精品解析：福建省龙岩市2025-2026学年高二下学期7月期末监测数学试题

2025～2026学年第二学期高二期末监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导后代入计算即可得. 【详解】，则. 2. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由散点图的趋势可知且接近1，，与绝对值较小， 所以最大. 3. 从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中恰有2名男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，所选3人中恰有2名男生的概率为. 4. 若随机变量且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【详解】由，则， 而，则， 所以. 5. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，D是弧的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，平面，，， 故可将其补形为如图的长方体， 因为平面，平面，所以， 因为，所以异面直线与所成角为， 设，则， 则，则， 故异面直线与所成角的大小为 6. 设函数，若在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数结合分段函数单调性求出的范围. 【详解】函数，函数在上单调递增， 由函数在R上单调递增，得函数在上单调递增，且， 则，恒成立，且， 而当时，，因此，且， 所以实数a的取值范围是. 7. 在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设点坐标，利用可得点Q坐标，从而可以计算的值. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. . 又因为，，， 所以 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 因为点在平面上，所以， 即，解得. 所以. 8. 已知函数．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，求导判断函数单调性，比较自变量大小，利用单调性比较函数值； 【详解】因为，所以是偶函数， 因此， 求导，当时：， 令，则，在单调递增， ，可得，故 又时，，故，所以在单调递增， 对取对数得，令，求导得， 当时，单调递增；当时，单调递减； 因为，计算得， 所以，即 因为在单调递增，所以，即， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，曲线在处的切线方程为 B. 若有且只有两个零点，则a的取值范围是 C. 当时，在区间上的最大值为1 D. 对任意，曲线上总存在两条切线，使得它们的斜率互为相反数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由导数的意义可得A；转化为函数交点问题可得B；求导分析单调性可判断C；利用导数的意义结合对数的运算性质可得D. 【详解】对于A，当时，，， 所以，切线方程为，故A正确； 对于B，若有且只有两个零点，等价于方程有两个正实根，即与有两个交点， ，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 且当时，，当时，， 即函数在处取得最小值为1，依题意，可得,故B正确； 对于C，当时，，， 令，由可得,由可得, 所以在上单调递减，在区间上无最值，故C错误； 对于D，若对任意，曲线上总存在两条切线，使得它们的斜率互为相反数， 则存在，使得，即， 整理可得， 由于，由等号两边数值的连续性可得命题成立，故D正确. 11. 甲盒与乙盒中，初始时均装有大小、质地一样的1个白球和2个黑球．规定一次操作为：从甲盒中随机取出1个球，同时从乙盒中随机取出1个球，将取出的两个球交换放入对方盒中．按此规则重复进行次操作后，甲盒中恰有0个白球，1个白球，2个白球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A：借助相互独立事件的概率公式计算即可得；对B：借助贝叶斯公式计算即可得；对C：借助全概率公式可得，则可计算出，再利用对立事件概率公式计算即可得解；对D：借助概率公式计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B： ，故B正确； 对C：由题意可得， 则 ， 由，则，， 则，故C正确； 对D：，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，则__________． 【答案】16 【解析】 【详解】由随机变量，得， 所以. 13. 已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由，，， 则， 因为是锐角， 所以，且不共线， 则，解得且， 则实数a的取值范围为. 14. 已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由外接球表面积求出半径，设球心到底面距离为，由三角函数关系解出底面三角形面积，由此可确定正三棱锥体积关于的函数关系. 【详解】因为，所以正三棱锥外接球半径， 正三棱锥如图所示，设外接球圆心为，过向底面作垂线垂足为， 因为是正三棱锥，所以是的中心， 所以，, 又因为，所以 ， 所以， 令， 解得 所以在递增，在递减， 故当时，取最大值，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某教育科技公司为了解学生对线上学习工具的使用情况，同时分析工具的周活跃用户变化趋势，随机调查了80名学生，列联表数据如下： 不活跃 活跃 合计 初中生 16 24 40 高中生 4 36 40 合计 20 60 80 （1）根据调查结果回答：是否有99.5％的把握认为使用线上学习工具的活跃度与学段有关？ （2）下表为该工具上线前5周的周活跃用户数（单位：万人）： 周代码x 1 2 3 4 5 活跃用户y 41 36 30 24 19 求y关于x的线性回归方程． 附：①，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ②在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，，，，． 【答案】（1）有99.5％的把握认为使用线上学习工具的活跃度与学段有关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算卡方后与标准值对比可得； （2）利用最小二乘公式计算可得. 【小问1详解】 假设：认为使用线上学习工具的频率与学段无关． 由列联表中的数据，可得 因为，故否定假设， 所以有99.5％的把握认为使用线上学习工具的活跃度与学段有关． 【小问2详解】 由前5周的活跃用户数，可得 ，， 又，， 所以， 则， 故所求的线性回归方程为． 16. 已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，的单调递减区间是； 当时，单调递减区间是，单调递增区间是； （2） 【解析】 【分析】（1）先求导得到，分、两种情况，依据导函数的正负判断原函数的单调性，进而划分出单调区间； （2）法1：借助 (1) 得到的单调性结论，分、、三类讨论：举反例推翻，直接验证成立，求出函数最小值并令最小值解出的范围，最终整合得到取值范围；法2：对、、分类参数分离构造函数，通过求导分析单调性得到不同区间下的最值与极限情况，从而求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得， 当时，，函数在R上单调递减． 当时，令，得， 因在R上单调递增， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述：当时，的单调递减区间是； 当时，单调递减区间是，单调递增区间是； 【小问2详解】 法1：当时，由（1）知在R上单调递减， ，与恒成立矛盾． 当时，恒成立． 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为， 令，得． 综上，实数a的取值范围是． 法2：由恒成立，得． 当时，恒成立． 当时，由恒成立，可得恒成立； 当时，由恒成立，可得恒成立； 设，则， 令得，故当时，，在上单调递减， 故当或时，，在，上单调递增， 所以当时，的最小值为，此时． 当时，，且当时，，此时 综上，a的取值范围是． 17. 如图，在正三棱柱中，M为线段的中点，N为线段上的动点． （1）求证：； （2）若，，二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）连接， 在正三棱柱中，为等边三角形， 又因为M为的中点，所以． 又因为平面，平面，所以 又因为，，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则由等边三角形的性可得，再由正三棱柱的性质得，然后由线面垂直的判定可得平面，最后由线面垂直的性质可证得结论； （2）如图建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为的中点， 由（1）知，，， 如图，以M为原点，以，，的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 因为，，设，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 由已知得，，， 所以的中点， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 因为二面角的余弦值为， 所以， 化简得，解得，， 因为，所以， 所以平面的一个法向量为，， 又，所以， 所以点到平面的距离， 所以点到平面的距离为． 18. 某校为庆祝建校百年，组织数理化知识竞赛．题库中数学、物理、化学占比分别为，，．甲同学从中任选一道题作答，设回答正确的概率为p． （1）若甲同学回答数学、物理、化学这三类题中每道题的正确率分别为，，． （ⅰ）求p； （ⅱ）若甲同学从这三类题中各任选一道题作答，回答正确得3分，回答错误得分．用X表示该同学回答三道题后的总得分，求X的分布列及数学期望； （2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于n道，即可获得奖励．若时获奖的可能性比时大，求p的取值范围，并说明理由． 【答案】（1）（ⅰ） （ⅱ） X 1 5 9 P ． （2），理由如下： 当时，Y为答对题目的数量，由题意可知， 故当时，获得奖励的概率， 当时，获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8道题答对题目的数量大于等于5， ②前8道题答对题目的数量等于4，且最后2道题至少答对1道题， ③前8道题答对题目的数量等于3，且最后2道题全部答对， 故当时，获得奖励的概率， 所以 ， 因为，所以，即， 所以． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）由全概率公式代入数据求解即可；（ⅱ）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解； （2）结合二项分布，求得和时获奖概率，再通过作差法求解即可. 【小问1详解】 （ⅰ）设“甲同学所选的题目回答正确”， “所选的题目为数学相关知识的题目”， “所选的题目为物理相关知识的题目”， “所选的题目为化学相关知识的题目”， 则，且，，两两互斥． 根据题意得，，， ，，， 则 ， 所以甲同学在该题库中任选一道题作答，他回答正确的概率为， 即． （ⅱ）的可能取值为，1，5，9， ， ， ， ， 则X的分布列为： X 1 5 9 P 所以． 【小问2详解】 略 19. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值； （2）已知，记为的导函数，，若存在两个极值点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）已知，求的取值范围． 【答案】（1），． （2）（ⅰ）法1：当时，，求导得． 因有两个极值点，， 故方程有两个正实根，因此，解得． 因是方程的根，故． 由，又因为，则． 将代入，得． 要证，即证， 即证，即证， 令，，则， 在上单调递增， 故，即． 法2：当时，，求导得． 因有两个极值点，，故方程有两个正实根， 因此，解得． 因为， 又，所以， 因为在单调递减， 所以， 所以． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域，利用乘积求导法则求出导函数，再结合切点的函数值与切线斜率列出关于的方程组，联立求解得到参数的值； （2）（i）两种方法均先由极值点条件得到含参二次方程根的范围推出与，法 1 通过根代换消去构造单变量函数，利用单调性证明；法 2 先证，结合区间单调性放缩至，代入直接证得不等式；（ii）设比值换元，结合韦达定理用表示，将转化为关于的函数，两次构造辅助函数求导判断单调性，再利用已知不等式直接推出，得到的取值范围. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为， 求导得． 由题意，切点为，切线斜率为e． 所以， ， 解得，． 【小问2详解】 （ⅰ）略； （ⅱ）令，由，得，， 故． ． 令，，． 令，则，在上单调递增， 故，，在上单调递增． 已知，故， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期高二期末监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是（ ） A. B. C. D. 3. 从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中恰有2名男生的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若随机变量且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 5. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，D是弧的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，曲线在处的切线方程为 B. 若有且只有两个零点，则a的取值范围是 C. 当时，在区间上的最大值为1 D. 对任意，曲线上总存在两条切线，使得它们的斜率互为相反数 11. 甲盒与乙盒中，初始时均装有大小、质地一样的1个白球和2个黑球．规定一次操作为：从甲盒中随机取出1个球，同时从乙盒中随机取出1个球，将取出的两个球交换放入对方盒中．按此规则重复进行次操作后，甲盒中恰有0个白球，1个白球，2个白球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，则__________． 13. 已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 14. 已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某教育科技公司为了解学生对线上学习工具的使用情况，同时分析工具的周活跃用户变化趋势，随机调查了80名学生，列联表数据如下： 不活跃 活跃 合计 初中生 16 24 40 高中生 4 36 40 合计 20 60 80 （1）根据调查结果回答：是否有99.5％的把握认为使用线上学习工具的活跃度与学段有关？ （2）下表为该工具上线前5周的周活跃用户数（单位：万人）： 周代码x 1 2 3 4 5 活跃用户y 41 36 30 24 19 求y关于x的线性回归方程． 附：①，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ②在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，，，，． 16. 已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求a的取值范围． 17. 如图，在正三棱柱中，M为线段的中点，N为线段上的动点． （1）求证：； （2）若，，二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 18. 某校为庆祝建校百年，组织数理化知识竞赛．题库中数学、物理、化学占比分别为，，．甲同学从中任选一道题作答，设回答正确的概率为p． （1）若甲同学回答数学、物理、化学这三类题中每道题的正确率分别为，，． （ⅰ）求p； （ⅱ）若甲同学从这三类题中各任选一道题作答，回答正确得3分，回答错误得分．用X表示该同学回答三道题后的总得分，求X的分布列及数学期望； （2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于n道，即可获得奖励．若时获奖的可能性比时大，求p的取值范围，并说明理由． 19. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值； （2）已知，记为的导函数，，若存在两个极值点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）已知，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $