26.2.1二次函数的图像与性质 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 这份同步练习通过基础巩固、进阶应用、挑战拓展三层设计，覆盖二次函数图像与性质核心知识点，从概念理解到综合应用，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数定义、对称轴、开口方向等基本性质|单选直接考查概念，填空强化点与图像关系，解答题17-19巩固基础运算与作图| |进阶层|图像与几何图形结合、含参数性质分析|单选6-8结合正方形、拱桥情境，填空13-15涉及函数值比较与平移，解答20综合直线与抛物线| |挑战层|综合应用与新定义问题|填空16菱形与抛物线面积计算，解答21-22涉及最值证明与“伴随函数”新定义，培养创新意识|

26.2.1二次函数的图像与性质 同步练习 一、单选题 1．二次函数 的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．x轴 2．抛物线的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 3．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 5．关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 6．如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 7．关于抛物线，下列说法正确的有（   ） ①与抛物线顶点相同，开口方向相反；②当时，随的增大而减小；③当时，；④若，是该抛物线上两点，则． A．个 B．个 C．个 D．个 8．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 二、填空题 9．若点在抛物线上，则_______． 10．若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为____． 11．如果点和点是抛物线（是常数，且）上的两点，那么______．（填“”、“”或“”） 12．已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是_____． 13．已知，为抛物线上任意两点，其中，若对于，都有，则a的取值范围是______． 14．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 15．已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________（用“<”连接）． 16．二次函数的图象如图，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为_____． 三、解答题 17．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ 18．正方形的周长为，面积为． (1)求与之间的解析式． (2)画出此函数的图象． (3)根据图象，求当时，正方形的周长． (4)根据图象，求时，的取值范围． 19．（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 20．如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 22．我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．解答下列问题： (1)的图象关于 轴对称； (2)直接写出函数的伴随函数的表达式 ； 在如图所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图象； (3)若直线与的伴随函数图象交于、两点（点在点的上方），连接、，且的面积为12，求的值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据抛物线的对称轴为y轴解答可得． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线，即y轴， 故选：A． 2．A 【分析】根据抛物线的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的图象得对称轴为y轴，顶点坐标为原点，开口向上， ∴抛物线的图象一定经过第一、二象限． 故选：A 【点睛】本题主要查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 4．D 【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴二次函数图象开口向下， ∴，且， 解得：，且 或 ， ∴， 则的值为． 故选：D． 5．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与系数的关系，以及对称轴的判定方法是解题的关键．先分别分析两个二次函数的开口方向、最值点、增减性和对称轴，再对比各选项找出它们的共同点． 【详解】∵函数的，开口向下，有最高点，当时随增大而增大，当时随增大而减小； 函数的，开口向上，有最低点，当时随增大而减小，当时随增大而增大； ∴A、B、C均不是共同点； ∵两个函数均为形式， ∴对称轴都是轴，故D正确. 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．根据点在抛物线上求出m的值，求出的长，再根据正方形的性质求出正方形的面积． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴正方形面积为∶ ． 故选C． 7．C 【分析】本题考查抛物线的性质，掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴是y轴， ∴①与抛物线顶点相同，开口方向相反，说法正确； ②当时，随的增大而减小，说法正确； ③当时，，原说法错误； ④若，是该抛物线上两点，即两点关于y轴对称，则，说法正确； 说法正确的为：①②④， 故选：C． 8．C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． 9． 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，代入计算即可． 根据点 在抛物线 上，则其坐标满足抛物线方程，代入 即可求出 ． 【详解】解：因为点在抛物线上， 故将 代入抛物线方程 ，得： 故 ． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，关键是二次函数的对称轴的确定； 函数的对称轴为轴，点关于轴的对称点即为点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：∵的对称轴是：直线， ∵点在函数的图象上， ∴关于直线对称， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了抛物线，掌握关于对称轴两点的纵坐标相等是解题的关键． 抛物线关于y轴对称，点A和点B的横坐标互为相反数，因此纵坐标相等． 【详解】解：由抛物线解析式，对称轴为y轴， 又， 点A和点B关于y轴对称， 则． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得到抛物线开口向上，即可得到，解得，问题得解． 【详解】解：∵二次函数，当时，随增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴， ∴． 故答案为： 13． 【分析】本题考查了二次函数的性质， 由点M、N是抛物线上的点得到、，然后代入，中，结合和求出a的取值范围．根据题意列出关于a的不等式是解题的关键． 【详解】解：因为为抛物线上任意两点， 所以、， 代入，得， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，且， ∵若对于，都有， ∴， ∴或（舍去）， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可． 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质判断的大小关系． 【详解】解：． 又二次函数的图象开口向下， 当时，y随x的增大而减小， ． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了菱形的性质，解含有的直角三角形，以及二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的点B的坐标是解决本题的关键． 设点，根据，可得，再根据勾股定理与含有的直角三角形求解出a与b的关系，由此可得与的长度，再由菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接交于点D，如图， 设点，即，， ∵四边形为菱形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即，即点， ∵点B在二次函数上， ∴，解得，（舍）， 即，， ∴，， ∴菱形的面积为． 故答案为： ． 17．(1) (2) (3) 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ， ∵或1， ∴当时，该函数有最小值． 18．(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）首先根据周长求出正方形的边长，进而得到与的关系式； （2）直接作出图形即可； （3）令，求出的值； （4）令，求出的取值． 【详解】（1）解：， 即． （2）解：的图象如图所示：    （3）解：当时，即， ∴． 又， ∴． （4）解：当时，即， ∴．又， ∴．由图象知，时，随的增大而增大， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，应用二次函数解决实际问题比较简单，此题的易错点在于利用正方形的周长得到正方形的边长的代数式． 19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意画出函数图象即可； （2）结合图象求解即可； （3）结合图象求解即可； （4）结合图象求解即可． 【详解】解：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、图象，如图所示： ； （2）函数顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴； （3）图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是， 图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是； （4），时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小． 20．(1) (2)，的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先根据二次函数的解析式求出，，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 21．(1)见解析 (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 【详解】（1）证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； （2）解：， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为． 22．(1) (2)①； ②描点连线绘制函数图象如下： (3) 【分析】（1）根据点和点都在的图象上即可得解； （2）①由伴随函数的定义即可得出答案；②描点连线画出函数图象即可； （3）由，消去得到，由一元二次方程根与系数的关系，，推出，求出，再由，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点和点都在的图象上， ∴的图象关于轴对称； （2）解：①由伴随函数的定义可得：函数的伴随函数的表达式； ②在中， 当时，； 当时，， 当时，， （3）解：如图： 由，消去得到， ∴，， ∴， 在中，令，则， 解得， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质、一次函数的性质、伴随函数的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $