专题1.1 集合的概念（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的概念这一核心知识点，系统梳理集合与元素的定义、元素与集合的属于关系、元素确定性互异性无序性三大特性、常用数集符号、集合表示方法（列举法、描述法、韦恩图法）及集合相等的判定，构建从基础概念到应用的递进式学习支架。 该资料通过生活实例（如“某学校全体高一学生”）和数学实例引导学生抽象集合概念，结合“即学即练”与11类题型（如元素构成集合判断、参数求解），培养数学抽象、逻辑辨析等核心素养，助力教师引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达，课中提升教学效率，课后帮助学生强化练习、查漏补缺。

专题1.1 集合的概念 教学目标 1.能够准确理解集合、元素的定义，熟记并区分元素与集合的属于、不属于关系，熟练掌握常用数集的专用符号；能依据集合中元素的确定性、互异性、无序性，判断对象能否构成集合。 2.通过生活实例、数学实例抽象出集合概念的过程，培养数学抽象、归纳概括的核心素养；借助实例辨析集合元素的三大特性，提升学生逻辑辨析与规范表达数学语言的能力。 3.体会集合语言简洁、严谨的数学特点，感受数学抽象思维的价值；通过生活化、情境化的例题，激发学生自主探究数学知识的兴趣，培养严谨的数学思维习惯。 4.能够运用集合的基本概念解决基础辨析题、判断题，能独立判断一组对象是否构成集合，初步学会用集合语言简单描述生活与数学中的常见对象。 教学重难点 1.重点 集合与元素的基本概念，元素与集合之间属于（∈）、不属于（∉） 的关系及符号规范使用。 集合中元素的三大核心特性：确定性、互异性、无序性，并能利用特性进行基础辨析。 常见专用数集的识记与运用：自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集的标准符号。 2.难点 元素确定性的理解：精准区分 “模糊、不确定的对象” 与 “确定的对象”，掌握判断一组对象能否构成集合的核心依据。 元素互异性的实际应用：在含参数的集合问题中，利用互异性检验、求解参数取值，规避重复元素导致的解题错误。 集合抽象思维的建立：完成从具体实物、数字对象到抽象集合语言的思维转换，规范使用集合数学语言表述问题。 辨析易混淆概念：区分 “集合、元素、全体对象、部分对象” 的不同，避免概念混淆。 知识点01 集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做________(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 【即学即练】 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 2．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 3．以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 知识点02 元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说________，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说________，记作. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的________. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 【即学即练】 1．集合，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 3．下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 知识点03 集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用________隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是________，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有________元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 【即学即练】 1．选择适当方法表示下列集合： (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)二次函数的图象上所有的点组成的集合． 2．用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 3．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 知识点04 集合相等 只要构成两个集合的元素是________,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 【即学即练】 1．若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 2．，则______． 3．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型01 判断元素能否构成集合 （判断一组对象能否组成集合的标准） 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 【典例1】下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 题型02 判断是否为同一集合 【典例1】下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【变式1】（多选）下列四个命题中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【变式2】下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 题型03 判断元素与集合的关系 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。 （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。 【典例1】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【变式1】设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【变式2】已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 题型04 根据元素与集合的关系求参数 【典例1】设，集合，若，则______. 【变式1】已知集合，，则__________． 【变式2】已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 题型05 根据集合元素互异性求参数 （根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤） 【典例1】实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【变式1】已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式2】已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 题型06 列举法 （用列举法表示集合的三个步骤） 1.求出集合的元素；2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3.用花括号括起来。 【典例1】用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【变式1】（多选）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 【变式2】集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 题型07 描述法 （描述法表示集合的2个步骤） 【典例1】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【变式1】用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【变式2】（多选）直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 题型08两个集合相等问题 【典例1】设，集合，若，则__________. 【变式1】集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】设三元集合=，则___________ ． 题型09 根据集合中元素的个数求参数 【典例1】已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 题型10 常见数集或数集关系的应用 【典例1】下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型11 新定义题 【典例1】（多选）群的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G是一个非空集合，“”是一个适用于G中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G对“o”构成一个群：（1）封闭性，即若，则存在唯一确定的，使得；（2）结合律成立，即对G中任意元素都有；（3）单位元存在，即存在，对任意，满足，则称为单位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得则称a与b互为逆元.根据以上信息，下列说法中错误的是（    ） A．关于数的乘法构成群 B．关于数的加法构成群 C．和均关于数的加法构成群 D．关于数的乘法构成群 【变式1】中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______. 【变式2】已知至少含两个元素的集合是的子集，若对于中的任意两个元素，都有（是正整数），则称集合具有性质． (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由． (2)若集合，证明：不可能具有性质． (3)若集合，且具有性质和，求中元素个数的最大值． 1．（多选）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 2．集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 3．平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 4．已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 6．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 7．（（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 8．（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 9．设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 10．设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 1．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合是由、、三个元素组成的，且，求实数的值. 3．已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．已知，则实数的取值集合为___________. 5．已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 6．若对于任意，都有，则称集合为“和谐集”．已知，则集合的非空子集中“和谐集”的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 7．设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知集合.若，则______. 9．如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 10．已知数集具有性质：对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)求证：. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合的概念 教学目标 1.能够准确理解集合、元素的定义，熟记并区分元素与集合的属于、不属于关系，熟练掌握常用数集的专用符号；能依据集合中元素的确定性、互异性、无序性，判断对象能否构成集合。 2.通过生活实例、数学实例抽象出集合概念的过程，培养数学抽象、归纳概括的核心素养；借助实例辨析集合元素的三大特性，提升学生逻辑辨析与规范表达数学语言的能力。 3.体会集合语言简洁、严谨的数学特点，感受数学抽象思维的价值；通过生活化、情境化的例题，激发学生自主探究数学知识的兴趣，培养严谨的数学思维习惯。 4.能够运用集合的基本概念解决基础辨析题、判断题，能独立判断一组对象是否构成集合，初步学会用集合语言简单描述生活与数学中的常见对象。 教学重难点 1.重点 集合与元素的基本概念，元素与集合之间属于（∈）、不属于（∉） 的关系及符号规范使用。 集合中元素的三大核心特性：确定性、互异性、无序性，并能利用特性进行基础辨析。 常见专用数集的识记与运用：自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集的标准符号。 2.难点 元素确定性的理解：精准区分 “模糊、不确定的对象” 与 “确定的对象”，掌握判断一组对象能否构成集合的核心依据。 元素互异性的实际应用：在含参数的集合问题中，利用互异性检验、求解参数取值，规避重复元素导致的解题错误。 集合抽象思维的建立：完成从具体实物、数字对象到抽象集合语言的思维转换，规范使用集合数学语言表述问题。 辨析易混淆概念：区分 “集合、元素、全体对象、部分对象” 的不同，避免概念混淆。 知识点01 集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 【即学即练】 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 2．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 故选：B 3．以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由集合元素三要素逐个判断即可. 【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（4）（6）符合集合概念， 故选：B 知识点02 元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 【即学即练】 1．集合，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过列举法表示集合，然后利用元素与集合的关系逐项判断即可. 【详解】， 所以，， 故A，C，D错误，B正确. 故选：B． 2．下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的意义进行判断. 【详解】根据的意义,, 故选：C. 3．下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 知识点03 集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 【即学即练】 1．选择适当方法表示下列集合： (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)二次函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）利用列举法表示集合； （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合． 2．用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【详解】（1）方程的解集为 （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 3．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 【答案】(1)有限集； (2)，无限集； (3)，无限集. 【详解】（1）有限集. （2），无限集. （3），无限集. 知识点04 集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 【即学即练】 1．若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 2．，则______． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 3．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 题型01 判断元素能否构成集合 （判断一组对象能否组成集合的标准） 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 【典例1】下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 【变式1】下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【答案】D 【分析】直接由集合的定义判断可得. 【详解】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性. 对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素， 即元素不确定，故A、B、C错误； 对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合，因此D正确. 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】B 【分析】根据集合的确定性判断A，B，应用互异性判断C，列举法判断D. 【详解】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 题型02 判断是否为同一集合 【典例1】下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【分析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合；选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合；选项C.求出的解，从而得到方程的解组成的集合；选项D.根据集合的确定性判断. 【详解】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 【变式1】（多选）下列四个命题中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】BCD 【分析】根据方程的根，即可求解A，根据集合中元素的性质即可求解BCD. 【详解】对于A, 由于，故方程的根为，因此,故A正确， 对于B, ,故，故B错误， 对于C, 方程组的解组成的集合为，故C错误， 对于D, ，而表示点集，故两个不是同一集合，故D错误， 故选：BCD 【变式2】下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 题型03 判断元素与集合的关系 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。 （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。 【典例1】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 【变式1】设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【答案】B 【详解】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数， 故属于奇数集，即. 【变式2】已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，得， 所以. 题型04 根据元素与集合的关系求参数 【典例1】设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 【变式1】已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 【变式2】已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 题型05 根据集合元素互异性求参数 （根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤） 【典例1】实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． 【变式1】已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值. 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. 【变式2】已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【详解】已知，，， 因此，解得. 题型06 列举法 （用列举法表示集合的三个步骤） 1.求出集合的元素；2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3.用花括号括起来。 【典例1】用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由方程，得或， 所以方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为． 【变式1】（多选）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 【答案】CD 【分析】根据集合的定义及集合中元素所具有的性质，即可对四个选项进行判断. 【详解】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确； 集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确； 集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误； 是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. 【变式2】集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列举法的知识确定正确答案. 【详解】找条件为大于1且小于等于5的自然数，则符合条件的元素为， 所以列举法表示为. 题型07 描述法 （描述法表示集合的2个步骤） 【典例1】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 【变式1】用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是． （3）函数的图象上所有的点组成的集合是． 【变式2】（多选）直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线方程可得交点坐标，然后由集合表示方法可得答案. 【详解】，即直线交点坐标为，则交点构成的集合为：或. 题型08两个集合相等问题 【典例1】设，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 【变式1】集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解. 【详解】因为集合， 所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，， 所以， 故选：B 【变式2】设三元集合=，则___________ ． 【答案】 【详解】试题分析：集合,且,,则必有,即,此时两集合为,集合,,，当时,集合为,集合,不满足集合元素的互异性.当时, ,集合,满足条件,故,因此，本题正确答案是:. 题型09 根据集合中元素的个数求参数 【典例1】已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 则得(I)或(II)， 由(I)解得，由(II)解得， 故实数的取值范围是. 【变式1】已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 【变式2】已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 题型10 常见数集或数集关系的应用 【典例1】下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①，正确；②，正确； ③，错误；④，错误. 故判断正确的共2个. 【变式1】下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合间的关系求解． 【详解】对于A项，集合中有一个元素为0，而不是空集，故A项错误； 对于B项，集合里的元素是一个点，是点集， 而集合里的元素是两个数，是数集，它们是不相等的，故B项错误； 对于C项，是有理数，则，故C项错误； 对于D项，0是自然数，则，故D项正确． 故选：D 【变式2】给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①：是实数，是实数集，所以，①正确； 对于②：是整数，是整数集，所以，②正确； 对于③：是负整数，是正整数集，所以，③正确； 对于④：是无理数，是有理数集，所以，④错误. 故选：C. 题型11 新定义题 【典例1】（多选）群的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G是一个非空集合，“”是一个适用于G中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G对“o”构成一个群：（1）封闭性，即若，则存在唯一确定的，使得；（2）结合律成立，即对G中任意元素都有；（3）单位元存在，即存在，对任意，满足，则称为单位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得则称a与b互为逆元.根据以上信息，下列说法中错误的是（    ） A．关于数的乘法构成群 B．关于数的加法构成群 C．和均关于数的加法构成群 D．关于数的乘法构成群 【答案】BD 【分析】由集合新定义中“乘法结合律”可判断A；由集合新定义可判断B、D；由集合新定义中“群”的概念可判断C. 【详解】对于A，，有，且满足（乘法结合律）； ，使得，有； ，有，即关于数的乘法构成群，故A正确； 对于B，因为，且，但，故B错误； 对于C，若，即为所有偶数组成的集合， ，有，且满足（加法结合律）， ，使得，有； ，有，故关于数的加法构成群； 若，设，则， 且对满足， 当时，，满足， ，使， 故关于数的加法构成群，故C正确； 对于D，因为，且，但，故D错误. 故选：BD. 【变式1】中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______. 【答案】 【分析】根据题设集合元素为5，4，3的公倍数，进而应用列举法、描述法分别写出集合即可. 【详解】因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60， 所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为. 此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为. 故答案为：， 【变式2】已知至少含两个元素的集合是的子集，若对于中的任意两个元素，都有（是正整数），则称集合具有性质． (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由． (2)若集合，证明：不可能具有性质． (3)若集合，且具有性质和，求中元素个数的最大值． 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)115. 【分析】（1）根据定义判断、是否具有性质即可； （2）将集合中的元素分为9个集合，进行求解即可； （3）先说明连续13项中集合A中最多选取6项，然后求出集合A中共有115个元素，即可. 【详解】（1）对于集合，因为，所以集合不具有性质. 对于集合，因为，所以集合具有性质. （2）证明：将集合中的元素分为如下9个集合：，. 从集合中取10个元素，则前8个集合至少要选9个元素， 所以必有2个元素取自前8个集合中的同一集合，即存在2个元素，其差的绝对值为3，所以不可能具有性质. （3）先说明连续13项中集合中元素的个数最多选取6项，以为例，构造集合. ①6，7，8都选上，因为具有性质和，所以选6则不选1和11，选7则不选2和12，选8则不选3和13，另外4，9不能同时取，5，10不能同时取，所以选取的集合中的元素为4，5，6，7，8，故中属于集合中的元素个数为5. ②6，7，8中选2个，若只选6，7，则1，2，11，12，8不可取，5，13中只能取1个，4，9不能同时取，5，10不能同时取，比如取3，4，6，7，10，13，故中属于集合中的元素不超过6个． 若只选7，8，则2，3，12，13，6不可取，1，9中只能取1个，4，9不能同时取，5，10不能同时取，比如取1，4，5，7，8，11，故中属于集合中的元素不超过6个． 若只选6，8，同理，比如取2，5，6，8，9，12，故中属于集合中的元素不超过6个. ③6，7，8中只选1个，又5个集合中每个集合至多选1个元素，所以中属于集合中的元素不超过6个. 由①②③可知，连续13项正整数中属于集合中的元素至多只有6个，比如取1，4，5，7，8，11． 因为，所以把每13个连续正整数分组，前19组每组至多选取6项，给出如下选取方法：从中选取1，4，5，7，8，11，然后在这6个数的基础上每次累加13，构造19次，此时集合中的元素为，．共个元素．经检验可得该集合符合要求，故集合中元素个数的最大值为115. 1．（多选）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由伙伴关系集合定义结合题设可得答案. 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 2．集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 【答案】B 【详解】，共5个元素． 3．平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 【答案】C 【详解】选项A：表示去掉了直线和上所有点，错误； 选项B：错误保留了需要去掉的点，例如满足，会被包含在集合中，错误； 选项C：表示排除点，表示排除点， 同时满足即可精准剔除两点，正确； 选项D：，会去掉所有横坐标为1、横坐标为3、纵坐标为2、纵坐标为4的点，错误. 4．已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 5．如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 6．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 7．（（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 8．（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 9．设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据，得到，求解即可. 【详解】若，则满足该不等式，代入得， 则，则， 故答案为：. 10．设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意“若，则有”，取，依次代入计算即可求得其他两个元素； （2）假设集合中只有1个元素，结合题意，得到方程，利用一元二次方程的根的判别式为负数否定假设，即可得证. 【详解】（1）依题意，若，则，若，则， 若，则， 所以当时，集合中还有其他两个元素和； （2）假设集合中只有1个元素（），由题意可知， 因为集合为单元素集合，所以， 即，又由，则此方程无实数解， 所以假设不成立，故集合不可能是单元素集合. 1．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由代入法求解后，再用集合表示出解集即可. 【详解】由，可得， 代入， 得， 整理得， 解得或， 当时，解得； 当时，解得； 所以原方程组的解集为. 故选：D. 2．已知集合是由、、三个元素组成的，且，求实数的值. 【答案】 【分析】分、两种情况进行讨论，结合集合中的元素满足互异性可求得实数的值. 【详解】因为，且， 若，可得，则，此时集合中的元素不满足互异性，舍去； 若，即，即，解得或（舍）， 当时，，集合中的元素满足互异性，合乎题意. 综上所述，. 3．已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等结合集合的互异性求，代入即可得结果. 【详解】因为， 可知，且，可得， 即，可得，且，解得， 代入，检验符合题意，所以. 故选：B. 4．已知，则实数的取值集合为___________. 【答案】 【分析】根据3是集合的元素进行分类讨论，注意验证集合的元素是否互异可得. 【详解】由，所以 ①当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. ②当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. 综上可知，实数的取值集合为， 故答案为： 5．已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的等式，进而可求得实数的取值. 【详解】当时，则有，符合题意； 当时，由题意可得，解得.符合题意; 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 6．若对于任意，都有，则称集合为“和谐集”．已知，则集合的非空子集中“和谐集”的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】先确定集合中能构成“和谐集”的元素组，再根据元素组的组合情况确定“和谐集”的个数． 【详解】当时，,当时，，当时，， 可作为“和谐集”中一组元素； 当时，，当时，，当时，，可作为“和谐集”中一组元素； 当时，，当时，无意义，不是“和谐集”中的元素． 若集合的非空子集为“和谐集”，则其元素只能从元素组：和两组数中任意选择一组或两组， 集合的非空“和谐集”为：，，，共3个． 故选：B． 7．设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据且，建立不等式求解即可. 【详解】因为集合，而且 且，解得. 故选：B 8．已知集合.若，则______. 【答案】 【分析】根据集合的性质和相等进行求解即可 【详解】由集合，可得或， 当时，解得，此时，不满足集合的互异性； 当时，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以则. 故答案为：. 9．如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论求解即得． 【详解】当，即时，方程为有唯一解为，符合题意； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 可得判别式，解得， 综上可知或， 故实数的所有可能值的和为4. 故选：B． 10．已知数集具有性质：对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)求证：. 【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由：对于数集，若具有性质，则，， 因为，即， ，即， ，即， 所以具有性质； 对于数集，若具有性质，则，， 因为，即，，即， ，即，，即， ，即，，即， ，即，，即， ，即，，即， 所以不具有性质. (2)证明：因为集合具有性质： 即对任意的，使得成立， 又因为，，所以，， 所以， 即， 将上述不等式相加得：， 所以， 因为，所以， 故． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $