2.3实数导学案 2026—2027 学年苏科版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦“实数”核心内容，涵盖无理数与实数的概念及分类，实数与数轴的一一对应关系，以及平方根、立方根的综合运算。课堂导入通过面积为2的正方形边长和体积为2的正方体棱长问题，关联已学的平方根立方根知识，引出无理数，搭建新旧知识衔接的学习支架。 此导学案特色在于典例精讲搭配变式训练，分层巩固练习覆盖基础能力与拓展提升，注重概念辨析和综合应用。通过实例引导学生用数学眼光抽象无理数本质，以问题解决培养运算能力和推理意识，提升数学语言表达与应用能力，助力学生系统掌握实数知识。

2.3实数导学案 【学习目标】 1、了解无理数和实数的概念，能结合平方根、立方根的知识，准确区分有理数与无理数； 2、知道实数与数轴上的点一一对应，能在数轴上表示由平方根、立方根得到的无理数，体会数形结合的数学思想； 3、能综合运用平方根、算术平方根、立方根的知识，解决实数的分类、大小比较、运算等问题，提升代数综合应用能力。 【学习重难点】 重点：无理数的识别，实数的概念，结合平方根、立方根的实数基础运算； 难点：理解无理数的本质，综合运用三类根式的知识解决实数的综合类问题。 【学习过程】 一、情境引入 我们之前学习了平方根和立方根，解决了很多 “已知平方 / 立方结果，求原数” 的问题： 1、我们想求面积为 2 的正方形的边长，得到了，我们之前以为所有的数都可以写成分数的形式，但是我们发现不能，它是无限不循环的小数； 2、我们想求体积为 2 的正方体的棱长，得到了，它同样也是无限不循环的小数。 这一类数，我们之前没有接触过，今天我们就把数的范围从有理数扩充到实数，结合我们之前学的平方根、立方根，来认识这一类新的数。 二、知识点梳理 1. 无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数。 我们之前学的平方根、立方根里，很多都是无理数，比如、、，这些数都是无限不循环的，因此它们都是无理数。 2. 实数的定义 有理数和无理数统称为实数。 有理数：有限小数或者无限循环小数，都可以写成分数的形式； 无理数：无限不循环小数，不能写成分数的形式。 3. 实数的分类 （1）按定义分类： （2）按正负分类： 4. 实数与数轴 实数和数轴上的点是一一对应的： 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 我们可以用几何的方法，在数轴上表示出像这样的无理数，比如用单位正方形的对角线。 5. 实数的性质 有理数的相反数、绝对值、运算法则，在实数范围内都完全适用： 相反数：比如的相反数是； 绝对值：比如，； 运算：实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，都和有理数的运算规则一致。 三、典例精讲（含变式训练） 例 1：无理数的识别（结合平方根、立方根） （2025・江苏扬州高邮一模）下列四个数中是无理数的是（ ） A. 0.1313 B. C. D. 解析： A 选项：0.1313 是有限小数，属于有理数； B 选项：是分数，属于有理数； C 选项：，是整数，属于有理数； D 选项：是无限不循环小数，属于无理数。 答案：D 例 2：实数概念的综合辨析 下列说法中正确的是（ ） A. -5 是 25 的一个平方根 B. 的平方根是 C. -64 的平方根是 - 8 D. 64 的立方根是 ±4 解析： A 选项：因为，所以 - 5 是 25 的一个平方根，说法正确； B 选项：的平方根是，漏掉了负的，说法错误； C 选项：负数没有平方根，-64 没有平方根，说法错误； D 选项：64 的立方根只有 4，立方根不存在正负两个，说法错误。 答案：A 变式训练 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 ±4 B. 2 的算术平方根是 - 3 C. 负数没有立方根 D. 是 2 的算术平方根 解析： A 选项：，4 的平方根是 ±2，不是 ±4，说法错误； B 选项：算术平方根是非负的，不可能是负数，说法错误； C 选项：负数有一个负的立方根，说法错误； D 选项：是 2 的正的平方根，也就是算术平方根，说法正确。 答案：D 例 3：利用平方根、立方根解实数方程 求下列各式中 x 的值： (1) (2) 解析： (1) 移项得：， 根据平方根的定义，， 解得： 或 。 (2) 整理得：， 根据立方根的定义，， 解得：。 答案：(1) 或 ；(2) 变式训练 2 求下列各式中的 x 值： (1) (2) 解析： (1) 移项得：，即， 根据平方根的定义，。 (2) 整理得：， 根据立方根的定义，， 解得：。 答案：(1) ；(2) 例 4：平方根、立方根的综合应用 已知 a 的算术平方根为 3，ab 的立方根为 - 3，b 和 c 是互为相反数。 (1) 求 a , b ,c 的值； (2) 求 的平方根。 解析： (1) 根据算术平方根的定义，； 根据立方根的定义，，代入 a=9，解得； 因为 b 和 c 互为相反数，所以。 (2) 代入计算：，根据平方根的定义，6 的平方根是。 答案：(1) ，，；(2) 变式训练 已知 的平方根是 ， 的立方根是 3。 (1) 求的平方根； (2) 若的算术平方根是 4，求的立方根。 解析： (1) 根据平方根的定义，，解得； 根据立方根的定义，，代入 m=8，解得； 因此，1 的平方根是。 (2) 根据算术平方根的定义，，代入 m=8，解得； 代入计算：，-8 的立方根是。 答案：(1) ；(2) 四、分层巩固练习 基础过关 1、6 的平方根是 ( ) A.6 B.-6 C. D.± 2、（2025・江苏泰州靖江期中）下列结论中，正确的是 ( ) A. B.x² 是 x⁴的平方根 C.-x² 一定没有平方根 D.9 的算术平方根是 ±3 3、（2025・江苏南京模拟）64 的立方根为 ，若，则 a= 。 4、下列说法正确的是 ( ) A.4 的平方根是 2 B.的算术平方根是 3 C.8 的立方根是 2 D. 立方根是它本身的数是 1 5、（2025・江苏南通海门月考）若 2m-1 没有平方根，则 m 的取值范围是\\\\\\。 6、（2025・江苏淮安期中）已知某正数的两个不同平方根分别是 m+4 和 2m-16，则 m= 。 7、（2025・江苏扬州高邮一模）下列四个数中是无理数的是 ( ) A.0.1313 B. C. D.- 8、若，则 xy 的平方根为 。 9、求下列各式中 x 的值： (1) 3x²+1=7；(2) 2 (x-4)³=54。 10、（2025・江苏无锡锡山期末）已知 5a+2 的立方根是 3，3a+b-1 的算术平方根是 4，求 a，b 的值。 能力提升 11、二阶魔方由 8 个形状大小完全相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积约为 48 cm³，则每个小正方体的棱长是 ( ) A. B.3 cm C. D.2 cm 12、（2025・江苏南通海门月考）已知，，则 b= 。 13、（2025・江苏南通海安市月考）下列计算中，正确的是 ( ) A.-2²+=5 B.()²=25 C.+2=0 D.|-2|-=2- 14、（2025・江苏宿迁沭阳一模）写出一个大小在和之间的整数是 。 15、（2025・江苏南京建邺月考）比较大小：- -2.3（填 “>”“<” 或 “=”） 拓展提优 16、（2025・江苏扬州江都模拟）在数轴上，以单位长度为边长画一个等腰直角三角形，以实数 1 对应的点为圆心，斜边长为半径画弧交数轴于点 A，则点 A 所表示的实数是 。 17、观察表格，探究规律： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y z … (1) x= ，y= ； (2) 已知，若，则 b= 。 18、已知 2a+1 的平方根是 ±7，1-b 的立方根为 - 2，求 a+3b 的算术平方根。 19、（2025・江苏南通海门月考）计算： (1)()²+-； (2)-+-|1-|-。 五、答案与解析 基础过关 1、答案：D 解析：正数的平方根有两个，互为相反数，因此 6 的平方根是 ±√6。 2、答案：B 解析：A 选项，算术平方根是非负的；C 选项当 x=0 时，-x²=0，有平方根；D 选项 9 的算术平方根是 3；B 选项正确。 3、答案：4；16 解析：4³=64，因此 64 的立方根是 4；则 a=4²=16。 4、答案：C 解析：A 选项 4 的平方根是 ±2；B 选项，3 的算术平方根是√3；D 选项立方根是本身的数是 ±1 和 0；C 选项正确。 5、答案： 解析：负数没有平方根，因此 2m-1<0，解得 m<。 6、答案：4 解析：正数的平方根互为相反数，因此 m+4+2m-16=0，解得 m=4。 7、答案：D 解析：-是无限不循环小数，属于无理数，其余都是有理数。 8、答案：±4 解析：非负数和为 0，解得 x=2，y=8，xy=16，平方根是 ±4。 9、答案：(1) x=±；(2) x=7 解析：(1) 3x²=6，x²=2，x=±；(2)(x-4)³=27，x-4=3，x=7。 10、答案：a=5，b=2 解析：5a+2=27，解得 a=5；3a+b-1=16，解得 b=2。 能力提升 11、答案：A 解析：每个小正方体的体积是 48÷8=6，因此棱长是。 12、答案：234.2 解析：立方根的小数点移动规律：被开方数小数点右移 3 位，立方根右移 1 位，因此 b=234.2。 13、答案：D 解析：原式 = 2-，其余选项计算错误。 14、答案：4（答案不唯一） 解析：≈3.16，≈4.47，中间的整数是 4。 15、答案：> 解析：()≈2.236<2.3，因此 -()>-2.3。 拓展提优 16、答案：1+ 解析：等腰直角三角形的斜边长是，因此点 A 表示的数是 1+。 17、答案：(1) 0.1；10；(2) 10000m 解析：算术平方根的规律：被开方数小数点右移 2 位，平方根右移 1 位，因此 x=0.1，y=10，b=10000m。 18、答案： 解析：2a+1=49，解得 a=24；1-b=-8，解得 b=9；a+3b=51，算术平方根是。 19、答案：(1) 5；(2)-11 解析：(1) 原式 = 3+4-2=5；(2) 原式 =-7-3+--1+1=-10。 学科网（北京）股份有限公司 $