暑假收心卷（暑假测试，湘教版九上1-4章：图形的相似+锐角三角函数+一元二次方程+二次函数）新九年级数学新教材湘教版

**基本信息** 暑假收心卷聚焦湘教版九年级上册1-4章核心内容，通过测量建筑物高度、河宽等生活实践情境，融合一元二次方程、相似三角形、二次函数等知识，强化几何直观与运算能力，适配暑期复习衔接需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|一元二次方程根的判别式、位似图形坐标|基础概念辨析，如第7题结合三角形三边关系考查方程根的取舍| |填空题|6/18|相似图形面积比、三角函数值计算|第18题以郊游测河宽为情境，体现模型意识| |解答题|8/66|方程求解、几何证明、函数综合应用|第24题测量孔子雕像高度，融合仰角俯角与方程思想；第26题二次函数综合题，考查最值与取值范围，发展推理能力|

暑假收心卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 训练范围：新教材，湘教版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 2．如图，直线，，，，则的长为（   ） A．6 B． C．4 D． 3．如图，在Rt△ABC中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 5．如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 6．在中，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 7．已知一个三角形的两边长分别是2和7，第三边长是方程的一个根，则该三角形的周长为（   ） A．10 B．16 C．14 D．16或14 8．已知，，是抛物线上的三点，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，某校学生开展综合实践活动，要测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物的高为（　　）米． A．20 B．15 C．12 D． 10．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，，则为（     ） A． B． C． D． 12．二次函数的图象如图所示．下列结论： ① ② ③ ④ ⑤若，，，则． 其中正确结论的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 13．平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 14．在中，，，，那么的值是________． 15．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为______． 16．已知点都在二次函数的图象上，则___（填，，） 17．如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______． 18．周六下午，九年级嘉嘉和同学外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取，两点，使得，，并测量出长为米，则河的宽度为___________米． 三．解答题（本题共8小题，共66分） 19．（6分）计算： (1) (2) 20．（6分）解下列方程： (1)； (2)． 21．（8分）如图，在中，，，． (1)求和的长； (2)直接写出点到线段的距离． 22．（8分）如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．（9分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个根分别为，，求m的值． 24．（9分）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端的仰角为 ．雕像底端与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度．（结果保留根号） 25．（10分）已知，如图所示，在中，点在边上，点在边上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 26．（10分）如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且交轴于点、B，D是抛物线的顶点． (1)求二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)当时，求的取值范围； (4)当时，若的最大值与最小值之和为10，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 训练范围：新教材，湘教版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 【答案】D 【详解】解：由题意，可得， ∴该方程有两个实数根． 2．如图，直线，，，，则的长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据可得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． 3．如图，在Rt△ABC中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 4．已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 5．如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵是的位似图形，位似中心为点，位似比为， ∵如图，点的对应点为在第四象限， ∴的坐标为，即． 6．在中，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，先根据正切值求出的度数，根据直角三角形的性质得到的度数，再根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴．                                 ∵， ∴，                        ∴． 故选B． 7．已知一个三角形的两边长分别是2和7，第三边长是方程的一个根，则该三角形的周长为（   ） A．10 B．16 C．14 D．16或14 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程、三角形三边关系的应用，先求出方程得到，，再分2种情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再利用三角形的周长公式即可求解． 【详解】解： 解得，， 当第三边为5时，， ∴2，5，7不能构成三角形，不符合题意，舍去； 当第三边为7时，， ∴2，7，7能构成三角形，此时三角形的周长为； ∴综上所述，该三角形的周长为16． 故选：B． 8．已知，，是抛物线上的三点，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线对称轴，根据开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较三点到对称轴的距离即可得到结论． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴对称轴为直线， 分别计算三点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离， 点到对称轴的距离， ，即， ∴点到对称轴的距离，， ， ． 9．如图，某校学生开展综合实践活动，要测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物的高为（　　）米． A．20 B．15 C．12 D． 【答案】B 【分析】设过点的水平线于交于点，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】解：设过点的水平线于交于点，如图， 由题意，知：四边形是矩形米， ， 在中， 在中， ， ， 解得（米）． 10．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若是一元二次方程的两根，则，，求出和的值后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 11．如图，在中，，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，容易证明，则，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．二次函数的图象如图所示．下列结论： ① ② ③ ④ ⑤若，，，则． 其中正确结论的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴的交点可判断a，b，c的符号，即可判断①；根据抛物线与x轴交点的位置即可判断②，根据抛物线的对称轴即可判断③，根据①②的结论结合平方差公式即可判断④，根据抛物线的增减性即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确． ∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标小于3，又对称轴为直线 ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标大于， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴当时，，即，故②正确． ∵， ∴，故③正确； ∵当时，， 又， ∴， ∴， ∴，故④错误． ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越大， ∵，，， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③⑤，共4个． 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 13．平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知对应边长度和原平行四边形面积，即可求出目标平行四边形的面积. 【详解】解：平行四边形与平行四边形相似，，的对应边， 相似比为， 由相似多边形面积比等于相似比的平方，得：， ， ， 解得. 14．在中，，，，那么的值是________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再由锐角三角函数的定义即可求出的值. 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 根据锐角三角函数的定义可得：． 15．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是利用判别式建立不等式求解参数范围． 先确定一元二次方程的系数、、，再计算判别式，根据方程有两个实数根的条件列出不等式，最后解不等式得到的取值范围． 【详解】解：对于方程， ∵，，， ∴ ∵方程有两个实数根 ∴，即， 解得， 故答案为：． 16．已知点都在二次函数的图象上，则___（填，，） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数值大小的比较． 通过将点代入二次函数解析式，得到，然后计算与的差值，得到，代入均大于0，故． 【详解】解：由点在二次函数图象上， 代入得， 化简得，即， ∵ ∴ 当时，； 当时，， 故，即 故答案为：． 17．如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______． 【答案】/ 【分析】先根据已知得到，则，证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则． 18．周六下午，九年级嘉嘉和同学外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取，两点，使得，，并测量出长为米，则河的宽度为___________米． 【答案】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意用同一未知数表示出各线段长是解题关键．设河的宽度为，根据已知角用表示出，，的长，进而利用求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设河宽为米，在中，， ∴， 在中 ， ∴， ∵， ∴， 解得： 所以河的宽度为（）米， 故答案为：。 三．解答题（本题共8小题，共66分） 19．（6分）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）（2）先利用特殊角的三角函数值化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（6分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或 ∴，； （2）解： ∴或 ∴，． 21．（8分）如图，在中，，，． (1)求和的长； (2)直接写出点到线段的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点作于点，利用锐角三角函数以及勾股定理进行求解即可； （2）利用等面积法进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； （2）解：根据等面积可得，点到线段的距离为． 22．（8分）如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)6 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为6． 23．（9分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个根分别为，，求m的值． 【答案】(1)证明： ， 任何实数的平方均为非负数，即， 恒成立， 即不论为何值，方程总有实数根． (2)或 【分析】（1）要证明一元二次方程总有实数根，只需证明其判别式恒成立； （2）利用根与系数的关系，将变形为含和的形式，代入已知条件列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据韦达定理，对于方程，两根满足： ，， 已知，利用变形得： ， 将，代入，结合条件得： ， 展开并整理方程： ， ， 因式分解求解： ， 解得： ，． 24．（9分）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端的仰角为 ．雕像底端与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】设，解直角三角形得到，根据建立方程求出x的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴； 在中，， ∴； 在中，， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， 答：孔子雕像的高度为． 25．（10分）已知，如图所示，在中，点在边上，点在边上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质定理． （1）利用三角形外角的性质及可得出，结合即可证出； （2）利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵ 又， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．（10分）如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且交轴于点、B，D是抛物线的顶点． (1)求二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)当时，求的取值范围； (4)当时，若的最大值与最小值之和为10，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）二次函数图象经过点A、点C，运用待定系数法即可求出函数解析式； （2）过抛物线的顶点D，作x轴的垂线，交x轴于点E，交于点F，分割成与, 以为底，高用横坐标表示，即可求出的面积； （3）函数图象开口向下，对称轴是，x取值范围包含了对称轴，在对称轴处取得最大值，再比较x区间端点与对称轴的距离，距离越大，函数值越小，即可求出的取值范围； （4）先求时，，抛物线顶点为，分两种情况讨论： ①，，即，解方程得，如果，则，y包含了顶点，，不符合题意，舍去；，符合题意； ②，根据抛物线的对称性，x取值范围必然包含对称轴，，，解方程，解得，因为，不符合题意，舍去；符合题意． 【详解】（1）解：将点A，点C坐标代入函数解析式，联立解方程组 解得， ． （2）解：过抛物线的顶点D，作x轴的垂线，交x轴于点E，交于点F，点F与点D横坐标相同，如下图 ， ， 设过点、点的直线为， ∴ 解得， ， 点代入得， 的长度为点D与点F的纵坐标相减， ， ． （3）解：函数图象开口向下，包含了对称轴，则在顶点取得最大值， ， ， 取得最小值， ， ． （4）解：时，， 分两种情况讨论： ① ， 列方程， 解得， 如果，则，，不符合题意，舍去； ，符合题意； ② ， ， 解方程， 解得， 因为，不符合题意，舍去；符合题意， 综上所述，或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $