暑假收心卷01（暑假测试）新九年级数学新教材人教版

**基本信息** 暑假收心卷聚焦九年级上册第25-30章，通过基础题与综合探究题结合，以射水鱼捕食、烟花燃放等情境渗透抽象能力与模型意识，衔接新学期学习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、图形对称等|第2题结合窗格图案考查轴对称与中心对称，体现几何直观| |填空题|6/18|二次函数顶点、中心对称性质等|第16题射水鱼问题，用数学眼光分析现实情境| |解答题|8/72|二次函数应用、圆的切线证明等|24题烟花轨迹问题融合模型意识，23题探究题培养推理能力，梯度覆盖基础与创新应用|

暑假收心卷 01 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 训练范围：新教材，人教版九年级上册第25~30章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 2．下列窗格图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故A不符合题意； BC是轴对称图形，不是中心对称图形，故BC不符合题意； D既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意． 3．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定反比例函数的比例系数符号，再根据x的取值范围判断两点所在象限，结合反比例函数的增减性即可比较与的大小． 【详解】解：将反比例函数整理为的形式，可得． ∵， ∴反比例函数图象在第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． 又∵， ∴点，都位于第四象限，根据增减性可得． 4．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 5．如图，在半径为6的中，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，构造弧对应的圆心角，因为要求弧长需要先确定圆心角和半径，所以首先明确弧长公式为，其中是圆心角度数，是圆的半径．利用圆周角定理，因为圆周角和圆心角对应同一段弧，所以可由已知的的度数求出的度数．将得到的圆心角的度数和已知的半径代入弧长公式，计算弧的长度． 【详解】连接、， ， ． 半径， ， 因此的长为． 6．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点的对应点恰好落在边上时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得出，根据得出是等边三角形，可得，利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点的对应点恰好落在边上，， ∴． 7．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 8．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，．先求出，从而得到，再证得，，从而得到，即，最后求得阴影面积． 【详解】解：如图，连接，． 在中，． ∵是的直径， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 9．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，，根据四边形的面积为12，得出，联立得出，根据根与系数的关系得出，代入进行求解即可． 【详解】解：设， ∴，，． ∵四边形的面积为12， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，化简整理得， 又联立，消去得：， ∴和是方程的两根． 由一元二次方程根与系数的关系可知， ∴， ∴， 解得． 10．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．二次函数的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数符合顶点式的形式， ∴二次函数的顶点坐标为． 12．若是关于x的一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， 将代入原方程得， 整理得， 解得． 13．如图，与关于点成中心对称，若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得点是和的中点，从而求出的长，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长，进而求出的长； 【详解】解：与关于点成中心对称， 点是和的中点， ， ， ， ， 是直角三角形， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， ． 14．如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 15．如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义求出，再根据的长求出点的坐标，进而得到的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：轴，， ∴， 反比例函数解析式为， ∵， ， 轴，， 点的纵坐标为4， 当时，， 解得， 点的坐标为，点的坐标为， ， ． 16．如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】要判断水流能否击中昆虫，只需验证点是否在抛物线上，即将代入函数解析式计算y的值，并与昆虫的高度进行比较． 【详解】解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． 三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17．解下列方程： (1)(配方法)； (2)(公式法)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 18．如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)顶点为，对称轴为直线 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）由待定系数法，将、代入抛物线表达式解方程组即可得到答案； （2）先将一般式化为顶点式，即可求解对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：抛物线过、， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， ∴顶点为，对称轴为直线． 19．如图，是的直径，点是上一点，为的中点，过点作直线的垂线于点，交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接，， ∵为的中点， ∴， 又∵，得， ∴， ∴， 又∵， ∴，又是的切线， ∴是的切线． (2)的半径为 【分析】（1）连接，，根据圆周角定理得到，根据等边对等角得到，进而证明，可知，即可证明是的切线； （2）连接交于点H，连接，证明四边形为矩形，根据三角函数得到，证明是等边三角形即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点H，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，， 由得， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 即的半径为． 20．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，即可求解； （2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为，面积为6 ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为 ∵，在图像上， ∴，， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴ ∴ 21．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙面足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分成正方形和矩形（如图所示），已知篱笆总长80．设边为x，矩形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式． (2)能否围成一个面积为384的矩形花园，若能，请求出的长； 若不能，请说明理由． 【答案】(1)y关于x的函数表达式为 (2)能围成一个面积为384的矩形花园，的长为8或12 【分析】本题考查了图形问题(实际问题与二次函数)，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先用x分别表示出、、、，再根据矩形面积公式求得函数表达式； （2）转化为二次方程求根，并注意验证解的合理性（边长必须为正）． 【详解】（1）解：设边为x，， ∵四边形是矩形，四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）能围成一个面积为384的矩形花园． 令，则， 即， ∴，， ∴的长为8或12． 22．如图，是的外接圆，为的半径，连接并延长交于点．过点作的切线，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由得到、，再根据、及推出，结合三角形内角和得到，进而由圆心角相等则所对弦相等即可证得； （2）延长交于点，由、推出垂直平分，求出的长，在中利用求出，再用勾股定理求出，设，在中列方程求出和，由是切线得到，结合证明，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ，， ，，， ， ∵，， ， ； （2）解：如图，延长交于点， ，， ∴垂直平分， ∴， 在中，，即， ， ， 设，则， ，解得， ∴， ∵是的切线， ， ， ， ，即， ． 23．探究下列问题： 【模型建立】 (1)如图，在中，，直线经过点，过点作，过点作于．求证：； 【模型应用】 (2)直线与轴分别交于点，将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 (3)一次函数的图象与轴分别交于点，点在反比例函数的图象上，若为等腰直角三角形，请直接写出的所有可能的值． 【答案】(1)如图1， ∵， ∴． 又∵，， ∴，， ∴， 在与中 ， ∴ ∴； (2) (3)或或 【分析】（1）根据为等腰直角三角形，，，可判定，从而得结论； （2）根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式； （3）根据为等腰直角三角形分三种情况：以A，B，C三个顶点为直角顶点，作辅助线构建三角形全等可得点C的坐标，根据可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵直线的图象与轴分别交于点，当时，，当时，， ∴， 如图2， 过点作交直线于点，过点作轴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 设的解析式为，将，点坐标代入， 得， 解得， ∴的函数表达式为； （3）解：分三种情况： ①如图3，，过点作轴于， 当时，， 当时，， ∴， ∴，． ∵是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）同理可得， ∴，， ， ∴， ∴； ②如图4，，过点作轴于， 由（1）同理可得， ∴，， ∴， ∴； ③如图5，，过点作轴，过点作轴， 由（1）同理可得， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，k的所有可能的值是或或． 24．燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为米处，是否存在安全隐患，请说明理由； (3)设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线l上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点E． ①的顶点坐标为________________；l的表达式为________________． ②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点F，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时拋物线中a的取值范围________________． 【答案】(1) (2)不存在安全隐患，理由见解析 (3)①；② 【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，再将点代入求解即可； （2）当时，，此时火星已经落地，即可判断答案； （3）①设直线l的表达式为，将和的顶点坐标的顶点代入求解即可； ②先求出，，再根据的顶点在直线l上，求得，即，可进一步求得，结合，可得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：不存在安全隐患；理由如下： 当时，， 当时，火星已经落地，不存在安全隐患； （3）解：①， 的顶点坐标为； 设直线l的表达式为， 将的顶点和代入，得， 解得， 直线l的表达式为； ②．理由如下： 令，则， 解得，， ， 令，则， 解得，， ， ， 抛物线的顶点坐标为， 把顶点的坐标代入直线l的表达式，得， 整理，得， 解得，， 当时，抛物线开口向下，顶点在，无实际飞行轨迹，舍去， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 暑假收心卷 01 (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 训练范围：新教材，人教版九年级上册第2530章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程中，属于一元二次方程的是() 2 A.2x-3y=5 B.豆-3=x C.x2+4=5y D.x2-4x-4=0 2.下列窗格图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 3.已知点A(:,y),B(:,乃)都在反比例函数y=~2的图象上，若0<x<x,则y与，的大小关系是 () A.y>y2 B.当<y2 C.y=y2 D.片≥2 4.对于二次函数y=-2(x-3+1,下列说法中正确的是() A.图象的开口向上 B.函数的最小值为1 C.当x<3时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴为直线x=3 5.如图，在半径为6的⊙0中，AB为弦，若∠ABC=30°，则AC的长为() A.2 B. C.2n D.6x 6.如图，在△ABC中，AB=2.2,BC=3.6,∠B=60°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE, 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为() A.1.5 B.1.4 C.1.3 D.1.2 7.已知关于x的一元二次方程m(-h)-k=0(m,九，k均为常数且m≠0)的解是：=2，x=5,则关 于x的一元二次方程m(x+h+'=k的解是() A.X=-2,x2=-5 B.x=-4,x2=-1 C.x=1,x2=4 D.x1=-3,x2=-6 8.如图，在△ABC中，AB=AC=2,以AC为直径的O0与BC,AB分别交于点D,EB,连接AD,DE, 若∠BDE=45°，则阴影部分的面积为() E B A. 16 B.8 c D.元 9.如图，己知一次函数y=x+6的图象与反比例函数y=x的图象在第二象限分别交于点4和点B'过点 A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点C.当四边形ABCD的面积为12时，则k=() A A.-4 B.-5 C.-6 D.-7 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a<0;②c>0: ③b-4ac>0;④3a+b=0,其中，正确的有(). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.二次函数y=2(x+2+3的顶点坐标为 12.若x=-1是关于x的一元二次方程x+mx-2=0的一个根，则m= 13.如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，若AD=4,AB=5,∠A=90°，则BE的长为一： B 14.如图，AB是⊙O的直径，CB,CD是⊙O的弦，且CB=CD,CD与AB交于点E,连接OD.若 ∠A0D=40°，则∠D的度数是 A E 15,如图，在平面直角坐标系中，点B均在函数)-(x>0)的图象上，ACL轴于点C·DB1r拍 于点D,连接OA,BC,若点C(2,0),BD=4,S4oc=16,则SACD= 317 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ol c 16.如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可 以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）·图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流 的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y(cm)与水平距离x(cm)近似满足函数关系 y=-2+4x(x≥0).若这只昆虫在点P(20,50),则这次射出的水流 10 击中昆虫.（填 “能”或“不能”) y/cm 0 x/cm 图1 图2 三、解答题（第17-第22题，每题8分；第23,24题，每题12分：共8小题，共72分） 17.解下列方程： (1)x2+4x+2=0(配方法)： (2)3x2+2x-1=0(公式法). 18.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，其中点A的坐标为(-3,0)，与y轴交于点C,点 D(-2,-3)在抛物线上. 417 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V (1)求抛物线的表达式： (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标. 19.如图，AE是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，F为DE的中点，过F点作直线AD的垂线于点C,交 AE延长线于点B C D B (1)求证：BC是⊙O的切线： (2)若CD=1,CF=3,求⊙0的半径. 20.如图，直线4B与反比例函数y=x的图象交于A(m,2)、B(1,m)两点，与x轴交于点C:若BD⊥y轴， 垂足为D,△BOD面积为6. (1)求k值： (2)求△BOC的面积. 21.为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校决定用篱笆围成一个一面靠墙 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (墙面足够长)的矩形花园ABCD,用一道篱笆EF把花园分成正方形ABFE和矩形CDEF(如图所示)， 已知篱笆总长80.设边AB为x,矩形CDEF的面积为y. D (1)求y关于x的函数表达式. (2)能否围成一个面积为384的矩形CDEF花园，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由 22.如图，⊙O是△ABC的外接圆，OA为OO的半径，连接BO并延长交AC于点D,过点A作⊙O的切 线，交BD的延长线于点E,且∠AOE=∠BAC」 (L)求证：AB=AC: (2)若sin∠O4B= 10,BC=6?求AE的长. 23.探究下列问题： 【模型建立】 (I)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过点A作AD⊥ED于D,过点B作 BE⊥ED于E.求证：AD=CE; 【模型应用】 3 (2)直线：y=4+4与x,y轴分别交于点A,B,将直线1绕点B顺时针旋转45得到直线！，求直线1，的函 4 数表达式： 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【拓展探究】 )一次国数=+8的图象与5y拍分别安于点么B,点C在反比例E数y-<0的图象上，若 △ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值， 24.燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗.新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1， 火花从垂直地面的烟花筒OA的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线.以烟花放 2 置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系.经测量，烟花筒O4的高度是3米，喷出的最 远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒OA的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星 沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点. 图1 图2 图3 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为2.5米处，是否存在安全隐患，请说明理由： (3)设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，2，…，少这些抛物线的 顶点在同一条直线1上，如图3，其中一条抛物线为=-2x2+8x+2 2 +3x+3与直线y=3相交于点B. ①2的顶点坐标为， ；1的表达式为 ②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为，=x+br+(a<0)且与直线y=3相交于点F,经测算，当 2 EF≤时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时抛物线y中的取值范围 717