1.1 集合的概念 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的概念，系统梳理元素的含义、确定性互异性无序性特性、元素与集合的属于关系、常用数集符号及列举法描述法图示法表示集合，构建从基础定义到应用的学习支架。 资料特色为题型分类明确，含判断元素构成集合等五类，例题精选近年模拟题，注重数学眼光（如实例理解确定性）、数学思维（互异性推理）、数学语言（集合表示）培养。课中助教师分层教学，课后学生可精练查漏补缺，强化核心素养。

1.1 集合的概念 【题型一】 判断元素是否构成集合 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】BD 9．【答案】AC 10．【答案】BD 【题型二】集合中元素的互异性问题 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】BC 9．【答案】AC 10．【答案】BD 【题型三】判断元素与集合的关系 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】BC 9．【答案】BC 10．【答案】AC 【题型四】集合中元素的个数问题 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】BD 9．【答案】BD 10．【答案】ABD 【题型五】用列举法与描述法表示集合 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】ACD 9．【答案】AB 10．【答案】BC 课时精练 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】﹣3． 【详解】集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x2﹣2x+m＜0}， 若A＝B，则﹣1和3是方程x2﹣2x+m＝0的两根， 所以m＝﹣1×3＝﹣3． 故答案为：﹣3． 9．【答案】﹣2． 【详解】若a+1＝2，则a＝1，a2+a＝12+1＝2，违背集合元素的互异性，不合题意； 若a2+a＝2，则a＝﹣2或a＝1（舍去 ）， 当a＝﹣2时，a+1＝﹣2+1＝﹣1， 集合A＝{2，﹣1，0}，满足元素互异性，且2∈A，符合条件． 故答案为：﹣2． 10．【答案】﹣2 【详解】a≠|a|，所以a＜0，a≠a2， 所以a＝b，|a|＝a2，b+1＝0 a＝﹣1＝b， 故a+b＝﹣2， 故答案为：﹣2 $ 1.1 集合的概念 【题型一】 判断元素是否构成集合 2 【题型二】集合中元素的互异性问题 3 【题型三】判断元素与集合的关系 4 【题型四】集合中元素的个数问题 5 【题型五】用列举法与描述法表示集合 7 【基础回顾】 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1 : 集合的含义与表示 （1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母 表示。 （2）集合：把一些元素组成的总体叫作集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母 表示。 知识点 2 : 元素的三个特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的。 注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等。 （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的。 集合中的元素是不重复出现的。 简记为 “互异性”。 （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的。 简记为 “无序性”。 知识点 3 : 元素与集合关系 （1）属于：如果 是集合 的元素，就说 属于集合 ，记作 . （2）不属于：如果 不是集合 的元素，就说 不属于集合 ，记作 . 知识点 4: 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记 法 N 或 Z Q 知识点 5 : 集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。 注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合中的元素必须是明确的。 ③集合中的元素不能重复； ④集合中的元素可以是任何事物。 （2）描述法：一般地，设 表示一个集合，把集合 中所有具有共同特征 的元素 所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法。 （3）图示法：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法， 此方法只能作为解题的辅助工具。 【题型一】 判断元素是否构成集合 【例题精讲】 1．（2025秋•济阳区校级期中）下列各组对象中，能构成集合的是（　　） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 2．（2025秋•莆田校级期中）下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程x2﹣2x＝0的实数解 D．中国著名的数学家 3．（2025秋•朝阳区校级月考）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 4．（2025秋•东丽区月考）下列说法正确的是（　　） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．2025年高考数学全国卷I中的选择题构成一个集合 C．高科技产品构成一个集合 D．本校学习好的学生构成一个集合 5．（2025秋•乾县校级月考）下列各组对象可以组成集合的是（　　） A．数学必修1课本中所有的难题 B．小于8的所有质数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 6．（2025秋•临河区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．我校高个子的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 7．（2025秋•延安期中）下列元素所组成的总体，能表示集合的是（　　） A．高一年级打篮球好的学生 B．高一年级比较难的学科 C．高一年级所有男生 D．高一年级写字好的学生 （多选）8．（2025秋•厦门校级月考）现有以下说法，其中正确的是（　　） A．接近于0的数的全体构成一个集合 B．正方体的全体构成一个集合 C．未来世界的高科技产品构成一个集合 D．不大于3的所有自然数构成一个集合 （多选）9．（2025秋•洮北区校级月考）给出下列说法，其中正确的有（　　） A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 （多选）10．（2025秋•阆中市校级月考）下列各组对象可以组成集合的是（　　） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有质数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．周长为10cm的三角形 【题型二】集合中元素的互异性问题 【例题精讲】 1．（2026•东湖区校级一模）集合{x，x2﹣1，2}中的x不能取的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025秋•大同期中）由a2，2﹣a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（　　） A．1 B．﹣2 C．6 D．2 3．（2025秋•10月份月考）下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成集合的是（　　） A．Chinese B．Mathematics C．English D．Physics 4．（2025秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的（　　） A．∅与{0}表示同一个集合 B．方程{x|（x﹣2）2（x﹣3）＝0}的所有解的集合可表示为{2，2，3} C．{y|y＝x2}和{y|y≥0}是相等集合 D．很小的实数可以构成集合 5．（2025秋•泉州校级月考）下列说法正确的是（　　） A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B．由1，2，3和，1，组成的集合不相等 C．不超过20的非负数组成一个集合 D．方程（x﹣1）（x+1）2＝0的所有解构成的集合中有3个元素 6．（2024秋•岳阳楼区校级月考）已知a、b∈R，若，则a2020+b2021的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或0 7．（2024秋•延边州校级期中）若m∈{1，3，4，m2}，则m可能取值的集合为（　　） A．{0，1，4} B．{0，3，4} C．{﹣1，0，3，4} D．{0，1，3，4} （多选）8．（2025秋•常熟市月考）由实数所组成的集合的元素个数可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 （多选）9．（2025秋•保定月考）已知集合{0，﹣2，2a}＝{a﹣2，﹣|a|，a+2}，则a的值可能为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．4 （多选）10．（2024秋•深圳校级期末）若集合A＝{a2+2a，3a+2，8}，则实数a的取值可以是（　　） A．2 B．3 C．﹣4 D．5 【题型三】判断元素与集合的关系 【例题精讲】 1．（2026•安徽模拟）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，若a∈A，且a+3∈A，则a的取值范围是（　　） A．[﹣2，3] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣2，0] D．[﹣3，2] 2．（2026•西山区校级模拟）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，且B＝{x|x∈A，∉A}，则B＝（　　） A．{1，4} B．{2，3} C．{0，1，4} D．{0，2，3} 3．（2026春•广东月考）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，则C＝{x|x＝2a﹣b，a∈A，b∈B}中的元素个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2026•湖北模拟）如果集合A＝{x|ax2﹣4x﹣1＝0}只有一个元素，则实数a的值是（　　） A．0或4 B．4 C．0或﹣4 D．0 5．（2026•金凤区校级一模）设集合A＝N，则（　　） A．﹣1∈A B．{0}∈A C．π∉A D． 6．（2026•高邮市开学）已知集合M＝{x∈N|6﹣x∈N}，则M中元素的个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 7．（2025秋•襄阳期末）已知集合，则（　　） A． B． C． D． （多选）8．（2025秋•西藏期末）下列结论不正确的是（　　） A．π∈R B． C．0∈N* D．﹣3∈Z （多选）9．（2025•新乡三模）已知非空数集M具有如下性质： ①若x，y∈M，则； ②若x，y∈M，则x+y∈M． 下列说法中正确的有（　　） A．﹣1∈M B．2025∈M C．若x，y∈M，则xy∈M D．若x，y∈M，则x﹣y∈M （多选）10．（2025秋•三亚期中）已知集合M＝{x|x＝a2﹣b2，a∈Z，b∈Z}，则下列说法正确的是（　　） A．所有的奇数都是M中的元素 B．所有的偶数都是M中的元素 C．如果x∈M，y∈M，那么xy∈M D．如果x∈M，y∈M，那么x+y∈M 【题型四】集合中元素的个数问题 【例题精讲】 1．（2026•佳木斯开学）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 2．（2025秋•赣州期末）集合的元素个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 3．（2025春•邵东市校级期中）设集合A＝{1，9}，B＝{x|x2∈A}，则B中的元素个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025春•汨罗市期中）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，则A的元素个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．0 5．（2025秋•天津校级月考）集合中的元素个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025秋•河北月考）已知集合A＝{1，2}，B＝{3，6}，则集合C＝{xy|x∈A，y∈B}的元素个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025秋•河西区校级月考）已知集合A的元素满足条件：若a∈A，则∈A（a≠1），当∈A时，则集合A中元素的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 （多选）8．（2025秋•濮阳校级月考）若∀x∈A，∈A，则称集合A为幸福集合．对集合M＝{﹣1，0，，1，2，3}的所有非空子集，下列叙述正确的是（　　） A．幸福集合个数为8 B．含﹣1的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 （多选）9．（2025秋•华蓥市校级月考）下列说法错误的是（　　） A．在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为{（x，y）|xy＞0} B．方程的解集为{﹣2，2} C．{x|x＜﹣8，且x＞﹣5}中的元素个数为0 D．若A＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}，则﹣1.1∈A （多选）10．（2025秋•元江县校级月考）已知由实数组成的非空集合A满足：若x∈A，则．下列结论正确的是（　　） A．若2∈A，则 B．0∉A C．A可能仅含有2个元素 D．A所含的元素的个数一定是4n（n∈N+） 【题型五】用列举法与描述法表示集合 【例题精讲】 1．（2025秋•吉林期末）方程x2＝x的所有实数根组成的集合用列举法表示为（　　） A．{0，1} B．{0} C．{1} D．{0，1，﹣1} 2．（2026•小店区校级模拟）下面关于集合的表示正确的是（　　） A．{2，3}≠{3，2} B．{（x，y）|x+y＝1}＝{x|x+y＝1}． C．{x|x＞1}＝{y|y＞1} D．∅＝{0}． 3．（2025秋•济阳区校级期中）用列举法表示集合{x|x是大于﹣2且小于3的整数}，正确的是（　　） A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2} 4．（2025秋•泉州校级期中）集合{x∈N|2x+5≤11}用列举法表示为（　　） A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3，4} D．{1，2，3，4} 5．（2025秋•淄博月考）将集合{x|﹣3＜x＜3，x∈Z}用列举法表示是（　　） A．{0，1，2} B．{1，2} C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{0，1，2，3} 6．（2025秋•河池月考）集合{x∈N+|x﹣3≤1}用列举法表示为（　　） A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3，4} D．{1，2，3，4} 7．（2024秋•宝山区校级月考）集合{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}是指（　　） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 （多选）8．（2025秋•乾县校级月考）下列用描述法表示的集合，正确的是（　　） A．奇数集可以表示为{x∈Z|x＝2k+1，k∈Z} B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x|x＜10} C．{x|x＞2}表示大于2的全体实数 D．不等式x2﹣1＞0的解集表示为{x|x2﹣1＞0} （多选）9．（2022秋•伊川县校级月考）集合{1，3，5，7，9}用描述法可表示为（　　） A．{x|x是不大于9的非负奇数} B．{x|x＝2k+1，k∈N，且k≤4} C．{x|x≤9，x∈N*} D．{x|0≤x≤9，x∈Z} （多选）10．（2025秋•会泽县校级月考）下列四个命题中正确的是（　　） A．由所确定的实数集合为{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3} B．同时满足的整数解的集合为{﹣1，0，1，2} C．集合{（x，y）|3x+2y＝16，x∈N，y∈N}可以化简为{（0，8），（2，5），（4，2）} D．中含有三个元素 课时精练 1．（2026•临清市校级模拟）已知实数集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则（a+b）2025＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 2．（2026•广东模拟）已知集合A＝{2，a}，B＝{﹣2，b}，若A＝B，则a+b＝（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 3．（2026•蓬江区校级开学）已知集合A＝{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{2，3}}，则（　　） A．（1，2）∈A B．（2，1）∈A C．（2，2）∉A D．（2，3）∉A 4．（2025秋•沁阳市校级期末）已知a为实数，集合A＝{x|x2﹣4x+a＝0}中有且仅有一个元素，则a＝（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 5．（2025秋•沧州期末）已知2∈{0，a﹣1，a+1}，则实数a的值是（　　） A．3 B．1 C．0 D．3或1 6．（2025秋•青岛月考）设集合中最大元素与最小元素分别为m，n，则m﹣n＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2025秋•裕安区校级月考）已知a∈R，b∈R，若集合，则a2026+b2025的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．2 8．（2025秋•浦东新区校级期末）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x2﹣2x+m＜0}，若A＝B，则实数m＝　 　 ． 9．（2025秋•西藏期末）已知集合A＝{a2+a，a+1，0}，若2∈A，则a＝　 　 10．（2025秋•金山区校级期末）设集合A＝{a，|a|，b+1}，B＝{0，a2，b}，且A＝B，则a+b＝　 　 ． $ 1.1 集合的概念 【题型一】 判断元素是否构成集合 2 【题型二】集合中元素的互异性问题 5 【题型三】判断元素与集合的关系 8 【题型四】集合中元素的个数问题 11 【题型五】用列举法与描述法表示集合 15 【基础回顾】 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1 : 集合的含义与表示 （1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母 表示。 （2）集合：把一些元素组成的总体叫作集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母 表示。 知识点 2 : 元素的三个特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的。 注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等。 （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的。 集合中的元素是不重复出现的。 简记为 “互异性”。 （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的。 简记为 “无序性”。 知识点 3 : 元素与集合关系 （1）属于：如果 是集合 的元素，就说 属于集合 ，记作 . （2）不属于：如果 不是集合 的元素，就说 不属于集合 ，记作 . 知识点 4: 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记 法 N 或 Z Q 知识点 5 : 集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。 注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合中的元素必须是明确的。 ③集合中的元素不能重复； ④集合中的元素可以是任何事物。 （2）描述法：一般地，设 表示一个集合，把集合 中所有具有共同特征 的元素 所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法。 （3）图示法：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法， 此方法只能作为解题的辅助工具。 【题型一】 判断元素是否构成集合 【例题精讲】 1．（2025秋•济阳区校级期中）下列各组对象中，能构成集合的是（　　） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【详解】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A错误； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B错误； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C正确； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D错误． 故选：C． 2．（2025秋•莆田校级期中）下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程x2﹣2x＝0的实数解 D．中国著名的数学家 【答案】D 【详解】对于选项A，中国古代四大发明明确可知，可以构成集合； 对于选项B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于选项C，关于方程x2﹣2x＝0有明确的实数解，可以构成集合； 对于选项D，中国著名的数学家，因为著名没有明确的标准，所以不可以构成集合． 故选：D． 3．（2025秋•朝阳区校级月考）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B 【详解】对于选项A，“非常接近”不具有确定性，故A错误； 对于选项B，对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故B正确； 对于选项C，“比较好”不具有确定性，故C错误； 对于选项D，“高手”不具有确定性，故D错误． 故选：B． 4．（2025秋•东丽区月考）下列说法正确的是（　　） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．2025年高考数学全国卷I中的选择题构成一个集合 C．高科技产品构成一个集合 D．本校学习好的学生构成一个集合 【答案】B 【详解】很喜欢，高科技，学习好不具有确定性，不能组成一个集合， B中元素是确定的，可以构成一个集合． 故选：B． 5．（2025秋•乾县校级月考）下列各组对象可以组成集合的是（　　） A．数学必修1课本中所有的难题 B．小于8的所有质数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【详解】对于A，“难题”的标准不确定，因而不能构成集合，故A错误； 对于B，小于8的所有质数能构成集合，故B正确； 对于C，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限内的一些点”不能构成集合，故C错误； 对于D，“小”没有明确的标准，所以不能构成集合，故D错误． 故选：B． 6．（2025秋•临河区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．我校高个子的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 【答案】B 【详解】高个子的同学缺少判断的明确标准，不具有确定性，故不能构成集合，故A错误； 联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国，能构成集合，故B正确； 因为，故数组成的集合中只有5个元素，故C错误； 由不大于4的自然数组成的集合的元素有0，1，2，3，4，故D错误． 故选：B． 7．（2025秋•延安期中）下列元素所组成的总体，能表示集合的是（　　） A．高一年级打篮球好的学生 B．高一年级比较难的学科 C．高一年级所有男生 D．高一年级写字好的学生 【答案】C 【详解】高一年级打篮球好的学生标准不明确，不能形成集合，A错误； 高一年级比较难的学科，标准不明确，对象不确定，不能形成集合，B错误； 高一年级所有男生，对象明确可知，是确定的，能形成集合，C正确； 高一年级写字好的学生，对象不确定，不能形成集合，D错误． 故选：C． （多选）8．（2025秋•厦门校级月考）现有以下说法，其中正确的是（　　） A．接近于0的数的全体构成一个集合 B．正方体的全体构成一个集合 C．未来世界的高科技产品构成一个集合 D．不大于3的所有自然数构成一个集合 【答案】BD 【详解】对于A，C，“接近于”，“高科技产品”不满足确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合，故A，C错误； 对于B，D，具有确定性，可以构成集合，故B，D正确． 故选：BD． （多选）9．（2025秋•洮北区校级月考）给出下列说法，其中正确的有（　　） A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 【答案】AC 【详解】A：中国的所有直辖市，元素具备确定性，可以构成集合，A正确； B中较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误； C：正偶数的全体，元素具备确定性，可以构成集合，C正确； D：大于2023且小于2030的所有整数，元素具备确定性能构成集合，D错误． 故选：AC． （多选）10．（2025秋•阆中市校级月考）下列各组对象可以组成集合的是（　　） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有质数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．周长为10cm的三角形 【答案】BD 【详解】对于选项A，“难题”的标准不确定，因而不能构成集合，所以A错误， 对于选项B，小于8的所有质数能构成集合，所以B正确， 对于选项C，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合，所以C错误， 对于选项D，周长为10cm的三角形具有确定性，能构成集合，所以D正确， 故选：BD． 【题型二】集合中元素的互异性问题 【例题精讲】 1．（2026•东湖区校级一模）集合{x，x2﹣1，2}中的x不能取的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】集合{x，x2﹣1，2}中，由互异性可知，x≠2，或x2﹣1≠2或x≠x2﹣1， 得x≠2或x或x． 故选：C． 2．（2025秋•大同期中）由a2，2﹣a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（　　） A．1 B．﹣2 C．6 D．2 【答案】C 【详解】当a＝1时，由a2＝1，2﹣a＝1，4组成一个集合A，A中含有2个元素， 当a＝﹣2时，由a2＝4，2﹣a＝4，4组成一个集合A，A中含有1个元素， 当a＝6时，由a2＝36，2﹣a＝﹣4，4组成一个集合A，A中含有3个元素， 当a＝2时，由a2＝4，2﹣a＝0，4组成一个集合A，A中含有2个元素， 故选：C． 3．（2025秋•10月份月考）下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成集合的是（　　） A．Chinese B．Mathematics C．English D．Physics 【答案】C 【详解】根据集合的互异性，单词中包含相同字母的均不能以自身包含的所有字母为元素组成集合， 故A错误，B错误，C正确，D错误． 故选：C． 4．（2025秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的（　　） A．∅与{0}表示同一个集合 B．方程{x|（x﹣2）2（x﹣3）＝0}的所有解的集合可表示为{2，2，3} C．{y|y＝x2}和{y|y≥0}是相等集合 D．很小的实数可以构成集合 【答案】C 【详解】对于A，∅没有元素，{0}有一个元素，不是同一集合，故A错误； 对于B，由元素的互异性可知B错误； 对于C，由x2≥0可知：{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，故C正确； 对于D，由元素的确定性可知，很小的实数不可以构成集合，故D错误． 故选：C． 5．（2025秋•泉州校级月考）下列说法正确的是（　　） A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B．由1，2，3和，1，组成的集合不相等 C．不超过20的非负数组成一个集合 D．方程（x﹣1）（x+1）2＝0的所有解构成的集合中有3个元素 【答案】C 【详解】A项中元素不确定，故不能构成集合，故A错误； B项中两个集合元素相同，所以两个集合相等，故B错误； C项中不超过20的非负数组成一个集合，故C正确； D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝﹣1．由互异性知，构成的集合含2个元素，故D错误． 故选：C． 6．（2024秋•岳阳楼区校级月考）已知a、b∈R，若，则a2020+b2021的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或0 【答案】C 【详解】∵，∴，即b＝0，{a，0，1}＝{a2，a，0}， ∴a2＝1，根据集合元素的互异性得a＝﹣1， ∴a2020+b2021＝1． 故选：C． 7．（2024秋•延边州校级期中）若m∈{1，3，4，m2}，则m可能取值的集合为（　　） A．{0，1，4} B．{0，3，4} C．{﹣1，0，3，4} D．{0，1，3，4} 【答案】B 【详解】由{1，3，4，m2}，得m2≠1，则m≠1， 由m∈{1，3，4，m2}，得m＝3，此时m2＝9，符合题意， 或m＝4，此时m2＝16，符合题意， 或m＝m2，则m＝0，此时m2＝0，符合题意， ∴m的可能取值的集合为{0，3，4}． 故选：B． （多选）8．（2025秋•常熟市月考）由实数所组成的集合的元素个数可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【详解】当x＝0时，集合的元素为0，集合的元素个数为1； 当x＞0时，|x|＝x，，， 集合中的元素有x，﹣x，集合中的元素个数为2个； 当x＜0时，|x|＝﹣x，，， 集合中的元素有x，﹣x，集合中的元素个数为2个． 综上可知集合的元素个数为1或2． 故选：BC． （多选）9．（2025秋•保定月考）已知集合{0，﹣2，2a}＝{a﹣2，﹣|a|，a+2}，则a的值可能为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．4 【答案】AC 【详解】由两集合相等，可得0必定在集合{a﹣2，﹣|a|，a+2}中， ①若a﹣2＝0，则a＝2，此时集合{0，﹣2，4}＝{0，﹣2，4}，相等且元素互异，符合条件； ②若﹣|a|＝0，则a＝0，此时左边集合为{0，﹣2，0}，元素重复，不符合互异性，排除； ③若a+2＝0，则a＝﹣2，此时集合{0，﹣2，﹣4}＝{﹣4，﹣2，0}，相等且元素互异，符合条件； 则a的值可能为﹣2和2． 故选：AC． （多选）10．（2024秋•深圳校级期末）若集合A＝{a2+2a，3a+2，8}，则实数a的取值可以是（　　） A．2 B．3 C．﹣4 D．5 【答案】BD 【详解】由元素的互异性可得，， 解得a≠﹣4，a≠2，a≠﹣1， 观察四个选项可知，BD符合． 故选：BD． 【题型三】判断元素与集合的关系 【例题精讲】 1．（2026•安徽模拟）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，若a∈A，且a+3∈A，则a的取值范围是（　　） A．[﹣2，3] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣2，0] D．[﹣3，2] 【答案】C 【详解】A＝{x|﹣2≤x≤3}； 因为a∈A且a+3∈A，所以，解得﹣2≤a≤0， 所以a的取值范围是[﹣2，0]． 故选：C． 2．（2026•西山区校级模拟）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，且B＝{x|x∈A，∉A}，则B＝（　　） A．{1，4} B．{2，3} C．{0，1，4} D．{0，2，3} 【答案】B 【详解】因为集合A＝{0，1，2，3，4}， 所以B＝{x|x∈A，∉A}＝{2，3}． 故选：B． 3．（2026春•广东月考）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，则C＝{x|x＝2a﹣b，a∈A，b∈B}中的元素个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意，x＝2a﹣b，a∈A，b∈B 当a＝1，b＝3时，x＝2a﹣b＝﹣1， 当a＝1，b＝5时，x＝2a﹣b＝﹣3， 当a＝2，b＝3时，x＝2a﹣b＝1， 当a＝2，b＝5时，x＝2a﹣b＝﹣1， 当a＝3，b＝3时，x＝2a﹣b＝3， 当a＝3，b＝5时，x＝2a﹣b＝1， 由集合中元素满足互异性，所以C＝{﹣3，﹣1，1，3}， 即集合C中有4个元素． 故选：B． 4．（2026•湖北模拟）如果集合A＝{x|ax2﹣4x﹣1＝0}只有一个元素，则实数a的值是（　　） A．0或4 B．4 C．0或﹣4 D．0 【答案】C 【详解】根据题意知：方程ax2﹣4x﹣1＝0只有一个解， 当a＝0时，解得，则，符合题意； 当a≠0时，Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＝0，解得a＝﹣4，此时，符合题意， 综上可得a＝0或a＝﹣4． 故选：C． 5．（2026•金凤区校级一模）设集合A＝N，则（　　） A．﹣1∈A B．{0}∈A C．π∉A D． 【答案】C 【详解】对于A，因为﹣1不是自然数，所以﹣1∉A，故A错误； 对于B，集合与集合之间不能用“∈”，故B错误； 对于C，因为π不是自然数，所以π∉A，故C正确； 对于D，因为不是自然数，所以，故D错误． 故选：C． 6．（2026•高邮市开学）已知集合M＝{x∈N|6﹣x∈N}，则M中元素的个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】因为M＝{x∈N|6﹣x∈N}，所以6﹣x＝0，1，2，3，4，5，6， 所以x＝6，5，4，3，2，1，0， 所以M＝{0，1，2，3，4，5，6}， 即M中元素的个数是7． 故选：B． 7．（2025秋•襄阳期末）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，若，则，可得∉N，所以，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错． 故选：C． （多选）8．（2025秋•西藏期末）下列结论不正确的是（　　） A．π∈R B． C．0∈N* D．﹣3∈Z 【答案】BC 【详解】R表示实数集，故π∈R，故A正确； Q表示有理数集，，故B错误； N*表示正整数集，0∉N*，故C错误； Z表示整数集，﹣3∈Z，故D正确． 故选：BC． （多选）9．（2025•新乡三模）已知非空数集M具有如下性质： ①若x，y∈M，则； ②若x，y∈M，则x+y∈M． 下列说法中正确的有（　　） A．﹣1∈M B．2025∈M C．若x，y∈M，则xy∈M D．若x，y∈M，则x﹣y∈M 【答案】BC 【详解】A．若﹣1∈M，则，则1+（﹣1）＝0∈M，显然0∉M，A错误； B．M是非空集合，若x∈M，，1+1＝2∈M，1+2＝3∈M，所以2025∈M，B正确； C．因为1∈M，y∈M，所以，所以，C正确； D．若x＝1，y＝2，则x﹣y＝﹣1∉M，D错误． 故选：BC． （多选）10．（2025秋•三亚期中）已知集合M＝{x|x＝a2﹣b2，a∈Z，b∈Z}，则下列说法正确的是（　　） A．所有的奇数都是M中的元素 B．所有的偶数都是M中的元素 C．如果x∈M，y∈M，那么xy∈M D．如果x∈M，y∈M，那么x+y∈M 【答案】AC 【详解】选项A，设奇数为2k+1，k∈Z，则2k+1＝（k+1）2﹣k2， 满足集合M中元素的形式x＝a2﹣b2（a∈Z，b∈Z）， 所以所有奇数都是M中的元素，故A正确； 选项B，取偶数2，若2∈M，则2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（a∈Z，b∈Z）， 所以或或或， 解得或或或， 不满足a∈Z，b∈Z，故2∉M，故B错误； 选项C，设x＝a2﹣b2，y＝c2﹣d2，（a，b，c，d∈Z）， 则xy＝（a2﹣b2）（c2﹣d2）＝a2c2﹣a2d2﹣b2c2+b2d2 ＝（a2c2+2abcd+b2d2）﹣（a2d2+2abcd+b2c2） ＝（ac+bd）2﹣（ad+bc）2， 其中ac+bd∈Z，ad+bc∈Z，所以xy∈M，故C正确； 选项D，取x＝y＝1，由A选项知x，y∈M，此时x+y＝2， 由B选项知，2∉M，故D错误． 故选：AC． 【题型四】集合中元素的个数问题 【例题精讲】 1．（2026•佳木斯开学）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】根据集合中元素的互异性，由单词“Chinese”中的字母组成的集合A{C，h，i，n，e，s}． 所以A中的元素个数为6． 故选：C． 2．（2025秋•赣州期末）集合的元素个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【详解】因为， 所以x是自然数且6﹣x是6的正约数，而6的正约数有1，2，3，6 所以对应的x的值分别为5，4，3，0， 故集合{5，4，3，0}，元素个数是4． 故选：B． 3．（2025春•邵东市校级期中）设集合A＝{1，9}，B＝{x|x2∈A}，则B中的元素个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为A＝{1，9}，B＝{x|x2∈A}， 所以x＝±1或x＝±3， 所以B＝{﹣3，﹣1，1，3}， 所以B中的元素个数为4． 故选：C． 4．（2025春•汨罗市期中）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，则A的元素个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【详解】由题意可得：A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}， 可知A有3个元素． 故选：B． 5．（2025秋•天津校级月考）集合中的元素个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为集合，所以0≤x≤3，x∈N， 当x＝0时，，满足条件， 当x＝1时，，满足条件， 当x＝2时，不是整数，不满足条件， 当x＝3时，，满足条件， 综上所述，A＝{1，2，4}，元素个数为3． 故选：C． 6．（2025秋•河北月考）已知集合A＝{1，2}，B＝{3，6}，则集合C＝{xy|x∈A，y∈B}的元素个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】x∈A，y∈B，A＝{1，2}，B＝{3，6}， 则xy的值为：3，6，12， 所以C＝{3，6，12}，即C的元素个数为3． 故选：C． 7．（2025秋•河西区校级月考）已知集合A的元素满足条件：若a∈A，则∈A（a≠1），当∈A时，则集合A中元素的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为∈A，所以2∈A， 所以∈A． 所以∈A， 所以∈A， 所以集合A中有四个元素． 故选：D． （多选）8．（2025秋•濮阳校级月考）若∀x∈A，∈A，则称集合A为幸福集合．对集合M＝{﹣1，0，，1，2，3}的所有非空子集，下列叙述正确的是（　　） A．幸福集合个数为8 B．含﹣1的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【详解】具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；﹣1三组， 含一组的有{1}，{﹣1}，，共3个， 含二组的有{﹣1，1}，，，共3个， 含三组的有，共1个， 所以M的非空子集中幸福集合的个数为7个，故A错误， 其中含﹣1的幸福集合个数为4个，故B正确， 其中不含1的幸福集合个数为3个，故C错误， 其中元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确． 故选：BD． （多选）9．（2025秋•华蓥市校级月考）下列说法错误的是（　　） A．在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为{（x，y）|xy＞0} B．方程的解集为{﹣2，2} C．{x|x＜﹣8，且x＞﹣5}中的元素个数为0 D．若A＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}，则﹣1.1∈A 【答案】BD 【详解】第一象限内的点（x，y）满足x＞0，y＞0，第三象限内的点（x，y）满足x＜0，y＜0，即xy＞0，A正确； 由题意，方程的解为解集表示为{（2，﹣2）}，B错误； 由x的范围可得{x|x＜﹣8，且x＞﹣5}中的元素个数为0，C正确； A＝{﹣1，0，1}，﹣1.1∉A，D错误． 故选：BD． （多选）10．（2025秋•元江县校级月考）已知由实数组成的非空集合A满足：若x∈A，则．下列结论正确的是（　　） A．若2∈A，则 B．0∉A C．A可能仅含有2个元素 D．A所含的元素的个数一定是4n（n∈N+） 【答案】ABD 【详解】若x∈A，则， 若2∈A，则3∈A，，A正确． 若x∈A，则，所以， 所以，． 若，即x2+1＝0，此方程无实数解， 所以若x∈A，则，，，且x，，，互不相等． 所以A所含的元素的个数一定是4n（n∈N+），非空集合A所含的元素最少有4个，C错误，D正确， 若0∈A，则1∈A，而中分母不能为0，即x≠1，所以0∉A，B正确． 故选：ABD． 【题型五】用列举法与描述法表示集合 【例题精讲】 1．（2025秋•吉林期末）方程x2＝x的所有实数根组成的集合用列举法表示为（　　） A．{0，1} B．{0} C．{1} D．{0，1，﹣1} 【答案】A 【详解】方程x2﹣x＝x（x﹣1）＝0的实数根为0或1， 所以方程x2＝x的所有实数根组成的集合用列举法表示为{0，1}． 故选：A． 2．（2026•小店区校级模拟）下面关于集合的表示正确的是（　　） A．{2，3}≠{3，2} B．{（x，y）|x+y＝1}＝{x|x+y＝1}． C．{x|x＞1}＝{y|y＞1} D．∅＝{0}． 【答案】C 【详解】对于A，可知{2，3}＝{3，2}，故错误； 对于B，元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，{0}不是空集，故错误． 故选：C． 3．（2025秋•济阳区校级期中）用列举法表示集合{x|x是大于﹣2且小于3的整数}，正确的是（　　） A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2} 【答案】A 【详解】用列举法表示集合{x|x是大于﹣2且小于3的整数}为{﹣1，0，1，2}． 故选：A． 4．（2025秋•泉州校级期中）集合{x∈N|2x+5≤11}用列举法表示为（　　） A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3，4} D．{1，2，3，4} 【答案】A 【详解】由题意，{x∈N|2x+5≤11}＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}． 故选：A． 5．（2025秋•淄博月考）将集合{x|﹣3＜x＜3，x∈Z}用列举法表示是（　　） A．{0，1，2} B．{1，2} C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{0，1，2，3} 【答案】C 【详解】因为﹣3＜x＜3，且x∈Z， 则x的所有取值为﹣2，﹣1，0，1，2，用列举法表示是{﹣2，﹣1，0，1，2}． 故选：C． 6．（2025秋•河池月考）集合{x∈N+|x﹣3≤1}用列举法表示为（　　） A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3，4} D．{1，2，3，4} 【答案】D 【详解】{x∈N+|x﹣3≤1}＝{x∈N+|x≤4}＝{1，2，3，4}． 故选：D． 7．（2024秋•宝山区校级月考）集合{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}是指（　　） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【答案】D 【详解】集合{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}表示第二象限或第四象限或坐标轴上的点组成的集合， 即不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合． 故选：D． （多选）8．（2025秋•乾县校级月考）下列用描述法表示的集合，正确的是（　　） A．奇数集可以表示为{x∈Z|x＝2k+1，k∈Z} B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x|x＜10} C．{x|x＞2}表示大于2的全体实数 D．不等式x2﹣1＞0的解集表示为{x|x2﹣1＞0} 【答案】ACD 【详解】对于A，奇数集可以表示为{x∈Z|x＝2k+1，k∈Z}，故A正确； 对于B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x∈Z|x＜10}，故B错误； 对于C，{x|x＞2}表示大于2的全体实数，故C正确； 对于D，不等式x2﹣1＞0的解集表示为{x|x2﹣1＞0}，故D正确． 故选：ACD． （多选）9．（2022秋•伊川县校级月考）集合{1，3，5，7，9}用描述法可表示为（　　） A．{x|x是不大于9的非负奇数} B．{x|x＝2k+1，k∈N，且k≤4} C．{x|x≤9，x∈N*} D．{x|0≤x≤9，x∈Z} 【答案】AB 【详解】根据题意，集合{1，3，5，7，9}中的元素为不大于9的非负奇数， 题中选项A、B均可表示， 故选：AB． （多选）10．（2025秋•会泽县校级月考）下列四个命题中正确的是（　　） A．由所确定的实数集合为{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3} B．同时满足的整数解的集合为{﹣1，0，1，2} C．集合{（x，y）|3x+2y＝16，x∈N，y∈N}可以化简为{（0，8），（2，5），（4，2）} D．中含有三个元素 【答案】BC 【详解】对于选项A，当a，b，c都是正数时，原式＝1+1+1＝3； 当a，b，c都是负数时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3； 当a，b，c两正一负时，原式＝1+1﹣1＝1； 当a，b，c两负一正时，原式﹣1﹣1+1＝﹣1．故A错误； 对于选项B，由，得﹣2＜x≤2， 所以符合条件的整数解的集合为{﹣1，0，1，2}，故B正确； 对于选项C，由3x+2y＝16，x∈N，y∈N， 可以得到符合条件的数对有（0，8），（2，5），（4，2），故C正确； 对于选项D，当a＝2时，；当a＝1时，； 当a＝0时，；当a＝﹣1时，； 当a＝﹣2时，；当a＝﹣3时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，﹣3，故D错误． 故选：BC． 课时精练 1．（2026•临清市校级模拟）已知实数集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则（a+b）2025＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为A＝B，所以集合A与集合B中的元素完全相同， 当时，a＝1时，不满足集合元素的互异性，舍去；a＝﹣1，b＝0时，A＝{1，﹣1，0}，B＝{1，﹣1，0}，满足题意； 当，解得a＝1，不满足集合元素的互异性，舍去， 所以（a+b）2025＝（﹣1）2025＝﹣1． 故选：A． 2．（2026•广东模拟）已知集合A＝{2，a}，B＝{﹣2，b}，若A＝B，则a+b＝（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由题意可知，集合A＝{2，a}，B＝{﹣2，b}，且A＝B， 则a＝﹣2，b＝2， 故a+b＝0． 故选：B． 3．（2026•蓬江区校级开学）已知集合A＝{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{2，3}}，则（　　） A．（1，2）∈A B．（2，1）∈A C．（2，2）∉A D．（2，3）∉A 【答案】A 【详解】因为集合A＝{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{2，3}}， 所以A＝{（1，2），（1，3），（2，2），（2，3）}， 所以（1，2）∈A，（2，1）∉A，（2，2）∈A，（2，3）∈A． 故选：A． 4．（2025秋•沁阳市校级期末）已知a为实数，集合A＝{x|x2﹣4x+a＝0}中有且仅有一个元素，则a＝（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【详解】因为集合A＝{x|x2﹣4x+a＝0}中有且仅有一个元素， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4a＝4×（4﹣a）＝0， 解得a＝4． 故选：B． 5．（2025秋•沧州期末）已知2∈{0，a﹣1，a+1}，则实数a的值是（　　） A．3 B．1 C．0 D．3或1 【答案】A 【详解】因为2∈{0，a﹣1，a+1}， 所以a﹣1＝2或a+1＝2， 解得a＝3或a＝1， 当a＝3时，集合为{0，2，4}，符合题意， 当a＝1时，不满足元素的互异性，舍去， 所以实数a的值是3． 故选：A． 6．（2025秋•青岛月考）设集合中最大元素与最小元素分别为m，n，则m﹣n＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由1≤a≤b≤4知，1+4＝5， 当a＝1，b＝4时，得最大元素m＝5， 又b2，当且仅当a＝b＝1时，取得最小值， 故最小元素n＝2， 因此，m﹣n＝5﹣2＝3． 故选：B． 7．（2025秋•裕安区校级月考）已知a∈R，b∈R，若集合，则a2026+b2025的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．2 【答案】B 【详解】集合， 由元素的互异性得a≠1，a≠0，有a≠a2， 则，因此a＝﹣1，b＝0， 将a＝﹣1，b＝0代入可得a2026+b2025＝（﹣1）2026+02025＝1． 故选：B． 8．（2025秋•浦东新区校级期末）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x2﹣2x+m＜0}，若A＝B，则实数m＝　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【详解】集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x2﹣2x+m＜0}， 若A＝B，则﹣1和3是方程x2﹣2x+m＝0的两根， 所以m＝﹣1×3＝﹣3． 故答案为：﹣3． 9．（2025秋•西藏期末）已知集合A＝{a2+a，a+1，0}，若2∈A，则a＝　﹣2　 【答案】﹣2． 【详解】若a+1＝2，则a＝1，a2+a＝12+1＝2，违背集合元素的互异性，不合题意； 若a2+a＝2，则a＝﹣2或a＝1（舍去 ）， 当a＝﹣2时，a+1＝﹣2+1＝﹣1， 集合A＝{2，﹣1，0}，满足元素互异性，且2∈A，符合条件． 故答案为：﹣2． 10．（2025秋•金山区校级期末）设集合A＝{a，|a|，b+1}，B＝{0，a2，b}，且A＝B，则a+b＝　﹣2　 ． 【答案】﹣2 【详解】a≠|a|，所以a＜0，a≠a2， 所以a＝b，|a|＝a2，b+1＝0 a＝﹣1＝b， 故a+b＝﹣2， 故答案为：﹣2． $