精品解析：福建省福州第四中学2024-2025学年第二学期第二学段试卷高二数学

福州四中2024-2025学年第二学期第二学段试卷 高二数学 一、单选题：（每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知复数（为虚数单位），是的共轭复数，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，记函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，是对角线的交点，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正三角形的边长为2，点满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 6. 已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间内没有零点，则周期的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分） 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 若方程有三个实根，则或 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 已知变量x和变量y，根据最小二乘法估计得到成对数据组的经验回归方程，成对数据组的经验回归方程，记，则（ ） （参考公式，对于一组成对数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：） A. 直线经过点 B. 直线不经过点 C. D. 三、填空题：（每题5分，共15分） 12. 在的展开式中项的系数为______（用数字作答） 13. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为______． 14. 已知不共线的向量，，，满足，，，则的最小值为______． 四、解答题：（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角的对边分别为的面积为． （1）求A； （2）若，且的周长为5，设为边中点，求． 16. 为了解不同年龄的游客对上下杭景区的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本，每位参与调查的游客都对上下杭景区给出满意或不满意的评价．设事件“游客对上下杭景区满意”，事件“游客年龄不超过35周岁”，据统计，，． （1）根据已知条件，填写下列列联表并说明理由； 年龄 满意 不满意 合计 年龄不超过35周岁 200 年龄超过35周岁 200 合计 400 （2）由（1）中列联表数据，根据小概率值的独立性检验，能否认为游客对“上下杭景区”的满意度与年龄有关联？ 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 已知数列的前项和为，且满足． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场12次，其中球队获胜6次；中锋位置出场24次，其中球队获胜16次；后卫位置出场24次，其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率，则： （1）甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率； （2）为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行10场热身赛，比赛没有平局，获胜得1分，失败得0分.已知Ⅰ队在每场比赛中获胜的概率是p（），若比赛最有可能的比分是7∶3，求p的取值范围； （3）现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共6支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若每场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜3场的条件下，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线的斜率； （2）若，讨论的单调性； （3）若，且时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州四中2024-2025学年第二学期第二学段试卷 高二数学 一、单选题：（每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知复数（为虚数单位），是的共轭复数，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共轭复数的概念、复数的乘法及加法运算、求复数的模、直接计算即可． 【详解】， 故选：C． 2. 已知随机变量服从正态分布，记函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解． 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以该正态分布曲线的对称轴为，， 所以函数是单调递增函数，则，故ABC错误； 又，所以，故D正确； 故选：D． 3. 在平行四边形中，是对角线的交点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为， 所以 4. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角公式化简求值. 【详解】因为， 所以 . 故选：D. 5. 已知正三角形的边长为2，点满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得的表达式，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为，所以， ， 故选：C 6. 已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式，结合等差数列的性质及通项公式逐项求解判断. 【详解】对于A，，则，A不是； 对于B，设等差数列的公差为，，B不是； 对于D，，则，D不是； 对于C，，而值不确定， 因此不确定，C是. 故选：C 7. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的解析式，运用直接法判断函数在上的单调性，排除C，D；再运用求导判断函数在上的单调性，排除B项即可. 【详解】对于，当时，，因和在上都是减函数， 故在上单调递减，故排除C，D； 当时，，， 因， 则在上单调递增，排除B． 故选：A. 8. 已知函数在区间内没有零点，则周期的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的零点求出零点的表达式，结合已知条件，求出的最大值，从而可求周期的最小值． 【详解】， 令得，所以，， 因为在区间内没有零点， 所以，只需且，解得， 令得，得， 因为，所以的取值范围， 所以周期的最小值是， 故选：． 二、多选题：（每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分） 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量的线性运算、平行以及垂直的坐标表示可判断ABC，由投影向量的定义可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于BC，由于，，故B错误，C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 若方程有三个实根，则或 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】有两个极值点，所以选项A正确；得，所以选项B错误；函数满足，所以选项C正确；直线是曲线在点处得切线，所以选项D正确. 【详解】解：由解得，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极值，所以函数有两个极值点，所以选项A正确； 由选项A可知，若方程有三个实根，需要a的取值介于两个极值点之间，即，即，所以选项B错误； 计算得，则点是曲线的对称中心，所以选项C正确； 当时，解得，而，所以直线是曲线在点处得切线，所以选项D正确. 故选：ACD． 11. 已知变量x和变量y，根据最小二乘法估计得到成对数据组的经验回归方程，成对数据组的经验回归方程，记，则（ ） （参考公式，对于一组成对数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：） A. 直线经过点 B. 直线不经过点 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据回归方程的性质判断选择即可. 【详解】根据回归方程的性质得出直线经过点样本中心点，A选项正确； 直线直线经过点样本中心点，B选项错误； 由题意，，，两组数据的也无变化， ， ，C正确； ，D错误. 故选：AC. 三、填空题：（每题5分，共15分） 12. 在的展开式中项的系数为______（用数字作答） 【答案】80 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】的通项为， 令，则， 故项的系数为. 故答案为：80 13. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故的取值范围为． 14. 已知不共线的向量，，，满足，，，则的最小值为______． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】由题意，根据平面向量数量积的运算律可得，设，，进而知点C在直线上，点B在直线上，结合计算即可求解. 【详解】由，得， 即，又， 整理得. 设，则， 设，则， 所以，即点C在直线上； 设，由，得，即点B在直线上， 而的几何意义为直线上的点B到直线上的点C的距离， 所以， 即的最小值为. 四、解答题：（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角的对边分别为的面积为． （1）求A； （2）若，且的周长为5，设为边中点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）根据三角形的周长，结合余弦定理求出，再向量化即可得解． 【小问1详解】 依题意，， 所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； 【小问2详解】 依题意，， 因为，解得， 因为， 所以， 所以． 16. 为了解不同年龄的游客对上下杭景区的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本，每位参与调查的游客都对上下杭景区给出满意或不满意的评价．设事件“游客对上下杭景区满意”，事件“游客年龄不超过35周岁”，据统计，，． （1）根据已知条件，填写下列列联表并说明理由； 年龄 满意 不满意 合计 年龄不超过35周岁 200 年龄超过35周岁 200 合计 400 （2）由（1）中列联表数据，根据小概率值的独立性检验，能否认为游客对“上下杭景区”的满意度与年龄有关联？ 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） 因为，所以不超过35周岁的人中，对上下杭景区满意的有人， 又因为，所以对上下杭景区满意的有人， 所以对上下杭景区满意的人中超过35周岁的有人， 由此完成列联表如下： 年龄 满意 不满意 合计 年龄不超过35周岁 160 40 200 年龄超过35周岁 140 60 200 合计 300 100 400 （2）认为年龄与满意度没有关联． 【解析】 【分析】（1）根据题意，可求出不超过35岁的人中，对上下杭景区满意和不满意的人数；以及超过35岁的人中，对上下杭景区满意和不满意的人数，即可完成2×2列联表. （2）根据题意，计算卡方值，与临界值比较即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 零假设：游客对上下杭景区的满意度与年龄没有关联， 由， 依据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即认为年龄与满意度没有关联． 17. 已知数列的前项和为，且满足． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）详见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，可得，再根据等比数列定义以及通项公式即得； （2）利用错位相减法即得. 【小问1详解】 当时，，则， 因为，， 所以，即， 于是又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以， 18. 某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场12次，其中球队获胜6次；中锋位置出场24次，其中球队获胜16次；后卫位置出场24次，其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率，则： （1）甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率； （2）为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行10场热身赛，比赛没有平局，获胜得1分，失败得0分.已知Ⅰ队在每场比赛中获胜的概率是p（），若比赛最有可能的比分是7∶3，求p的取值范围； （3）现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共6支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若每场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜3场的条件下，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）由二项分布的概率公式，根据概率最大，即可列式求解p的取值范围； （3）先分别求出Ⅰ队获胜场的概率，再由条件概率求得X的分布列，进而得到X的数学期望. 【小问1详解】 设“甲担任前锋”；“甲担任中锋”；“甲担任后卫”； “某场比赛中该球队获胜”. 则：，，， ，，， 由全概率公式可得： ， 所以甲参加比赛时，Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率是. 【小问2详解】 设这10场比赛，Ⅰ队获胜的场数是k，则P（Ⅰ队获胜k场）， 由题意，时，P（Ⅰ队获胜k场）最大， 所以有，解得， 所以p的取值范围为. 【小问3详解】 由题意，Ⅰ队一共需要打5场比赛， 设“5场比赛中Ⅰ队获胜i场”（，4，5），“5场比赛中Ⅰ队至少获胜3场”， ；； ，则， ， 同理可得， ， 则X的分布列为： X 3 4 5 P . 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线的斜率； （2）若，讨论的单调性； （3）若，且时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先依据和的图象过点求出参数值，进而求出函数解析式，接着求出导函数，根据导数几何意义再求出即可得解. （2）根据函数的导函数对参数进行分类讨论得出导函数的正负情况即可得解. （3）恒成立等价于，所以对a进行分类讨论研究函数的导函数情况，从而求得函数的单调性和最小值情况即可得解. 【小问1详解】 因为，，所以， 又因为函数的图象过点， 所以， 即，故，解得， 所以，故， 即曲线在点处的切线的斜率为. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 当时，，在区间R上单调递增； 当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增. 综上：当时，在区间R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 设，则， 所以，时，所以在上单调递增，且； ①当时，，即， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，所以符合题意， . ②当时，又在上单调递增，且， 当时，， ，使得， ，，即，所以在上单调递减； ，，即，所以在上单调递增， 所以，所以不合题意. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究恒成立求参问题通常转化成研究函数最值问题，恒成立等价于，故可用导数工具结合分类讨论法研究函数的单调性，从而求得函数的最小值，判断是否满足即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $