2.1 平方根 暑期预习导学案（附同步作业） 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2.1 平方根 一、学习目标 1. 知识目标：掌握平方根、算术平方根的定义、符号写法；理解开平方运算，理清平方和开平方的互逆关系。 2. 能力目标：熟练求出正数、0 的平方根与算术平方根；能判断代数式是否存在平方根，解决简单实际应用题。 3. 素养目标：建立数形结合思想，规范数学符号书写，规避易混淆概念的常见错误。 二、学习重难点 ✅ 重点：平方根与算术平方根的概念、表示方法；利用平方求平方根。 ❌ 难点：区分、、的含义；理解 “负数没有平方根” 这一隐含条件；实际问题中只取算术平方根。 三、课前预习（旧知回顾） 1. 计算平方： ，；，。 2. 思考：已知一个数的平方等于 25，这个数是多少？ 四、情景导入（生活探究，教材原版情境） 一块正方形画布，面积分别为，求画布的边长： 1、面积为 1，边长 = 1；面积为 4，边长 = 2； 2、若正方形面积，设边长为，则满足 ，这个边长无法用整数、分数表示，该怎样书写这个数？ 3、设问：已知平方结果，反过来寻找底数，这种运算就是我们本节课要学习的开平方。 五、合作探究 探究 1：算术平方根的定义 1、定义 一般地，如果一个正数的平方等于，即 ，那么这个正数叫做的算术平方根。 规定：的算术平方根是。 2、符号表示 的算术平方根记作：，读作：根号； 其中：叫做被开方数，被开方数必须满足：。 3、小组讨论：有没有算术平方根？为什么？ 结论：负数不存在算术平方根。 探究 2：平方根的定义 1、定义 如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根（二次方根）。 求一个数平方根的运算，叫做开平方；平方与开平方互为逆运算。 2、符号区分（重中之重） 正数的正平方根（算术平方根）： 正数的负平方根： 正数的两个平方根合写：，读作：正负根号 3、平方根的三条性质（必背） ① 正数：有两个平方根，互为相反数； ② 0：平方根只有 1 个，就是它本身，； ③ 负数：没有平方根。 探究 3：对比辨析（平方根 VS 算术平方根） 对比项 平方根（） 算术平方根（） 个数 正数 2 个，0 为 1 个 仅有 1 个，非负数 取值符号 一正一负 一定是非负数（≥0） 相互关系 包含算术平方根 平方根中非负的那一个 易错辨析（判断对错）： (1) 25 的平方根是 5（） (2) -5 是 25 的平方根（） (3) （） (4) 若，则（） 六、典例精讲 例 1：求下列各数的平方根与算术平方根 (1) 81 (2) (3) 0.49 (4) 规范解题格式： 解：(1) 的平方根是，算术平方根是，即。 例 2：求式子中字母的取值范围 若有意义，求的取值范围。 分析：被开方数必须≥0，即 ，解得。 七、课堂当堂检测 基础过关（必做题） 1、填空： (1) ； (2) 9 的平方根是； (3) 若，则 。 2、判断： ① 任意一个数都有平方根（） ② 算术平方根一定是非负数（） 中档提升（选做题） 1、若，求的值。 2、已知，求的值。 易错错题整理区（留白，学生记录错题） 【参考答案】 预习部分 辨析判断题答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 典例 1 答案 (1)；(2)；(3)；(4) 当堂检测答案 基础 1：11；；25 中档 1：；中档 2：或 同步作业 一．选择题 1．6的算术平方根是（　　） A． B． C． D．±6 2．实数的平方根为（　　） A．a B．±a C．± D．± 3．在下列结论中，正确的是（　　） A． B．x2的算术平方根是x C．﹣x2一定没有平方根 D．的平方根是 4．一个数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则这个数是（　　） A．﹣1 B．3 C．9 D．﹣3 5．若方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（　　） A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根 C．a﹣5是19的算术平方根 D．b+5是19的平方根 二．填空题 1．已知x2﹣2＝7，则x＝　 　 ． 2．的平方根是　 　 ． 3．若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a＝　 　 ，这个正数是　 　 ． 4．已知：（x2+y2+1）2﹣4＝0，则x2+y2＝　 　 ． 5．算术平方根等于它本身的数是 　 　 ． 三．解答题 1．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15． （1）求这个正数是多少？ （2）的平方根又是多少？ 2．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求a+2b的值． 3．已知x＝1﹣2a，y＝3a﹣4． （1）已知x的算术平方根为3，求a的值； （2）如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 4．若5a+1和a﹣19是数m的平方根，求m的值． 5．若a是（﹣2）2的平方根，b是的算术平方根，求a2+2b的值． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：6的算术平方根是． 故选：A． 2．【解答】解：∵当a为任意实数时，|a|， 而|a|的平方根为． ∴实数的平方根为． 故选：D． 3．【解答】解：A.，故错误； B．x2的算术平方根是|x|，故错误； C．﹣x2，当x＝0时，平方根为0，故错误； D.的平方根为±，正确． 故选：D． 4．【解答】解：由题意得， 2a﹣1﹣a+2＝0， 解得a＝﹣1， 所以2a﹣1＝﹣3，﹣a+2＝3， 即一个数的两个平方根分别是3与﹣3， 所以这个数是9， 故选：C． 5．【解答】解：∵方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b， ∴a﹣5和b﹣5是19的两个平方根，且互为相反数， ∵a＞b， ∴a﹣5是19的算术平方根， 故选：C． 二．填空题 1．【解答】解：x2﹣2＝7， x2＝9， x＝±3． 故答案为：±3． 2．【解答】解：∵9，9的平方根是±3， ∴的平方根是±3． 故答案为±3． 3．【解答】解：依题意得，2a﹣1+（﹣a+2）＝0， 解得：a＝﹣1． 则这个数是（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9． 故答案为：﹣1，9 4．【解答】解：∵（x2+y2+1）2﹣4＝0， ∴（x2+y2+1）2＝4， ∵x2+y2+1＞0， ∴x2+y2+1＝2， ∴x2+y2＝1． 故答案为：1． 5．【解答】解：算术平方根等于它本身的数是0和1． 三．解答题 1．【解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数． 即：（m+3）+（2m﹣15）＝0 解得m＝4． 则这个正数是（m+3）2＝49． （2）3，则它的平方根是±． 2．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3， ∴2a﹣1＝9， ∴a＝5， ∵3a+b﹣1的算术平方根是4， ∴3a+b﹣1＝16， ∴3×5+b﹣1＝16， ∴b＝2， ∴a+2b＝5+2×2＝9． 3．【解答】解：（1）∵x的算术平方根是3， ∴1﹣2a＝9， 解得a＝﹣4． 故a的值是﹣4； （2）x，y都是同一个数的平方根， ∴1﹣2a＝3a﹣4，或1﹣2a+（3a﹣4）＝0 解得a＝1，或a＝3， （1﹣2a）2＝（1﹣2）2＝1， （1﹣2a）2＝（1﹣6）2＝25． 答：这个数是1或25． 4．【解答】解：∵一个正数的平方根由两个，它们互为相反数， ∴5a+1+a﹣19＝0或5a+1＝a﹣19． 解答：a＝3或a＝﹣5 ∴m＝162＝256或m＝（﹣24）2＝576， 5．【解答】解：根据题意知a＝±±2，b2， 则原式＝（±2）2+2×2＝4+4＝8． 学科网（北京）股份有限公司 $