26.2.2二次函数的图像与性质（顶点式）同步练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数顶点式核心性质，通过基础巩固、性质应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到推理应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|顶点坐标、对称轴、开口方向|直接应用顶点式基本性质，如单选1-4题求顶点与对称轴| |中档|平移变换、函数值比较、图像判断|结合性质简单应用，如填空12题平移规律、解答20题图像绘制| |提升|表格数据分析、跨函数综合、动态点问题|综合多性质解决问题，如单选7题表格分析函数特征、填空17题一次与二次函数最值差|

26.2.2二次函数的图像与性质（顶点式）同步练习 一、单选题 1．二次函数的图象顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为（    ） A． B． C． D． 4．开口向下，顶点坐标为的抛物线为（    ） A． B． C． D． 5．已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 7．如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（    ） 0 3 4 0 A．图象的开口向下 B．有最小值 C．图象与轴的一个交点是 D．图象的对称轴是 8．由二次函数可知（    ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 二、填空题 9．抛物线的对称轴是直线_______． 10．二次函数的最小值是________． 11．抛物线的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______． 12．将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为___________． 13．已知二次函数的图象有最高点，那么的取值范围是____． 14．已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为_______． 15．下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图像的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在x轴上； 丙：对称轴是直线． 请写出这个二次函数的表达式：________． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线上的任意一点，过点A作轴交抛物线于点B，若，则点B到x轴的距离为______． 17．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 18．如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是________． 三、解答题 19．已知抛物线 (1)开口向______ (2)顶点坐标是______ (3)对称轴是______ (4)当______时，的最小值是______ (5)当时，随的增大而______ (6)若时，的取值范围为______ 20．如图所示，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到； (3)当时，的取值范围是___________． 21．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 22．在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的图像性质； 【详解】解：由二次函数的图象性质可知； 顶点坐标为：； 故选：C． 2．A 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是，对称轴是． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选A． 3．B 【分析】根据抛物线的形状，开口方向和抛物线的值有关，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标，开口方向和大小与抛物线相同， 这个二次函数的解析式为． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线中，值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键． 4．D 【分析】本题考查了抛物线顶点式的性质，需结合顶点式的特征判断，其中的符号决定开口方向，为顶点坐标，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴开口向上，顶点坐标为，故该选项不符合题意； B、∵，∴开口向上，顶点坐标为，故该选项不符合题意； C、∵，∴开口向下，顶点坐标为，故该选项不符合题意； D、∵，∴开口向下，顶点坐标为，故该选项符合题意； 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得对称轴和在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∵点，在抛物线上，且， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，学会根据表格中的信息求得函数的解析式是解题的关键． 由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质即可得出结果． 【详解】解：设二次函数的解析式为（、、为常数，）， 由题意可知， 解得， 二次函数的解析式为 ， 函数的图象开口向上，顶点为，图象与轴的交点分别为和， 图象的对称轴是，函数有最小值， 选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据，得出图象的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，且 ∴图象的开口向上， 故A选项不符合题意； 由得对称轴为直线，顶点坐标为， 故B选项符合题意，C选项不符合题意； ∵图象的开口向上，直线， ∴当时，随的增大而增大， 故D选项不符合题意； 故选：B． 9． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握的图象与性质是解题的关键．利用二次函数，当时最小值为，即可解答． 【详解】解：∵二次函数中，， 即开口向上， ∴二次函数的最小值是， 故答案为：． 11． 向上 直线 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，顶点坐标为，当时，函数图象开口向上，当时，函数图象开口向下，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，二次项系数为1， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 故答案为：向上；直线；． 12． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，按照“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为，即， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键； 根据二次函数的图象有最高点，可得到抛物线的开口向下，进而可列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数的图象有最高点， ∴抛物线的开口向下， ∴， 解得：， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴越近，函数值越小， 而， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线，可得抛物线的顶点坐标为，再由抛物线的形状、开口方向与的相同，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的形状、开口方向与的相同， ∴可设二次函数的表达式为． 故答案为： 16．1 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答； 根据二次函数的对称性解答即可； 【详解】解：轴，， ∴关于对称轴对称， ， ， ， ∴， 到x轴的距离为， 故答案为：1． 17．或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 18． 【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式求得，对称轴为直线，设，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为直线，设， ∵，则， 即， 解得：， ∴, 故答案为：． 19．(1)上 (2) (3)直线 (4)1，2 (5)减小 (6) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 抛物线，的正负确定开口方向，对称轴是直线，顶点坐标是，结合二次函数的最值与增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线开口向上， 故答案为：上； （2）解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：； （3）解：抛物线的对称轴是：直线， 故答案为：直线； （4）解：∵抛物线开口向上， ∴顶点是最低点， 当时，的最小值是2； （5）解：当时，随的增大而减小， 故答案为：减小； （6）解：当时，， 当时，， ∵时，的最小值是2； ∴若时，的取值范围为， 故答案为：． 20．(1)见解析 (2)上；4 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）根据函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，则离对称轴越远，函数值越小，据此可确定时，函数有最小值，求出函数的最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线线解析式为， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点和点， 令，则，即该抛物线经过点和， ∴此抛物线的大致图象如下图所示： （2）解：抛物线可由抛物线向上平移4个单位可得到． 故答案为：上，4． （3）解：∵抛物解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当，且时，函数有最小值，最小值为， 又∵顶点坐标为，即当时，函数有最大值，最大值为4， ∴当时，． 21．(1) (2)1 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式和函数的图象特征及平移规律． （1）直接将代入，解得的值即可求得表达式； （2）求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到轴上即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， 该抛物线的表达式为； （2）解：， 该抛物线的顶点为， 要使抛物线与轴只有一个公共点，即要求顶点在轴上， 顶点纵坐标应为0， 将该抛物线向上平移1个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点， 故答案为：1． 22．(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据对称性，求出的值，根据顶点式的性质，求出顶点坐标即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，根据二次函数的对称性求出，进而得到，增减性得到时，，待定系数法求出的值即可． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， ，有 该抛物线的顶点坐标为． （2）抛物线的对称轴是直线， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 设点关于对称轴的对称点为， 抛物线的对称轴是直线， ． 点在对称轴右侧，且， 当时，根据二次函数的性质，时，随的增大而增大， ． ， ． 当时，． 把代入函数表达式中， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $