26.1二次函数的概念 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学二次函数概念同步练，通过基础辨析-情境应用-建模拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数定义、系数识别|选择1-5直接判断函数类型，填空9明确二次函数特征，强化符号意识| |中档|参数辨析、概念辨析|选择7辨析易错点，填空11-13通过参数确定函数类型，培养推理能力| |提升|实际情境建模|解答18-20结合矩形面积、绿地规划等问题列函数式，发展模型意识|

26.1二次函数的概念 同步练习 一．选择题（共8小题） 1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B．x2﹣y+2＝0 C．y＝2x+1 D．y2＝x2﹣1 2．函数y＝xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．若函数y＝□﹣5x+3是二次函数，则“□”可以是（　　） A．y B．22 C．x2 D．2x 4．关于x的二次函数的解析式是y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣4，﹣1 B．﹣2，4，1 C．2，﹣4，1 D．﹣2，4，﹣1 5．若y＝mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（　　） A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0 C．m≠0 D．m≠0，或p≠0 6．下列变量间具有二次函数关系的是（　　） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 7．下列说法中，不正确的是（　　） A．二次函数中，自变量的取值范围是全体实数 B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数 C．y（x+1）（2x﹣1）是二次函数 D．在函数y＝2x2中，一次项系数为2 8．线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿线段BA运动至点A，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则S与t，y与t满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 二．填空题（共5小题） 9．在下列给定的y关于x的函数中：①y＝πx2﹣1，②y＝ax2+bx+c，③x+1，④y，一定是二次函数的是　 　 ．（填写序号） 10．二次函数y＝（2x﹣1）（1﹣x）的二次项系数是　 　 ，常数项是　 　 ． 11．如果函数是关于x的二次函数，则k＝　 　 ． 12．若函数是关于x的二次函数，则一次函数y＝kx﹣1的图象不经过第　 　 象限． 13．已知y＝（m﹣2）x2﹣2x+5． （1）当m＝　 　 时，它是y关于x的一次函数； （2）当m＝　 　 时，它是y关于x的二次函数． 三．解答题（共7小题） 14．下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数，一次项系数和常数项． （1）y＝﹣2x2； （2）y＝﹣3x2﹣5； （3）y＝x﹣3； （4）y＝3﹣2x+5x2； （5）y＝2（x﹣1）2+2； （6）y＝（2x﹣3）（3x﹣2）﹣6x2． 15．已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 16． 关于x的函数y＝（a2+2a+5）x2+3ax+1（a为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 17． 已知y＝（m2﹣m）x（m﹣3）x+m2是关于x的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 18．根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数： （1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数； （2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数； （3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数． 19．某汽车的行驶路程y（m）与行驶时间x（s）之间的函数表达式为y＝3xx2．y是x的二次函数吗？求汽车行驶60s的路程． 20．如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩形的长与宽都增加xcm，那么这个矩形的面积增加ycm2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）这个函数是二次函数吗？为什么？ （3）求自变量的取值范围． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的函数，据此逐一判断即可． 【解答】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，故此选项不符合题意； B、x2﹣y+2＝0，整理得y＝x2+2，符合二次函数定义，故此选项符合题意； C、y＝2x+1是一次函数，故此选项不符合题意； D、y2＝x2﹣1中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握这个定义是解题的关键． 2．【分析】根据二次函数的定义得到m+1＝2，解方程求出m即可． 【解答】解：∵函数y＝xm+1是关于x的二次函数， ∴m+1＝2， ∴m＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）叫二次函数． 3．【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数是二次函数，满足定义的才是符合题意的结果． 【解答】解：根据二次函数的定义，要使得函数y＝□﹣5x+3是二次函数，只有C选项“□”可以是x2． A、y，y＝y﹣5x+3不是二次函数，故A选项错误； B、22，y＝22﹣5x+3是一次函数，故B选项错误； C、x2，y＝x2﹣5x+3是二次函数，故C选项正确； D、2x，y＝2x﹣5x+3是一次函数，故D选项错误； 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 4．【分析】根据二次函数的定义，即可解答． 【解答】解：关于x的二次函数的解析式是y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数是﹣2、一次项系数是4、常数项是1， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．【分析】根据二次函数的定义求解． 【解答】解：根据题意得当m≠0时，y＝mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 6．【分析】根据二次函数的定义（形如y＝ax2+bx+c，其中a≠0），逐一分析各选项变量间的关系式，判断是否为二次函数即可． 【解答】解：根据二次函数的定义逐项分析判断如下： A．正方形的周长y与边长x的关系为y＝4x，是一次函数，不符合题意； B．正方形的面积S与边长x的关系为S＝x2，符合二次函数形式，符合题意； C．三角形的高一定时，面积y与底边x的关系为y（h为定值），是一次函数，不符合题意； D．速度一定时，路程s与时间t的关系为s＝vt（v为定值），是一次函数，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义．熟练掌握该知识点是关键． 7．【分析】形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的式子叫做二次函数，其中x是自变量，x可以是全体实数，接下来依据二次函数的相关定义分析每个选项的正误． 【解答】解：对于A，二次函数自变量的取值范围一定是全体实数，故A正确； 对于B，在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数，故B正确； 对于C，y（x+1）（2x﹣1）化简后符合二次函数的一般式，故C正确； 对于D，一次项系数为0，2是常数项，故D不正确． 故选D． 【点评】本题是一道有关二次函数的题目，解题的关键是掌握二次函数的概念及一般式． 8．【分析】根据题意可得出S与t，y与t的函数关系式，然后根据二次函数的定义和一次函数的定义即可得出答案． 【解答】解：根据题意可得：PB＝t， ∴PA＝AB﹣PB＝5﹣t， ∴⊙B的面积S＝πPB2＝πt2，属于二次函数关系， 正方形APCD周长y＝4PA＝4（5﹣t）＝﹣4t+20，属于一次函数关系， 故选：C． 【点评】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，二次函数的定义，一次函数的定义等知识点，熟练掌握二次函数的定义和一次函数的定义是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 9．【分析】根据二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数是二次函数，需满足整式且x的最高次数为2，据此解答即可． 【解答】解：①y＝πx2﹣1，其中a＝π≠0，是二次函数，符合题意； ②y＝ax2+bx+c，a可能为0，不一定是二次函数，不符合题意； ③，为一次函数，不是二次函数，不符合题意； ④，是分式函数，不是二次函数，不符合题意． 故答案为：①． 【点评】本题考查二次函数的判断，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．【分析】通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可求解． 【解答】解：∵二次函数变形为y＝﹣2x2+3x﹣1， ∴二次项系数为﹣2，常数项是﹣1． 故答案为：﹣2，﹣1． 【点评】本题考查的是二次函数的一般形式，正确进行计算是解题关键． 11．【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【解答】解：∵函数是关于x的二次函数， 根据二次函数的定义， 得， 解方程k2﹣3k+2＝2， 解得k＝0或k＝3． 由k﹣3≠0得k≠3， 因此k＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查二次函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．【分析】根据二次函数的定义，指数部分必须为2且系数不为零，解出k的值，再代入一次函数解析式，分析其图象所经过的象限． 【解答】解：根据二次函数的定义可知k2﹣k＝2且k﹣2≠0， 解得：k＝﹣1， ∴y＝﹣x﹣1， ∵k＝﹣1＜0，b＝﹣1＜0， 图象不经过第一象限， 故答案为：一． 【点评】本题考查了根据二次函数的定义求参数，熟练掌握该知识点是关键． 13．【分析】（1）根据形如y＝kx+b （k≠0）是一次函数，可得答案； （2）根据形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案． 【解答】解：（1）由是关于x的一次函数， 得， 解得m＝1， 当m＝1时，它是y关于x的一次函数， 故答案为：1； （2）由是关于x的二次函数，得 ①m﹣2＝0， 解得m＝2； ②m2﹣3m+4＝1， 无解； ③ 解得m＝2， ④m2﹣3m+4＝0， 无解， 综上所述，当m＝2时，它是y关于x的二次函数． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数的定义，一次函数的一次项系数不等于零二次项系数等于零是解题关键，注意二次函数的二次项系数不等于零． 三．解答题（共7小题） 14．【分析】根据二次函数定义进行解答即可． 【解答】解：（1）y＝﹣2x2是二次函数，二次项系数是﹣2、一次项系数是0，常数项是0； （2）y＝﹣3x2﹣5，是二次函数，二次项系数是﹣3、一次项系数是0，常数项是﹣5； （3）y＝x﹣3不是二次函数； （4）y＝3﹣2x+5x2，是二次函数，二次项系数是5、一次项系数是﹣2，常数项是3； （5）y＝2（x﹣1）2+2＝2x2﹣4x+4是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是﹣4，常数项是4； （6）y＝（2x﹣3）（3x﹣2）﹣6x2＝﹣13x+6不是二次函数． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 15．【分析】（1）根据二次函数的定义，即y＝ax2+bx+c（a≠0）列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【解答】解：（1）由条件可得， ∴m＝3． （2）二次函数解析式为y＝12x2﹣2， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为﹣2． 【点评】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． 16．【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【解答】解：乙的说法正确，理由： ∵a2+2a+5＝（a+1）2+4＞0， ∴此函数一定是二次函数， ∴乙的说法正确． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，非负数的性质，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 17．【分析】根据二次函数定义可得，解之可得m的值，从而可得函数解析式及各项系数、常数项． 【解答】解：根据题意可得， 解得：m＝﹣1或m＝3， 当m＝﹣1时，二次函数为y＝2x2﹣4x+1，其二次项系数为2，一次项系数为﹣4，常数项为1； 当m＝3时，二次函数为y＝6x2+9，其二次项系数为6，一次项系数为0，常数项为9． 【点评】本题主要考查二次函数的定义，根据二次函数的定义得出关于m的方程，解之得出m的值是解题的关键． 18．【分析】根据二次函数的定义，根据每一题的数量关系列出函数关系式解答即可． 【解答】解：（1）这两个数的乘积p与较大的数m的函数关系为：p＝m（m﹣5）＝m2﹣5m，是二次函数； （2）剩余的面积S（cm2）与方孔边长x（cm）的函数关系为：S＝100π﹣4x2，是二次函数； （3）郁金香的种植面积S（cm2）与草坪宽度a（m）的函数关系为：S＝（60﹣2a）（40﹣2a）＝4a2﹣200a+2400，是二次函数． 【点评】本题考查二次函数的定义，根据每一题的数量关系列出函数关系式是解题的关键． 19．【分析】根据二次函数的定义进行判断，把x＝60代入函数关系式计算即可． 【解答】解：y＝3xx2满足二次函数的一般形式， 所以y是x的二次函数， 当x＝60时，y＝3×60602＝1980． 【点评】本题考查的是二次函数的定义和函数值，掌握二次函数的一般形式是解题的关键，注意计算函数值是计算结果要正确． 20．【分析】（1）根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y与x的函数关系式； （2）结合（1）得到的函数关系式，根据所学过的函数表达式即可判断； （3）因为边长的增加量是非负数，即可写出x的取值范围． 【解答】解：（1）∵矩形的长为4cm，宽为3cm， ∴矩形的面积＝4×3＝12（cm2）． ∵矩形的长与宽都增加xcm， ∴增加后矩形的面积＝（4+x）（3+x）cm2， ∴y＝（4+x）（3+x）﹣12，即y＝x2+7x， 故y与x之间的函数关系式为y＝x2+7x． （2）∵一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数， ∴y＝x2+7x是二次函数； （3）∵x为矩形增加的长与宽， ∴自变量x的取值范围为x≥0． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/8 10:27:43；用户：阮燕；邮箱：yqsl66@xyh.com；学号：28230077 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $