北京市石景山区2025-2026学年高二年级下学期期末数学试题

**基本信息** 高二期末数学卷以汽车满意度调查、智慧园区巡检等现实情境为载体，通过基础题与探究题的梯度设计，考察数学抽象、逻辑推理与数学建模等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、命题否定、等比数列、概率|基础概念与运算结合，如第4题条件概率| |填空题|5/25|函数定义域、不等式、导数应用|第12题通过反例考察命题真假，培养批判性思维| |解答题|5/70|概率统计（16题）、函数极值（17题）、方案决策（18题）、导数综合（19题）、数列探究（20题）|18题以巡检方案为背景，融合概率期望与费用比较，体现数学应用；20题数列操作过程设计，发展创新意识与逻辑推理|

2025—2026学年第二学期高二期末试卷 数 学 本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。其中Ⅰ卷，共135分，共6页，Ⅱ卷15分。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡。 Ⅰ卷 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知集合，，则 A．≥ B． C． D． 2．命题“，≥”的否定是 A.， B.， C.，≥ D.，≥ 3．在等比数列中，，，则 A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 4．根据历年气象统计资料，可知某地四月份七级大风的概率为，既有七级大风又下雨的概率为，则该地四月份在有七级大风的条件下下雨的概率为 A. B. C. D. 5．已知点在函数的图象上，则的最大值为 A. B. C. D. 6．函数的部分对应值如表所示.数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，则的值为 1 2 3 4 3 1 2 4 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7．已知函数，，则 A. B. C. D. 8．已知数列满足，，则“”是“数列为等差数列”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．已知函数若有且只有个极值点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 10．已知数列是各项均为正数的无穷数列，前项和为满足.给出下列三个结论： ① ； ② 数列是等差数列； ③数列中存在无穷多项小于 其中正确结论的个数是 A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共95分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11.函数的定义域为 . 12．能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组实数的值依次为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13．已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，则不等式>0的解集为 ． 14．若数列是等差数列，，则 . 15. 已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是.给出下列四个结论： ① ； ② 若是对称中心，则极小值是； ③ ； ④ . 其中所有正确结论的序号是___________． 3、 解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．(本小题13分) 某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表： 汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 回访客户人数 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.5 0.6 0.3 0.2 满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等. （Ⅰ） 从所有的回访客户中随机抽取1人，求抽取的这位客户满意的概率； （Ⅱ） 若以样本的频率估计概率，从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望； 17．（本小题14分） 已知函数. （Ⅰ） 当时，求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）若函数在区间上取得最小值，求的值. 18．（本小题14分） 某智慧园区需要对3台设备进行巡检，现有以下两个方案： 方案一：采用智能机器人巡检，在第一轮巡检中，对3台设备逐一进行检测，在这3次检测中，可能成功，也可能失败，如果机器人成功检测2台或3台设备，则直接完成巡检，无需进行第二轮检测；如果机器人成功检测的设备少于2台，则进行第二轮巡检，第二轮巡检只需对第一轮未成功检测的设备再次逐一检测，无论第二轮检测结果如何都结束巡检，机器人每次成功检测每台设备的概率≤，且每台设备检测互不影响，每次检测也互不影响，每台设备检测一次的费用为18元。 方案二：采用人工巡检，对3台设备逐一进行检测，仅需巡检一轮即可完成，每台设备检测一次的费用为30元。 （Ⅰ）记机器人巡检结束时对所有设备检测的总次数为，求的数学期望（用表示）； （Ⅱ）如果以检测的平均总费用为决策依据，在方案一和方案二之中选其一，应选用哪个方案？ 19．(本小题15分) 已知函数 （Ⅰ） 求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ） 求证:当时，； （Ⅲ） 求的零点个数. 20．(本小题14分) 已知有穷数列≥，若数列中各项都是集合中的元素，则称该数列为数列.对于数列 ，定义如下操作过程：从中任取两项，将 的值添在数列的最后，然后删除,这样得到一个项的新数列(约定:一个数也视作数列). 若还是数列，可继续实施操作过程 ，得到的新数列记作，,如此经过次操作后得到的新数列记作. （Ⅰ）设请写出的所有可能的结果； （Ⅱ）求证：对于一个项的数列操作过程总可以进行次； 高二数学Ⅰ卷第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期高二期末 数学Ⅰ卷答案及评分参考 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A D C C A C B 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 题号 11 12 13 14 15 答案 −1,−2,−3（答案不唯一） ①③④ 3、 解答题：本大题共5个小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分) （Ⅰ）由题意知，样本中的回访客户的总数是， 满意的客户人数， 故所求概率为． …………4分 （Ⅱ）设事件为“从I型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”， 事件B为“从V型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A、B为独立事件. 根据题意，估计为0.5，估计为0.2 . 则; ; . 的分布列为 的期望 …………13分 17．（本小题14分） （1）当时，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以的递增区间，递减区间，极小值，无极大值 …………6分 （2） ①当时，，在单调递增， ，解得不满足，故舍去 ②当时，时，，单调递减 时，，单调递增 ， 解得，不满足，故舍去 ③当时，，在单调递减， ， 解得，满足 综上： …………14分 18．（本小题满分14分） （1）由题意得，， ， 所以， 所以． …………6分 （2）应选方案一，理由如下： 记为机器人巡检的检测总费用，为人工巡检的检测总费用， 由题意得，， 令， 则， 因为，所以，即在上单调递减， 所以， 所以， 故选用智能机器人巡检的检测平均总费用更低，应选方案一． …………14分 19．(本小题满分15分) （1）将代入可得，又， ，所以切线方程为，即． …………4分 （2）当时，，即证明当时，， 令，，则， 因为，有，所以当时，在上单调递减， 所以当时，，也即． …………9分 （3），令，再求导得， 因为，有，且，故，即在上单调递减， 又因为时，，，且单调递减， 可知在上有且仅有一个零点，其中， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 又因为，则，且时，，时，， 所以有2个零点， 综上，的零点个数为2． …………15分 20．(本小题满分14分) （1）直接按定义来操作，当取0，时代入计算可得：，； 当取0，时可得，； 当取，时，可得，． 故有如下的三种可能结果：，；，；，． …………4分 （2）因为对，，有 且 所以，即每次操作后新数列仍是数列． 又由于每次操作中都是增加一项，删除两项， 所以对数列每操作一次，项数就减少一项， 所以对项的数列可进行次操作（最后只剩下一项）. …………14分 （以上解答题，若用其它方法，请酌情给分） 高二数学Ⅰ卷答案第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $