 故答案为：． 15．某种杯子的高度是15cm，两个以及三个这样的杯子叠放时高度如图，n个这样的杯子叠放在一起高度是 　（3n+12）cm　 （用含n的式子表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图可得， 每增加一个杯子，高度增加3cm， 则n个这样的杯子叠放在一起高度是：15+3（n﹣1）＝（3n+12）cm， 故答案为：（3n+12）cm． 16．用文字语言表示下列代数式： （1）3x+4y； （2． 【答案】（1）x的3倍与y的4倍的和； （2）a的平方与a、b乘积的一半的差． 【解答】解：（1）代数式表示：x的3倍与y的4倍的和； （2）代数式表示：a的平方与a、b乘积的一半的差． 17．学校图书馆有一批图书要分发给学生，学生人数和每名学生分得图书数如下表： 每名学生分得的图书数 2 3 4 5 6 … 学生人数 300 200 150 120 100 … （1）这批图书共有多少本？ （2）若用m表示学生人数，n表示每名学生分得图书数，则n与m成什么比例关系． 【答案】（1）600本；（2）n与m成反比例关系． 【解答】解：（1）用每名学生分得的图书数乘以对应的人数可得： 2×300＝600（本）， 答：这批图书共有600本； （2）由（1）可知：m与n的乘积一定， ∴n与m成反比例关系． 18．某养殖场计划用360米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，三个养殖区组成一个大长方形，其中区域①是正方形，区域②和③是长方形，且AG＝2BG．设BG的长为2x米．（公共边共用一条篱笆）． （1）用含x的代数式表示AF的长为　4x　 米； （2）用含x的代数式表示DF的长．（结果需化为最简形式） 【答案】（1）4x； （2）180﹣15x（米）． 【解答】解；（1）设BG的长为2x米．则AG＝4x， ∵区域①是正方形， ∴AF＝AG＝4x， 故答案为：4x． （2）∵区域①是正方形， ∴AF＝AG＝GH＝FH＝4x米， ∴EH＝BG＝2x米，BE＝GH＝4x米， 则EF＝FH+EH＝6x米． ∵区域③是长方形， ∴DF＝CE，CD＝EF＝6x米， 则（米）． 19．某公司准备修建一块长方形草坪，长为45米，宽为20米，并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x米，回答下列问题： （1）修建十字路的面积是多少平方米？ （2）草坪（阴影部分）的面积是多少？ （3）如果十字路宽2米，那么草坪（阴影部分）的面积是多少？ 【答案】（1）﹣2x2+85x； （2）2x2﹣85x+900； （3）738． 【解答】解：（1）修建十字路的面积是45x+2×20x﹣2x2＝﹣2x2+85x， 答：修建十字路的面积是（﹣2x2+85x）平方米． （2）草坪的面积为：45×20﹣（﹣2x2+85x）＝2x2﹣85x+900； （3）十字路宽2米， ∴草坪（阴影部分）的面积是2×22﹣85×2+900＝738（平方米）． 答：草坪（阴影部分）的面积738平方米． 20．某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆．已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为100元和200元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为80元和120元．设从甲仓库调往A县农用车x辆． （1）甲仓库调往B县农用车 　（12﹣x）　 辆，乙仓库调往A县农用车 　（10﹣x）　 辆，乙仓库调往B县农用车 　（x﹣4）　 辆；（用含x的代数式表示） （2）写出该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费（用含x的代数式表示）； （3）在（2）的基础上，求当从甲仓库调往A县农用车5辆时，总运费是多少元？ 【答案】（1）（12﹣x），（10﹣x），（x﹣4）； （2）（﹣60x+2720）元； （3）2420元． 【解答】解：（1）设从甲仓库调往A县农用车x辆，故甲仓库调往B县农用车（12﹣x）辆， A县共需10辆，故乙仓库调往A县农用车（10﹣x）辆，乙仓库共6辆，乙仓库调往B县农用车6﹣（10﹣x）＝（x﹣4）辆， 故答案为：（12﹣x），（10﹣x），（x﹣4）； （2）到A县的总运费：100x+80（10﹣x）＝（20x+800）元， 到B县的总运费：200（12﹣x）+120（x﹣4）＝（﹣80x+1920）元； 总运费为＝20x+800﹣80x+1920＝（﹣60x+2720）元； （3）该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费为﹣60x+2720， 当x＝5时，原式＝﹣60×5+2720＝2420， ∴到A、B两县所需要的总运费为2420元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $