精品解析：北京市东城区2024-2025学年下学期八年级数学期末考试试卷

东城区2024-2025学年度第二学期期末统一检测 初二数学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间100分钟. 2．在试卷上和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，196．现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 4. 在中，的对边分别为，下列条件中不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 一次函数y＝3x＋b（b≥0）的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系： ①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系． ②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系． ③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系． ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系． 下面四个图象分别刻画了以上变量之间的关系，图象对应的情景的正确排序是(　　) A. ①②③④ B. ①④③② C. ①②④③ D. ②④③① 8. 如图，直线交坐标轴于D，E两点，等边三角形的边在x轴上，且点B为线段的中点，若将沿y轴竖直向上平移，当点C落在直线上时，点C平移的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是 （ ） 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A. 都是矩形 B. 都为菱形 C. 图1为矩形，图2、图3为平行四边形 D. 图1为平行四边形，图2、图3为矩形 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 已知一条直线经过坐标原点和点，当时，有，则这条直线的解析式可以是___________（写出一个即可）． 12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 13. 如图，从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为_____． 14. 如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是____________． 15. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制）．选手李林控球技能得分，投球技能得分，则李林的综合成绩为_____分． 16. 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高1丈（1丈尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为___________． 17. 下图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是中，结论正确的序号是___________． 18. 如图，矩形中，已知，点F是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为________． 三、解答题（本题共54分，第19题6分，第20题4分，第21-26题每小题5分，第27-28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按照要求画格点图形． 图1 图2 （1）在图1中画出一个平行四边形，且平行四边形的面积为5； （2）在图2中画一个以为中位线的格点三角形． 21. 如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点P，求证：． 22. 已知一次函数的图象经过点和． （1）求该一次函数的解析式； （2）平移该函数图象，使它经过点，求出平移后的一次函数的解析式，并写出一种平移方法． 23. 小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，如图1．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足函数关系，小泉通过测量，得到如下6组数据： 单层部分的长度 20 30 40 50 60 70 双层部分的长度 55 50 45 40 35 30 （1）请在图2的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式，并画出这个函数的图象； （2）根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度． 24. 2025年是中国共产党建党104周年，在7月1日党的生日来临之际，某校七年级和八年级开展党史知识竞赛．现从两个年级中各随机抽查10名学生的竞赛成绩，统计如下（满分100分）： 七年级：72，80，80，82，82，84，87，88，90，95； 八年级：76，78，79，82，85，85，85，88，90，92． 老师现将两个年级的成绩整理成下表，并将85分及以上（含85分）的成绩评定为优秀，请根据统计数据回答以下问题： 统计量 七年级组 八年级组 平均数 84 84 中位数 85 众数 80，82 （1）___________；___________； （2）八年级随后又补查了3名同学的成绩，与之前的数据合并后，发现中位数没变，那么这3名同学中至少有___________名同学达到优秀； （3）如果七年级有700名学生参加了此次竞赛，请你估计优秀的学生的人数． 25. 如图，点D为的斜边的中点，连接，过点C作，连接，交于点O，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，点M、N分别为线段的中点，连接，求线段的长． 26. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点． （1）若，求这个正比例函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，正比例函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 27. 在正方形中，为平面上一点(不与点重合)，且，连接，． （1）若为正方形内一点， ①在图1中依题意补全图形，并求的度数； ②射线交于点，点在边上，，连接，写出，之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当为正方形外一点时，的平分线交射线于点，交于点，若，直接写出的长． 28. 已知点为图形上一点，点为图形上一点(不重合)，若一点能使得点为线段的中点，则称点为图形关于图形的“二倍点”．若图形上每一点都是图形关于图形的“二倍点”，且图形关于图形的“二倍点”都在图形上，则图形为图形关于图形的“二倍图”．在平面直角坐标系中，点． （1）在点中，点___________是点关于线段的“二倍点”； （2）若图形为线段关于线段的“二倍图”，则图形的面积为___________； （3）点是轴上一动点，正方形的各顶点坐标为，，线段上任一点都为正方形关于正方形的“二倍点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东城区2024-2025学年度第二学期期末统一检测 初二数学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间100分钟. 2．在试卷上和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握知识点是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母．逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A：．故不是最简二次根式． 选项B：．故不是最简二次根式． 选项C：．故不是最简二次根式． 选项D：．被开方数，无完全平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件． 故选D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算等知识点，根据二次根式的除法法则对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的加法法则对C选项进行判断，根据二次根式的减法法则对D选项进行判断即可，熟练掌握二次根式加减乘除法则进行运算是解决问题的关键． 【详解】A． ，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D． 和不是同类项，不能进行减法运算，所以D选项不符合题意； 故选：B． 3. 某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，196．现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数与方差的意义，根据平均数和方差的意义即可得出答案． 比较换人前后的平均数和方差变化，需分别计算两者的数值。 【详解】解：∵换上的队员身高小于下场队员的身高， ∴平均数变小； ∵数据变的更集中， ∴方差变小； 故选：A． 4. 在中，的对边分别为，下列条件中不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，逐一分析各选项是否满足直角三角形的条件． 【详解】解：A． 由，结合三角形内角和为，得，故，为直角三角形，排除A． B． ，总份数为，对应角度分别为，，，最大角为，非直角，故不能判定为直角三角形． C． 展开得，即，满足勾股定理的逆定理，为直角三角形，排除C． D． 设，，，验证即，满足勾股定理的逆定理，为直角三角形，排除D． 故选B． 5. 如图，在中，，，点在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，平行四边形的性质，由等边对等角和三角形内角和定理可得，由平行四边形对边平行结合平行线的性质可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：C． 6. 一次函数y＝3x＋b（b≥0）的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可得其经过的象限，进而可得答案． 【详解】解：一次函数， ∵ ∴图象一定经过一、三象限， ∴当时，函数图象一定经过一、二、三象限， 当时，函数图象经过一、三象限， ∴函数图象一定不经过第四象限，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 7. 以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系： ①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系． ②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系． ③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系． ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系． 下面四个图象分别刻画了以上变量之间的关系，图象对应的情景的正确排序是(　　) A. ①②③④ B. ①④③② C. ①②④③ D. ②④③① 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，充分理解两个量之间的关系是解题关键 先理解图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象 【详解】解：根据题意可得，与图象的顺序相对应的情景分别是： 第一幅图：因变量随着自变量的增大而减小，直至为零，符合①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系； 第二幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值大于零，符合②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系； 第三幅图：因变量随着自变量的增大，先由0开始增大，再保持不变，最后减小到0，且起始值大于零，符合④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系； 第四幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值为零，符合③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系； 正确的排序是：①②④③ 故选：C． 8. 如图，直线交坐标轴于D，E两点，等边三角形的边在x轴上，且点B为线段的中点，若将沿y轴竖直向上平移，当点C落在直线上时，点C平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作于点M，延长交于点N，先根据题意求出的长，再求出的长即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作于点M，延长交于点N， 令，则， 解得， ∴点D的坐标为， ∵点B为线段的中点， ， 是等边三角形， ， 又∵， ∴， ∴， 将代入， 得， 即， ∴， 即点C平移的距离为． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等边三角形的性质和平移的性质解答． 9. 如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 连接，根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分可得，，推得，根据等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在中，为的中点， ∴． 故选：A． 10. 平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是 （ ） 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A. 都是矩形 B. 都为菱形 C. 图1为矩形，图2、图3为平行四边形 D. 图1为平行四边形，图2、图3为矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，涉及到平行线的性质、两个三角形全等的判定与性质、基本尺规作图等知识点，熟练掌握平行四边形和矩形的判定与性质是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定和性质、矩形的判定，全等三角形的判定和性质，作出相应辅助线，进行证明即可． 【详解】解：连接、、、，如图所示： 在中，对角线与交于， , , 在和中， ， ， , 以点为圆心，以为半径作弧，交于点， ，即， 四边形为矩形，即图1为矩形； 连接、，如图所示： 在中，对角线与交于， ,, , 在和中， ， ， , 为的中线， ， 四边形为平行四边形， 即图2为平行四边形； 连接、，如图所示： 同理得：， ， 为的角平分线， ∴ ，， ∴， 四边形为平行四边形，即图3为平行四边形； 故选：C． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 已知一条直线经过坐标原点和点，当时，有，则这条直线的解析式可以是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．设这条直线的解析式是，先根据这条直线经过坐标原点可得，再根据一次函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：设这条直线的解析式是， ∵这条直线经过坐标原点， ∴， 又∵这条直线经过点，且当时，有， ∴， ∴这条直线的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”、分式有意义的条件“分式的分母不等于0”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于0是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的、分式的分母不等于0求解即可得． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义， 则， 解得， 故答案为：． 13. 如图，从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为_____． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的性质． 直接利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形面积为12和27， ∴大正方形边长为：， ∴大正方形面积为， ∴留下的阴影部分面积和为： 故答案为：36． 14. 如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上的点及勾股定理求解即可． 【详解】解：在直角三角形中， ， ∴， ∴点C所表示的数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点，求出的长度是解题关键． 15. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制）．选手李林控球技能得分，投球技能得分，则李林的综合成绩为_____分． 【答案】87 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 根据题意，运用加权平均数的计算方法计算即可． 【详解】解：控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩，李林控球技能得分，投球技能得分， ∴（分）， ∴李林的综合成绩为分， 故答案为：87 ． 16. 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高1丈（1丈尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先求出的长，再在中，利用勾股定理建立方程即可得． 【详解】解：由题意得：尺，尺，， 在中，由勾股定理得：，即， 故答案为：． 17. 下图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是中，结论正确的序号是___________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与不等式之间的关系，一次函数与一元一次方程之间的关系，根据函数经过的象限可判断①；根据函数与y轴交点的位置可判断②；根据两函数的交点的横坐标可判断③④． 【详解】解；∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，故①正确； ∵一次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴，故②错误； ∵一次函数与的交点横坐标为3， ∴方程的解是，故③正确； ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集为，故④错误， ∴正确的有①③， 故答案为：①③． 18. 如图，矩形中，已知，点F是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在处，， 当点F与点E重合时，点P在处，， ∴且． 当点F在上除点C、E处的位置时，有． 由中位线定理可知：且． ∴点P的运动轨迹是线段， ∴当时，取得最小值． ∵矩形中，，E为的中点， ∴为等腰直角三角形，． ∴． ∴． ∴． ∴，即， ∴的最小值为的长． 在等腰直角中，， ∴ ∴的最小值是． 故答案是：． 【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度． 三、解答题（本题共54分，第19题6分，第20题4分，第21-26题每小题5分，第27-28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握如何化简二次根式、平方差公式和完全平方公式． （1）先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 20. 如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按照要求画格点图形． 图1 图2 （1）在图1中画出一个平行四边形，且平行四边形的面积为5； （2）在图2中画一个以为中位线的格点三角形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要几何图形的变换，理解题意，根据图形的面积公式及三角形中位线的定义即可求解，解题的关键就是对图形性质的理解． （1）根据平行四边形的面积为5，可先构造一个底为5，高为1 的三角形，进而可作出平行四边形． （2）先以A为中点构造边，连接并延长，即可找到F点，连接即可． 【小问1详解】 如图， ， ， 即为所求； 【小问2详解】 如图，A点为的中点，B点为的中点， ∴是的中位线， ∴即为所求． 21. 如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点P，求证：． 【答案】证明过程见详解 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 根据可得且平行，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质∶对角线互相平分得到与互相平分即可得结论． 【详解】证明∶ 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 22. 已知一次函数的图象经过点和． （1）求该一次函数的解析式； （2）平移该函数图象，使它经过点，求出平移后的一次函数的解析式，并写出一种平移方法． 【答案】（1） （2）；向上平移个单位（或其他合理平移，如先右移再上移等，只要最终得到即可 ） 【解析】 【分析】此题主要是考查了利用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的平移，能够熟练掌握待定系数法是解答此题的关键． （1）设一次函数的解析式为，把点和代入解析式求得与的值即可； （2）设平移后的直线表达式为．把代入求出m的值，对比原解析式与平移后，通过纵坐标变化确定平移方向和距离，如向上平移个单位（或其他合理组合平移 ）． 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为， 一次函数的图象经过点和， ， 解得． 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 设平移后的直线表达式为． 把代入得到，， 解得， ∴平移后的直线表达式为． 平移方法：原函数，要得到，需向上平移个单位（或其他合理平移，如先右移再上移等，只要最终得到 ）． 23. 小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，如图1．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足函数关系，小泉通过测量，得到如下6组数据： 单层部分的长度 20 30 40 50 60 70 双层部分的长度 55 50 45 40 35 30 （1）请在图2的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式，并画出这个函数的图象； （2）根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度． 【答案】（1）；图象见详解 （2）双层部分的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．画一次函数，求一次函数解析式等． （1）描点并根据这些点的分布情况判断y与x之间的函数关系类型，根据待定系数法求其解析式并画出图象即可； （2）根据得求出x的值，从而求出y的值即可． 【小问1详解】 解：描点如下： ∵这些点分布在同一条直线上， ∴y是x的一次函数， 设y与x的函数解析式为 (k、b为常数，且)， 将坐标和分别代入， 得：， 解得： 则， 当时，，当时，得时，解得， ∴y与x的函数解析式为，其图象如上图所示． 【小问2详解】 解：根据题意，， 即， 解得：， 当时，得， 解得：， ∴此时双层部分的长度为． 24. 2025年是中国共产党建党104周年，在7月1日党的生日来临之际，某校七年级和八年级开展党史知识竞赛．现从两个年级中各随机抽查10名学生的竞赛成绩，统计如下（满分100分）： 七年级：72，80，80，82，82，84，87，88，90，95； 八年级：76，78，79，82，85，85，85，88，90，92． 老师现将两个年级的成绩整理成下表，并将85分及以上（含85分）的成绩评定为优秀，请根据统计数据回答以下问题： 统计量 七年级组 八年级组 平均数 84 84 中位数 85 众数 80，82 （1）___________；___________； （2）八年级随后又补查了3名同学的成绩，与之前的数据合并后，发现中位数没变，那么这3名同学中至少有___________名同学达到优秀； （3）如果七年级有700名学生参加了此次竞赛，请你估计优秀的学生的人数． 【答案】（1）83，85 （2）1 （3）估计优秀的学生的人数为人 【解析】 【分析】本题考查求中位数和众数，利用样本估计总体，熟练掌握中位数和众数的确定方法，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （2）根据中位数的确定方法，进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级的数据排序后第5个和第6个数据分别为：， ∴， 八年级数据中出现次数最多的是：85， ∴； 【小问2详解】 补录三位同学，数据变为13个，其中中位数为排序后的第7个数据，且为85， 又∵原来的第5到第7个数均为85， ∴补录的三位同学的成绩至少有1个数据大于等于85， 即：这3名同学中至少有1名同学达到优秀； 【小问3详解】 （人）； 答：估计优秀的学生的人数为人． 25. 如图，点D为的斜边的中点，连接，过点C作，连接，交于点O，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，点M、N分别为线段的中点，连接，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再证明即可证明结论； （2）根据直角三角形的性质可得，再根据菱形的性质可得为等边三角形，进而求得、、，如图：过N作,再求得、，最后运用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵点D为的斜边的中点，连接， ∴， ∴四边形为菱形． 【小问2详解】 解：∵点D为的斜边的中点，连接， ∴， ∵在中，，， ∴, ∴，即， ∵四边形为菱形， ∴,,, ∴为等边三角形，, ∴,即, ∴, ∵点M、N分别为线段的中点， ∴，， 如图：过N作, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点． （1）若，求这个正比例函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，正比例函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和正比例函数的综合问题，运用数形结合思想是解题的关键． （1）将代入一次函数解析式求出b，再将点P代入一次函数解析式求出k的值即可得解； （2）求出根据点P的坐标结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 将点代入得：， 解得：， ∴这个正比例函数的解析式是：； 【小问2详解】 由题意可知：正比例函数图象介于如下两根虚线之间(含平行的虚线，不含过点P的虚线)， ∴． 27. 在正方形中，为平面上一点(不与点重合)，且，连接，． （1）若为正方形内一点， ①在图1中依题意补全图形，并求的度数； ②射线交于点，点在边上，，连接，写出，之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当为正方形外一点时，的平分线交射线于点，交于点，若，直接写出的长． 【答案】（1）①；②，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①先画出图形，利用等边对等角得到，两式子相加，结合即可得解； ②作出图形，并将绕着点C逆时针旋转90°，则，证明，得到点E、N、P三点共线，再利用是等腰直角三角形即可得解． （2）过点B作于点Q，则，，三线合一得到，与（1）①同理可得得到，继而求出，最后用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①依题意画图如下： 则，， ∴， ∴ ∴； ②，理由如下： 作出图形图下，并将绕着点C逆时针旋转90°， 连接、，由可知点M旋转到点N处， 则， ∴， 由①可知：，则， ∴， ∴点E、N、P三点共线， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ，理由如下： 过点B作于点Q， 同理：，， ∴， ∴ ∴； 又∵， ∴， ∴， ∵，的平分线交射线于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质和全等三角形的综合问题等知识，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 28. 已知点为图形上一点，点为图形上一点(不重合)，若一点能使得点为线段的中点，则称点为图形关于图形的“二倍点”．若图形上每一点都是图形关于图形的“二倍点”，且图形关于图形的“二倍点”都在图形上，则图形为图形关于图形的“二倍图”．在平面直角坐标系中，点． （1）在点中，点___________是点关于线段的“二倍点”； （2）若图形为线段关于线段的“二倍图”，则图形的面积为___________； （3）点是轴上一动点，正方形的各顶点坐标为，，线段上任一点都为正方形关于正方形的“二倍点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）F （2）12 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出直线的解析式为，根据题意可知：若点P是点关于线段的“二倍点”， 则的中点在线段上，再分别验证OE，OF、OG的中点是否在线段AB上即可； （2）根据题意推导图形是一个平行四边形，分别求出四个顶点的坐标，再用割补法求面积即可； （3）根据题意可知正方形关于正方形的“二倍图”如途中阴影部分所示，它是由一个与正方形共对角线的交点即点T且边长为6且各边都与坐标轴垂直或平行的正方形去除正方形的内部所得到的．分别求出四个临界情况时t的值，从而得解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式是：， 将点A，B的坐标代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式是：， 由题意可知：若点P是点关于线段的“二倍点则的中点在线段上， 对于点，的中点是：点， 当时，， ∴点不在线段上，即点不是点关于线段的“二倍点”； 同理：的中点在线段上，即点是点关于线段的“二倍点”； 的中点不在线段上，即点不是点关于线段的“二倍点”； 故答案为：F； 【小问2详解】 解：由题意可知：如下图所示：点关于线段的“二倍图”，就是以这条线段为中位线的第三边，下图中点O关于线段的“二倍图”即为，此时是三角形的中位线， 由中位线定理可知：，即当长度不变时，的长度不变， ∴线段关于线段的“二倍图”就是线段平移产生的图形，这个图形是线段或者平行四边形， 如下图所示，图形为线段关于线段的“二倍图”是平行四边形， 其中点A关于线段的“二倍图”是，点B关于线段的“二倍图”是， 则C是的中点，设点G为， 又∵ ∴ 解得：，即， 同理可得：，，， ∴阴影部分面积等于长方形面积减去四个直角三角形的面积， 即图形的面积为：， 故答案为：12； 【小问3详解】 或，理由如下： 如下图所示：正方形的边长为2． 正方形关于正方形的“二倍图”如途中阴影部分所示，它是由一个与正方形共对角线的交点即点T且边长为6且各边都与坐标轴垂直或平行的正方形去除正方形的内部所得到的． 所以点T到阴影部分的外边界与x轴的交点的距离是3，到阴影部分的内边界与x轴的交点的距离是1， 要使得线段上任一点都为正方形关于正方形的“二倍点”，只需阴影部分包括线段即可． ①如图，当外边界与x轴的右交点是点A时， ， 所以， ②如图，当点与在线段上时， 将点，代入直线的解析式得：， 解得：， ③如图，当内边界与x轴的左交点是点A时， ， 所以， ④如图，当点B与在阴影部分的左边界线上时， 结合以上四种情况可知：的取值范围是：或． 【点睛】本题考查中位线定理，中点坐标公式，正方形的性质，割补法求面积，待定系数法，平行四边形的判定等知识，审清题意找出“二倍图”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $