精品解析：北京市石景山区2024-2025学年高二下学期期末数学试卷

石景山区2024—2025学年第二学期高二期末试卷 数学 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 2. 下列导数运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则逐个判断选项即可. 【详解】由基本初等函数的导数公式知，，， ，故ACD错误； 由求导法则及求导公数可知，，故B正确. 故选：B 3. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及函数的解析式，逐项判断即可得解. 【详解】A选项，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，A错误； B选项，的定义域为R，且， 故不是奇函数，故B错误； C选项，定义域为，关于原点对称，又，函数为奇函数， 由幂函数性质可得为减函数，故C正确； D选项，不是单调函数，如在上单调递增，故D错误. 故选：C 4. 在5道试题中有2道社会学题目和3道艺术学题目，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到社会学题目的条件下，第2次抽到艺术学题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果． 【详解】设事件 “第次抽到社会学题目”，事件 “第次抽到艺术学题目”， 所以，， 所以． 故选：D． 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式，显然， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 函数的大致图象为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的定义域、函数值的符号变化以及函数的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为， 当时，；当时，，排除B选项； 因为， 当或时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，故A正确. 故选：A. 7. 若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式求解即得. 【详解】在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为. 故选：D 8. 已知定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数单调性得的单调性，再比较出即可. 【详解】因为均是在上的单调增函数， 则在上也单调递增， 因为，，即，， 则，则，即， 故选：A. 9. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 10. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值． 【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为， 则，， 所以. 对于，， 取数列各项为(，, 则， 所以n的最大值为11． 故选：C． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中，的系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】代入二项展开式的通项公式即可求解 【详解】，令，则 故答案为： 12. 能说明“如果是等比数列，那么仍为等比数列”为假命题的的一个通项公式为_______． 【答案】an＝a×（﹣1）n．（a≠0） 【解析】 【分析】当{an}的公比为﹣1时，a，﹣a，a，﹣a，a，﹣a，…，（a≠0），{an}是等比数列，a1+a2，a3+a4，a5+a6不为等比数列． 【详解】解：当{an}的公比为﹣1时，a，﹣a，a，﹣a，a，﹣a，…，（a≠0）， {an}是等比数列，a1+a2，a3+a4，a5+a6不为等比数列． ∴“如果{an}是等比数列，那么a1+a2，a3+a4，a5+a6仍为等比数列” 为假命题的{an}的一个通项公式为：an＝a×（﹣1）n．（a≠0）． 故答案为an＝a×（﹣1）n．（a≠0）． 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13. 从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______． 【答案】18 【解析】 【详解】试题分析：分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有 =6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种； 2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有=6种；故共有3=18种，故答案为18． 考点：计数原理 点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键 14. 已知函数，则的定义域是________；的最小值是_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由函数的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域，化简，令，得到，结合基本不等式和对数函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为， 又由， 令，可得 令， 因为，当且仅当时，即时，即时取等号， 所以，所以，所以函数的最小值为. 故答案为：；. 15. 已知函数，为的导函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递增； ②在区间上有极小值； ③在区间上有两个零点. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①② 【解析】 【分析】根据导数及指数函数、余弦函数的性质可判断①，由函数的导数单调递增且有零点可判断函数有极小值从而②正确，利用导数判断的单调性，据此可判断零点个数从而判断③. 【详解】对①，，当时，， 所以，所以函数在区间上单调递增，故①正确； 对②，由在上单调递增知，在上单调递增， 又，所以由零点存定理知， 存在唯一零点，且时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上有极小值，故②正确； 对③，由②知在上单调递增，当时， 令，则，由可知 ，所以在上单调递增，又函数在上连续， 所以函数在上单调递增，故函数在上至多有1个零点，故③错误. 故答案为：①② 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）单调增区间为：和，单调递减区间为： （2）, 【解析】 【分析】(1)利用导数可求出函数的单调区间； (2)由（1）可得函数极值，比较区间端点的函数值与极值的大小可得结果. 【小问1详解】 ， 令，解得或， 所以当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数的单调增区间为：和，单调递减区间为：. 【小问2详解】 由（1）知，函数的极大值为，极小值为， 又， 所以在区间上的最大值和最小值分别为,. 17. 我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照分组，绘制成评分频率分布直方图，如下： （1）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于80分的学生有9人，求此次抽取的学生人数； （2）在测试评分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值a和评分的中位数b的大小关系．（直接写出结论） 【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为1；（3）． 【解析】 【分析】（1）先求出学生的测试评分不低于分的频率，再求出此次抽取的学生人数； （2）先求出学生的测试评分不低于分的名学生中，评分在的有人，在的有人，所以的可能取值为0，1，2，3．再求出对应的概率，即得X的分布列和数学期望； （3）观察频率分布直方图，直接写出结论. 【详解】解：（1）由图知，学生的测试评分不低于分的频率． 设抽取学生人数为， 所以．解得． 所以此次抽取的学生人数为． （2）由图知，学生的测试评分在的频率，在的频率 所以，． 所以学生的测试评分不低于分的名学生中，评分在的有人，在的有人， 所以的可能取值为0，1，2，3． ；； ；． 所以的分布列为 3 所以的数学期望． （3）． 【点睛】方法点睛：求随机变量的分布列一般分三步：（1）求随机变量的取值；（2）求随机变量对应的概率；（3）列表得到分布列. 18. 已知数列满足，，数列满足，且是公差为2的等差数列． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求的前n项和． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的通项公式，转化求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）利用分组求和法求{bn}的前n项和Sn即可． 【详解】解：（Ⅰ）由，，是首项为，公比为的等比数列.所以． 因为，所以是首项为，公差为的等差数列． 可得．所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，． 数列的前项和为 . 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的应用，考查分组求和法，是基本知识的考查． 19. 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有个白球、个黑球；乙箱子里装有个白球、个黑球.这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个球，若摸出的白球不少于个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱） （I）求在一次游戏中， （i）摸出个白球的概率；（ii）获奖的概率； （II）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 【答案】（I）（i）；（ii）；（II）见解析 【解析】 【分析】（I）（i）摸出三个白球说明甲箱子取个白球，乙箱子取个白球，个黑球，根据古典概型概率公式求得结果；（ii）获奖的情况包括摸出个白球或个白球，根据和事件的概率公式，结合古典概型求得结果；（II）确定所有可能的取值，可知，利用二项分布概率公式计算得到每个取值对应的概率，从而得到分布列；再利用二项分布数学期望计算公式求得. 【详解】（I）记“在一次游戏中摸出个白球”为事件， （i），即摸出个白球的概率为： （ii） 即获奖概率为： （II）由题意可知，所有可能的取值为：，且 则；； 的分布列如下： 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、和事件概率的求解问题、服从于二项分布的随机变量的分布列与数学期望的求解，是对概率部分知识的综合考查，属于常考题型. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）设实数使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义计算即可得； （2）构造函数，求导研究单调性即可得； （3）分类讨论，当时，由（2）可得此时符合要求，当时，构造函数，结合导数研究单调性可得不符，当时，结合导数单调性可得亦不符. 【小问1详解】 ，故， 又，故有， 即，故切线方程为； 【小问2详解】 令， 则， 由，故，故在上单调递减， 所以， 即当时，； 【小问3详解】 当时，， 由（2）知，当时，， 所以当时，对恒成立； 当时，令， ， 当时，因为，所以，在上单调递增， ，不合题意， 当时，得， 当时，，时，， 所以在上单调递增，则时，，不合题意， 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题最后一问关键点在于根据的范围分类讨论，从而结合单调性研究函数最值得到结果. 21. 设为无穷数列，如果对于任意，都有，则称数列具有性质P. （1）判断下列两个数列是否具有性质P；（结论不需要证明） ①等差数列A：5，3，1…；②等比数列B：1，2，4，…； （2）已知数列具有性质P，，，且由该数列所有项组成的集合，求的通项公式. 【答案】（1）数列具有性质；数列不具有性质 （2）或 【解析】 【分析】（1）性质即，通过代入验证即可判断； （2）通过转化得到数列：，，，⋯，是等差数列且公差，数列：，，，⋯，，是等差数列且公差，进而分类讨论的正负情况进而求解的通项公式； 【小问1详解】 由题意知，数列通项公式为，满足，所以数列具有性质； 数列中，代入，，所以不满足， 所以数列不具有性质. 【小问2详解】 由数列具有性质，得， 所以，即， 所以数列：，，，，，是等差数列．           又因为，，所以数列的公差， 同理，得数列：，，，⋯，，是等差数列，公差．           ①若且，则数列最小项是，数列的最小项是， 所以数列的最小项为1，这与矛盾； ②若且，同理，得的最大项为2，这与矛盾；           ③若且，则为递减数列，为递增数列． 由，得3为数列中的项， 所以只能是，且； 同理，可得0为数列中的项， 所以只能，． 此时，的通项公式为．           ④若，，类似③的讨论可得，． 此时，的通项公式为． 综上，的通项公式为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石景山区2024—2025学年第二学期高二期末试卷 数学 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A. B. C. D. 4. 在5道试题中有2道社会学题目和3道艺术学题目，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到社会学题目的条件下，第2次抽到艺术学题目的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的大致图象为（ ）. A B. C. D. 7. 若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 10. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中，的系数是__________． 12. 能说明“如果是等比数列，那么仍为等比数列”为假命题的的一个通项公式为_______． 13. 从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______． 14. 已知函数，则的定义域是________；的最小值是_______. 15. 已知函数，为的导函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递增； ②在区间上有极小值； ③在区间上有两个零点. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上最大值和最小值. 17. 我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照分组，绘制成评分频率分布直方图，如下： （1）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于80分的学生有9人，求此次抽取的学生人数； （2）在测试评分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值a和评分的中位数b的大小关系．（直接写出结论） 18. 已知数列满足，，数列满足，且是公差为2的等差数列． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求的前n项和． 19. 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有个白球、个黑球；乙箱子里装有个白球、个黑球.这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个球，若摸出的白球不少于个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱） （I）求在一次游戏中， （i）摸出个白球的概率；（ii）获奖的概率； （II）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）设实数使得对恒成立，求的取值范围． 21. 设为无穷数列，如果对于任意，都有，则称数列具有性质P. （1）判断下列两个数列是否具有性质P；（结论不需要证明） ①等差数列A：5，3，1…；②等比数列B：1，2，4，…； （2）已知数列具有性质P，，，且由该数列所有项组成的集合，求的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$