25.3 实际问题与一元二次方程 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，分选择、填空、解答三层共24题，覆盖增长率、面积、利润等模型，通过生活情境与数学史素材，实现从基础建模到综合探究的进阶，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一问题模型（传染、增长率、盈利）|以“镇BA”篮球赛、智能手环降价等生活情境命题，强化方程建立| |能力应用|复杂情境与动态问题（矩形折叠、动点面积）|结合几何图形（如矩形花圃、正方形井田），培养几何直观与运算能力| |综合探究|跨知识整合与开放探究（赵爽弦图、方案设计）|融入《九章算术》古题、智能机器人销售等，发展推理能力与创新意识|

25.3实际问题与一元二次方程 同步练习 一．选择题（共8小题） 1．有一个人患流感，经过两轮传染后共有100个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 2．2026年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 3．已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A．（x+3）（4﹣0.5x）＝20 B．（x+3）（4+0.5x）＝20 C．（x+4）（3﹣0.5x）＝20 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝20 4．近年来，延庆区大力发展低空旅游产业．延庆文旅将分散的长城资源串联成线，打造世界级长城大景区，让更多人领略“空中瞰长城”的震撼，八达岭机场是“空中瞰长城”的起飞地，从2026年3月起客流逐月递增．3月份直升机的总飞行时长约为119.2小时，5月份直升机的总飞行时长约为176.8小时．设直升机每月飞行平均时长的增长率为x，则下列所列的方程正确的是（　　） A．119.2（1+2x）＝176.8 B．119.2（1+x2）＝176.8 C．119.2（1+x）2＝176.8 D．176.8（1+x）2＝119.2 5．我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为x，根据题意可列方程为（　　） A．（3x）2+102＝（7x）2 B．（7x）2+102＝（3x﹣10）2 C．（3x）2+（7x）2＝102 D．（3x）2+102＝（7x﹣10）2 6．我国古代井田形制多为正方形，现对一块正方形井田修整，在田地四周向外修筑等宽田埂，四周每一侧均向外拓宽2丈，拓宽后整块田地仍为正方形，且新增加开垦的田地面积恰好是原有井田面积的．设原正方形井田的边长为x丈，则下列所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？ 若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是（　　） A．5（5x+10）（2x﹣10）＝200 B．5（5x+10）（2x+10）＝200 C．5（5x﹣10）（2x﹣10）＝200 D．5（5x﹣10）（2x+10）＝200 8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2，则t的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 二．填空题（共8小题） 9．某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率m的值为　 　 ． 10．商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价x元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：　 　 （不必化简）． 11．任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为48，面积为70，则它的减半矩形的长为　 　 ． 12．学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为10m的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为20m的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为48m2，则AD的长为　 　 m． 13．如图，在一块长AB＝14m、宽BC＝10m的长方形场地ABCD上，中间的阴影部分是一条宽度处处相等的小路，空白部分为劳动实践基地．如果劳动实践基地的面积为125m2，那么小路的宽度为　 　 m． 14．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则当建成的饲养室总占地面积为75m2时，垂直于墙的一边长为 　 　 m． 15．如图，E，F分别是正方形ABCD边AD，DC上的点，且AE＝2，CF＝6，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，且正方形MFRN和正方形GFDH的面积和为80，则阴影部分的面积等于　 　 ． 16．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．某超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋． （1）若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ （2）该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 18． 某区成功举办公路自行车骑行赛事，2024年该赛事约有2000人参赛，2026年参赛人数达到约2420人，若这两年参赛人数的年平均增长率保持一致，求参赛人数的年平均增长率． 19． 由于部分汽车车型较大，为了扩大每个车位的面积，小区物业打算重新划分某处的10个大小相同的矩形车位．现在每个矩形车位的长和宽分别为52dm，25dm，重新划分后车位数不变，每个矩形车位的长和宽增加了相同的长度，且总面积增大了2400dm2．求重新划分后每个矩形车位的长和宽分别是多少？ 20．某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． （1）如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票　 　 元； （2）现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 21．小高家有一块空地，空地上有一面长为10m的围墙MN，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为48m，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2m的门，门不消耗木栏，设AB长为xm． （1）如图①，当AD≤MN时， ①AD＝　 　 m（用含x的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为132m2，求AB的长； （2）如图②，当AD＞MN时，养蜂场的面积是否可以达到240m2？并说明理由． 22．如图，矩形ABCD中，点P，Q分别从点A，C出发，沿AB，CD以每秒1个单位长度的速度向点B，D运动，两点到达B，D两点时停止运动，已知AD＝12，AB＝18．设运动时间为t秒． （1）当四边形DAPQ为矩形时，t＝　 　 秒；当四边形DPBQ为菱形时，t＝　 　 秒； （2）当以PQ为对角线的正方形面积是矩形ABCD的面积的一半时，直接写出此时t的值． 23．智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器、和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，消量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． （1）求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率； （2）为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长92m、宽60m的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为885m2的6个小矩形．求道路的宽度． 24．阅读材料：我国古代数学家赵爽所作《勾股圆方图注》利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法．以方程x2+2x﹣15＝0为例，变形得x（x+2）＝15，如图1，取四个全等矩形，邻边为x和x+2，每个矩形面积为15．把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形．由面积关系：大正方形面积＝四个矩形面积+中间小正方形面积，即（2x+2）2＝4×15+22＝64，解得正数解x＝3． 【应知必会】（1）如图2，结合材料中的弦图解法，对方程x2+3x﹣10＝0变形得x（x+3）＝10，拼接图形后，下列说法正确的有　 　 ．（多选） A．所用矩形的长为x+3，宽为x B．中间小正方形的边长为3，面积为9 C．外围大正方形的边长为2x+3 D．四个矩形的总面积为10 【实战演练】（2）如图3，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为20，中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x，列出形如x2+ax＝b的方程，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 【拓展拔高】（3）如图4，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．求原矩形两条边的长度． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．有一个人患流感，经过两轮传染后共有100个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染x人，根据两轮传染后总患病人数为100列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x， 初始有1人患病，第一轮传染后共有（1+x）人患病，第二轮传染中，新增患病人数为x（1+x），两轮后总患病人数为1+x+x（1+x）， 根据题意得1+x+x（1+x）＝100， 整理得（1+x）2＝100， 解得x1＝9，x2＝﹣11（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为9． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解． 2．2026年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【分析】设该小组参加比赛的球队有x支，利用小组赛阶段比赛的总场数＝该小组参赛队伍数×（该小组参赛队伍数﹣1），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该小组参加比赛的球队有x支， 根据题意得：x（x﹣1）＝56， 整理得：x2﹣x﹣56＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）， ∴该小组参加比赛的球队有8支． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A．（x+3）（4﹣0.5x）＝20 B．（x+3）（4+0.5x）＝20 C．（x+4）（3﹣0.5x）＝20 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝20 【分析】根据当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少0.5元；要使每盆的盈利达到20元，列出一元二次方程即可． 【解答】解：由题意得：（x+3）（4﹣0.5x）＝20， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．近年来，延庆区大力发展低空旅游产业．延庆文旅将分散的长城资源串联成线，打造世界级长城大景区，让更多人领略“空中瞰长城”的震撼，八达岭机场是“空中瞰长城”的起飞地，从2026年3月起客流逐月递增．3月份直升机的总飞行时长约为119.2小时，5月份直升机的总飞行时长约为176.8小时．设直升机每月飞行平均时长的增长率为x，则下列所列的方程正确的是（　　） A．119.2（1+2x）＝176.8 B．119.2（1+x2）＝176.8 C．119.2（1+x）2＝176.8 D．176.8（1+x）2＝119.2 【分析】根据3月份直升机的总飞行时长约为119.2小时，5月份直升机的总飞行时长约为176.8小时，列出一元二次方程即可． 【解答】解：由题意得：119.2（1+x）2＝176.8， 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为x，根据题意可列方程为（　　） A．（3x）2+102＝（7x）2 B．（7x）2+102＝（3x﹣10）2 C．（3x）2+（7x）2＝102 D．（3x）2+102＝（7x﹣10）2 【分析】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB＝3x步，甲共行AC+BC＝7x步，利用勾股定理列出方程即可． 【解答】解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB＝3x步，甲共行AC+BC＝7x步， ∵AC＝10步， ∴BC＝（7x﹣10）步， 又∵∠A＝90°， ∴BC2＝AC2+AB2， 即（7x﹣10）2＝102+（3x）2， ∴（3x）2+102＝（7x﹣10）2， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．我国古代井田形制多为正方形，现对一块正方形井田修整，在田地四周向外修筑等宽田埂，四周每一侧均向外拓宽2丈，拓宽后整块田地仍为正方形，且新增加开垦的田地面积恰好是原有井田面积的．设原正方形井田的边长为x丈，则下列所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据四周每一侧均向外拓宽2丈，拓宽后整块田地仍为正方形，且新增加开垦的田地面积恰好是原有井田面积的．列出一元二次方程即可． 【解答】解：由题意得：（x+4）2﹣x2x2， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？ 若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是（　　） A．5（5x+10）（2x﹣10）＝200 B．5（5x+10）（2x+10）＝200 C．5（5x﹣10）（2x﹣10）＝200 D．5（5x﹣10）（2x+10）＝200 【分析】根据题意设这张长方形纸板的长为5xcm，宽为2xcm，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进而得出方程． 【解答】解：设这张长方形纸板的长为5xcm，宽为2xcm，根据题意可得： （5x﹣10）（2x﹣10）×5＝200， 故选：C． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键． 8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2，则t的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 【分析】由题意可知AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（6﹣t）cm，根据△PBQ的面积等于8cm2，列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：由题意可知，AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（6﹣t）cm， 由题意得：（6﹣t）×2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4， 当t＝2时，2t＝4＜7，符合题意； 当t＝4时，2t＝8＞7，不符合题意，舍去； 即t的值为2， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 9．某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率m的值为　20%　 ． 【分析】列一元二次方程解决实际问题． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为m，根据题意列方程得： 500（1﹣m）2＝320， 解得m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（舍去）， 故答案为：20%． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 10．商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价x元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：　（12﹣x）（100+20x）＝1400　 （不必化简）． 【分析】表示出降价后一件商品的利润和数量，然后相乘等于1400列方程即可． 【解答】解：根据题意得，（12﹣x）（100+20x）＝1400． 故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 11．任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为48，面积为70，则它的减半矩形的长为　7　 ． 【分析】设它的减半矩形的其中一边的长度是a，可得其相邻边的长度是12﹣a，从而列出方程a（12﹣a）＝35，解方程得到减半矩形的相邻两边长，其中更大的是减半矩形的长． 【解答】解：设它的减半矩形的其中一边的长度是a， ∵原矩形的周长为48，面积为70， ∴它的减半矩形的周长为：，面积为：， ∴边长为a的边的邻边长度是：， ∴根据题意列一元二次方程得，a（12﹣a）＝35， 解得a1＝5，a2＝7， 当a＝5时，12﹣a＝7；当a＝7时，12﹣a＝5； ∴减半矩形的相邻两边分别是5和7， ∴减半矩形的长为7， 故答案为：7． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 12．学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为10m的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为20m的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为48m2，则AD的长为　6　 m． 【分析】设AD的长为xm，则AB的长为（20﹣2x）m，根据矩形花圃的面积为48m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设AD的长为xm，则AB的长为（20﹣2x）m， 由题意得：x（20﹣2x）＝48， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝6，x2＝4， 当x＝6时，20﹣2x＝20﹣2×6＝8＜10，符合题意； 当x＝4时，20﹣2x＝20﹣2×4＝12＞10，不符合题意，舍去； 即AD的长为6m， 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．如图，在一块长AB＝14m、宽BC＝10m的长方形场地ABCD上，中间的阴影部分是一条宽度处处相等的小路，空白部分为劳动实践基地．如果劳动实践基地的面积为125m2，那么小路的宽度为　1.5　 m． 【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设小路的宽度为xm， 利用平移的性质，将阴影部分向左平移xm拼成了一个如图所示的长方形EFCB， ∴由劳动实践基地的面积为125m2可得10（14﹣x）＝125， 解得x＝1.5． 故答案为：1.5． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是关键． 14．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则当建成的饲养室总占地面积为75m2时，垂直于墙的一边长为 　5　 m． 【分析】设垂直于墙的材料长为xm，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，表示出总面积：x（30﹣3x），由此列出方程并求得x的值即可． 【解答】解：设垂直于墙的材料长为xm，则平行于墙的材料长为（27+3﹣3x）m＝（30﹣3x）m， 根据题意，得x（30﹣3x）＝75． 解得：x1＝x2＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 15．如图，E，F分别是正方形ABCD边AD，DC上的点，且AE＝2，CF＝6，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，且正方形MFRN和正方形GFDH的面积和为80，则阴影部分的面积等于　48　 ． 【分析】设DF＝x，则MF＝x+6﹣2＝x+4，根据正方形MFRN和正方形GFDH的面积和为80，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入（x+4）2﹣x2中，即可求出结论． 【解答】解：设DF＝x，则MF＝x+6﹣2＝x+4， 根据题意得：（x+4）2+x2＝80， 整理得：x2+4x﹣32＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， ∴（x+4）2﹣x2＝（4+4）2﹣42＝48， ∴阴影部分的面积等于48． 故答案为：48． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为 　5　 ． 【分析】设矩形的宽为x，长为x+a，根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，列出一元二次方程，求解即可． 【解答】解：设矩形的宽为x，长为x+a， ∵大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴（2x+a）2＝144，（x+a﹣x）2＝4， ∴2x+a＝12（负值已舍去），a＝2（负值已舍去）， ∴x＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．某超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋． （1）若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ （2）该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设每袋薯片降价x元，则每袋薯片的销售利润为（15﹣5﹣x）元，平均每天能卖出（20+4x）袋，利用总利润＝每袋的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合超市想让利给消费者，即可确定结论； （2）假设该超市每天能通过降低价格实现250元的利润，设每袋薯片降价y元，则每袋薯片的销售利润为（15﹣5﹣y）元，平均每天能卖出（20+4y）袋，利用总利润＝每袋的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该超市每天不能通过降低价格实现250元的利润． 【解答】解：（1）设每袋薯片降价x元，则每袋薯片的销售利润为（15﹣5﹣x）元，平均每天能卖出（20+4x）袋， 根据题意得：（15﹣5﹣x）（20+4x）＝200， 整理得：x2﹣5x＝0， 解得：x1＝0，x2＝5， ∵超市想让利给消费者， ∴x＝5． 答：每袋薯片应降价5元； （2）该超市每天不能通过降低价格实现250元的利润，理由如下： 假设该超市每天能通过降低价格实现250元的利润，设每袋薯片降价y元，则每袋薯片的销售利润为（15﹣5﹣y）元，平均每天能卖出（20+4y）袋， 根据题意得：（15﹣5﹣y）（20+4y）＝250， 整理得：2y2﹣10y+25＝0， ∵Δ＝（﹣10）2﹣4×2×25＝﹣100＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该超市每天不能通过降低价格实现250元的利润． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．某区成功举办公路自行车骑行赛事，2024年该赛事约有2000人参赛，2026年参赛人数达到约2420人，若这两年参赛人数的年平均增长率保持一致，求参赛人数的年平均增长率． 【分析】设出平均增长率，列出方程得到答案即可． 【解答】解：设参赛人数的年平均增长率为x，根据题意列一元二次方程得，2000（1+x）2＝2420， 解得x2＝0.1，x1＝﹣2.1（舍去）， 答：参赛人数的年平均增长率为10%． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程． 19．由于部分汽车车型较大，为了扩大每个车位的面积，小区物业打算重新划分某处的10个大小相同的矩形车位．现在每个矩形车位的长和宽分别为52dm，25dm，重新划分后车位数不变，每个矩形车位的长和宽增加了相同的长度，且总面积增大了2400dm2．求重新划分后每个矩形车位的长和宽分别是多少？ 【分析】设每个矩形车位的长和宽增加的相同长度为xdm，原10个车位的总面积为10×52×25＝13000（dm2），则重新划分后每个车位长为（52+x）dm，宽为（25+x）dm，再进一步求解即可． 【解答】解：每个矩形车位的长和宽分别为52dm，25dm，重新划分后车位数不变，每个矩形车位的长和宽增加了相同的长度， 设每个矩形车位的长和宽增加的相同长度为xdm，原10个车位的总面积为10×52×25＝13000（dm2），则重新划分后每个车位长为（52+x）dm，宽为（25+x）dm， ∴10（52+x）（25+x）﹣13000＝2400， 整理得：x2+77x﹣240＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣80（不符合题意，舍去）， ∴52+x＝55，25+x＝28， 答：重新划分后每个矩形车位的长是55dm，宽是28dm． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 20．某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． （1）如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票　40　 元； （2）现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 【分析】（1）利用人均票价＝50﹣2×（观影人数﹣20），即可求出结论； （2）设该公司有x名员工参加观影，分20＜x≤31及x≥32两种情况考虑，利用总价＝单价×数量，可列出关于x的一元二次方程（或一元一次方程），解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：50﹣2×（25﹣20） ＝50﹣2×5 ＝50﹣10 ＝40（元）， ∴人均需支付电影票40元． 故答案为：40； （2）设该公司有x名员工参加观影， ∵50×20＝1000（元）， ∴x＞20． 当20＜x≤31时，[50﹣2（x﹣20）]x＝1008， 整理得：x2﹣45x+504＝0， 解得：x1＝21，x2＝24； 当x≥32时，28x＝1008， 解得：x＝36． 答：该公司有21名或24名或36名员工参加观影． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程（或一元一方程）是解题的关键． 21．小高家有一块空地，空地上有一面长为10m的围墙MN，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为48m，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2m的门，门不消耗木栏，设AB长为xm． （1）如图①，当AD≤MN时， ①AD＝　（50﹣2x）　 m（用含x的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为132m2，求AB的长； （2）如图②，当AD＞MN时，养蜂场的面积是否可以达到240m2？并说明理由． 【分析】（1）①利用BC的长＝木栏总长+门的宽度﹣2×AB的长，可用含x的代数式表示出BC的长； ②根据围成的养蜂场面积为132平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合AD≤MN，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到240平方米，由AB长为x米，可得出BC长为（30﹣x）米，根据围成的养蜂场面积为240平方米，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣20＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确，即养蜂场的面积不能达到240平方米． 【解答】解：（1）①根据题意得：BC＝48+2﹣2x＝（50﹣2x）米． 故答案为：（50﹣2x）； ②根据题意得：（50﹣2x）x＝132， 整理得：x2﹣25x+66＝0， 解得：x1＝3，x2＝22， 当x＝3时，50﹣2x＝50﹣2×3＝44＞10，不符合题意，舍去； 当x＝22时，50﹣2x＝50﹣2×22＝6＜10，符合题意． 答：AB的长为22米； （2）养蜂场的面积不能达到240平方米，理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到240平方米， ∵AB长为x米， ∴BC长为（30﹣x）米， 根据题意得：（30﹣x）x＝240， 整理得：x2﹣30x+240＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×240＝﹣60＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到240平方米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．如图，矩形ABCD中，点P，Q分别从点A，C出发，沿AB，CD以每秒1个单位长度的速度向点B，D运动，两点到达B，D两点时停止运动，已知AD＝12，AB＝18．设运动时间为t秒． （1）当四边形DAPQ为矩形时，t＝　9　 秒；当四边形DPBQ为菱形时，t＝　5　 秒； （2）当以PQ为对角线的正方形面积是矩形ABCD的面积的一半时，直接写出此时t的值． 【分析】（1）当运动时间为t（0≤t≤18）秒时，AP＝CQ＝tcm，DQ＝BP＝（18﹣t） cm，当四边形DAPQ为矩形时，由AP＝DQ，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值；当四边形DPBQ为菱形时，由DP＝BP，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）过点P作PE⊥CD于点E，当运动时间为t（0≤t≤18）秒时，AP＝CQ＝tcm，EQ＝|18﹣2t|cm，根据以PQ为对角线的正方形面积是矩形ABCD的面积的一半，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当运动时间为t（0≤t≤18）秒时，AP＝CQ＝tcm，DQ＝BP＝（18﹣t） cm， 当四边形DAPQ为矩形时，AP＝DQ， 即t＝18﹣t， 解得：t＝9； 当四边形DPBQ为菱形时，DP＝BP， 即122+t2＝（18﹣t）2， 整理得：t﹣5＝0， 解得：t＝5. 故答案为：9，5； （2）过点P作PE⊥CD于点E，如图所示， 当运动时间为t（0≤t≤18）秒时，AP＝CQ＝tcm，EQ＝|CD﹣AP﹣CQ|＝|18﹣2t|cm， 根据题意得：PQ2AB•AD， 即[122+（18﹣2t）2]18×12， 整理得：t2﹣18t+63＝0， 解得：t1＝9﹣3，t2＝9+3． 答：t的值为9﹣3或9+3． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元二次方程的应用以及菱形的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23．智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器、和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，消量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． （1）求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率； （2）为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长92m、宽60m的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为885m2的6个小矩形．求道路的宽度． 【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为y，根据今年1月份销售量为3万台，3月份的销售量达到5.07万台，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设道路的宽度为xm，根据面积均为885m2的6个小矩形可以拼成长为（92﹣2x）m，宽为（60﹣x）m的矩形，据此列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为y， 根据题意得：3（1+y）2＝5.07， 解得：y1＝0.3＝30%，y2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）； 答：从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为30%； （2）设道路的宽度为xm， 根据题意得：（92﹣2x）（60﹣x）＝885×6， 整理得：x2﹣106x+105＝0， 解得：x1＝1，x2＝105（不符合题意，舍去）， 答：道路的宽度为1m． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．阅读材料：我国古代数学家赵爽所作《勾股圆方图注》利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法．以方程x2+2x﹣15＝0为例，变形得x（x+2）＝15，如图1，取四个全等矩形，邻边为x和x+2，每个矩形面积为15．把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形．由面积关系：大正方形面积＝四个矩形面积+中间小正方形面积，即（2x+2）2＝4×15+22＝64，解得正数解x＝3． 【应知必会】（1）如图2，结合材料中的弦图解法，对方程x2+3x﹣10＝0变形得x（x+3）＝10，拼接图形后，下列说法正确的有ABC ．（多选） A．所用矩形的长为x+3，宽为x B．中间小正方形的边长为3，面积为9 C．外围大正方形的边长为2x+3 D．四个矩形的总面积为10 【实战演练】（2）如图3，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为20，中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x，列出形如x2+ax＝b的方程，则a＝　1　 ，b＝　6　 ． 【拓展拔高】（3）如图4，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．求原矩形两条边的长度． 【分析】（1）依据题意，仿照图1信息可得，所用矩形的长为x+3，宽为x；中间小正方形的边长为3，面积为9；外围大正方形的边长为2x+3；四个矩形的总面积为40，进而可以判断得解； （2）依据题意，设矩形较短边长为x，较长边长为x+1，外围大正方形的边长为长与宽之和，即（x+1）+x＝2x+1，又大正方形的周长为20，可得边长为20÷4＝5，即2x+1＝5，结合面积关系，大正方形的面积等于四个矩形面积加上小正方形的面积，故x2+x＝6，则a＝1，b＝6，即可得解； （3）依据题意，设原矩形的长为y，宽为x（y＞x＞0）．由图可知，外围大正方形的边长为x+y，内部小正方形的边长为y﹣x．则（x+y）2+（y﹣x）2＝104，则x2+y2＝52①，又长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24，则（x+2）（y+2）﹣xy＝24，则x+y＝10②，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，仿照图1信息可得， ∴所用矩形的长为x+3，宽为x；中间小正方形的边长为3，面积为9；外围大正方形的边长为2x+3；四个矩形的总面积为40． ∴ABC均正确，D不正确． 故选：ABC； （2）由题意，设矩形较短边长为x，较长边长为x+1，外围大正方形的边长为长与宽之和，即（x+1）+x＝2x+1， ∵大正方形的周长为20， ∴边长为20÷4＝5，即2x+1＝5． 根据面积关系，大正方形的面积等于四个矩形面积加上小正方形的面积， ∴（2x+1）2＝4•x（x+1）+12， ∴x2+x＝6，则a＝1，b＝6． 故答案为：1；6； （3）由题意，设原矩形的长为y，宽为x（y＞x＞0）．由图可知，外围大正方形的边长为x+y，内部小正方形的边长为y﹣x． ∴（x+y）2+（y﹣x）2＝104，则x2+y2＝52①， ∵长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24， ∴（x+2）（y+2）﹣xy＝24，则x+y＝10②． ②式两边平方得：（x+y）2＝100，即x2+2xy+y2＝100③， 将①式代入③式得：52+2xy＝100，则xy＝24④， 又由②和④可知，x和y是方程t2﹣10t+24＝0的两个根． ∴t1＝4，t2＝6． ∵矩形的长大于宽， ∴y＝6，x＝4． 答：原矩形的两条边长为4和6． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程﹣配方法、勾股定理的证明，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/8 10:02:45；用户：阮燕；邮箱：yqsl66@xyh.com；学号：28230077 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $