精品解析：北京市房山区2025-2026学年下学期八年级期末数学试题

2025-2026学年度第二学期期末考试（二） 八年级数学 本试卷共8页，满分100分，考试时长120分钟 考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意． 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标是（－3，2）． 故选B． 【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 3. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题通过计算一元二次方程的判别式的值，根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， 根据判别式的意义，当时，方程有两个相等的实数根， ∴该方程有两个相等的实数根． 4. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察函数图象，确定两直线交点的横坐标，根据不等式的几何意义，找出直线在直线下方时对应的的取值范围即可求解． 【详解】解：由图象可知，一次函数与的交点的横坐标为 ∵不等式表示直线的图象在直线的图象下方 ∴观察图象可知，当时，直线在直线的下方 关于的不等式的解集是 故选：B． 5. 根据中国汽车工业协会发布的数据，近年我国新能源汽车销量呈现高速增长态势，据统计，年新能源汽车销量为万辆，到年新能源汽车销量为万辆，若这两年新能源汽车销量的年平均增长率相同，求该新能源汽车销量的年平均增长率是多少？设该新能源汽车销量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题中年新能源汽车销量未知，且这两年新能源汽车销量的年平均增长率相同，用平均增长率乘年新能源汽车销量，再加上年新能源汽车销量，即为年新能源汽车销量，以此推导出年新能源汽车销量关于年平均增长率x的方程． 【详解】解：设该新能源汽车销量的年平均增长率为x， 年新能源汽车销量为万辆， 年新能源汽车销量为万辆， 年新能源汽车销量为万辆，即万辆， 已知年新能源汽车销量为万辆， 可列方程为． 6. 某校八年级（1）、（2）两班恰各有20名男生，他们身高（单位：cm）的箱线图如图所示，下面说法正确的是（） A. 八年级（1）班男生身高的下四分位数为145 B. 八年级（1）班男生身高的中位数大于八年级（2）班男生身高的中位数 C. 八年级（2）班男生身高的上四分位数大于八年级（1）班男生身高的上四分位数 D. 八年级（2）班男生身高比八年级（1）班男生身高更集中 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图读取两班身高的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数及最大值，通过对比数据的集中趋势和离散程度进行判断． 【详解】解：由箱线图可知：八年级（1）班：下四分位数为，中位数为，上四分位数为，极差为． 八年级（2）班：下四分位数为，中位数为，上四分位数为，极差为． 1班下四分位数为，A错误； 两班中位数均为，B错误； 2班上四分位数班上四分位数，C错误； 2班的极差及四分位距均小于1班，数据波动更小，2班身高数据更集中，D正确． 7. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及解一元一次不等式．根据图象得出 及是解题的关键．将代入不等式，利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象经过点，且随的增大而减小 ，即，且 关于的不等式为 将代入不等式，得： ． 8. 房山区某中学学生参加校外实践活动，实践活动基地分为综合展厅与户外体验区，小静和小雅结伴参加实践活动．小静先在综合展厅参观，随后骑基地共享单车前往户外体验区；小雅搭乘基地摆渡车，从基地门口站台出发，途经综合展厅去往户外体验区．已知基地门口站台、综合展厅、户外体验区在同一条道路上．下图是两人分别距综合展厅的路程（单位：）与时间（单位：）的函数图象，给出下面三个结论：①当时两人相距；②当时两人相距；③当时两人相距；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ③ B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】考查一次函数的实际应用，解题思路是先根据图象得到两人的运动速度和位置坐标，再计算不同时间下两人的距离，逐一判断结论正确性． 【详解】解：由图象可得：从基地门口到综合展厅相距，从综合展厅到户外体验区距离， 小雅从基地门口匀速开往户外体验区，总路程，总时间， 因此速度为， 小静从综合展厅匀速出发开往户外，总路程，总时间， 因此速度为， ①当时，两人相距，①错误．； ②当时，，②错误．； ③当时，，③正确． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 10. 一元二次方程的根是_______． 【答案】，##， 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 11. 已知，一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系、函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 先根据一次函数过点的坐标确定常数项，再结合函数的增减性确定的取值范围，最后选取符合条件的值得到函数关系式． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 当时，，代入得， ∵ 随的增大而减小， ∴ ， 取，则函数关系式为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图是甲、乙两家快递公司一周的业务量的折线统计图．观察图形，若甲、乙两家公司这一周的业务量的方差分别是和，则__________（填“>”，“<”或“=”），可知业务量更稳定的是__________（填“甲”或“乙”）． 【答案】 ①. ②. 乙 【解析】 【分析】观察折线统计图，比较甲、乙两组数据的离散程度，根据方差的意义：方差越小，数据越稳定，即可得出结论． 【详解】解：由折线统计图可知，甲公司业务量的折线起伏较大，数据波动较大，乙公司业务量的折线起伏较小，数据波动较小． 因为方差是用来衡量一组数据波动大小的量，数据波动越大，方差越大，数据波动越小，方差越小． 所以． 因为乙公司业务量的方差较小，所以乙公司的业务量更稳定． 13. 如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形． 14. 如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理及平行线的判定，先根据垂直定义得到，结合点是的中点，利用三角形中位线定理求出的长及点是的中点，再利用勾股定理求出的长，进而得到的长，最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：，  ，  点是斜边的中点，  ∴ ，  ∴ 是的中位线，  ，点是的中点， 在中，，， 由勾股定理得：，  ， 在中，由勾股定理得：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为．若直线和直线被正方形的边所截得的线段长度相等，请写出与满足的数量关系__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，当，时有，求得点B坐标，进而得到点N坐标，代入可得满足的关系． 【详解】解：直线和直线被正方形的边所截得的线段分别为、，如图， 根据题意，当，，又， ∴， ∴， ∵对于直线当时，，即，则 当时，，即，则 ∴，， ∵点的坐标为，， ∴， ∴，代入中，得， ∴． 16. 某学校有一块边长为20米的菱形草坪，其中．计划在草坪内部安装一处景观喷泉，要从草坪，，三个顶点处向喷泉铺设引水管道，则三段管道总长的最小值为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质和已知角度判定与均为等边三角形，利用旋转变换将转化为连接两定点的折线段，根据两点之间线段最短确定最小值为线段的长，最后结合菱形对角线性质与勾股定理求解 【详解】解：连接，交于点，   四边形是菱形，，  ，，  和均为等边三角形 ， ， ， 将绕点顺时针旋转得到，连接，   ， ，， ， 是等边三角形 ，  ，  ， 根据两点之间线段最短可知，当，，，四点共线时，取得最小值，最小值为线段的长 ，  四边形是菱形，  ，， ， 在中，，   ，  三段管道总长的最小值为米． 三、解答题（共68分，第17题8分；18-24，26题每题5分；第25题6分；第27，28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）将方程移项后，利用平方根的性质直接开平方即可求解． （2）将方程左边因式分解，把一元二次方程转化为两个一元一次方程即可求解． 【小问1详解】 解： 移项，得 开平方，得 即，． 【小问2详解】 解： 对原方程左边因式分解，得 ∴或 解得，． 18. 用配方法解方程． 【答案】 【解析】 【分析】等式两边均加4，利用完全平方公式求解，即可得到答案． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程，从而得到答案． 19. 如图，在中，平分．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出，再结合平分线即可得出，进而得出结论． 【详解】略 【点睛】此题考查平行四边形性质和菱形的判定定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 20. 已知一次函数的图象与直线平行，且过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）画出这个一次函数的图象． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两直线平行时一次函数的一次项系数相等求出k的值，再将已知点代入解析式求出b，即可得到一次函数表达式； （2）画图象时利用两点法，找到直线上两个点后描点连线即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴，即一次函数解析式为， ∵该函数图象过点， 将代入 得， 解得， ∴这个一次函数的表达式为． 【小问2详解】 略 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根互为相反数，求的值． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程根的判别式 展开化简得 ∵任意实数的平方为非负数 ∴，即 ∴该方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有两个实数根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和，结合互为相反数的两数和为，列方程求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为 由一元二次方程根与系数的关系可得 ∵两个实数根互为相反数 ∴，即 解得． 22. 下面是证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．按以下两种方法完成证明． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，点是斜边的中点．求证：． （1）方法一 证明：如图，延长到点，使，连接，． （2）方法二 证明：如图，分别取，的中点，，连接，， 【答案】（1）证明：∵点是斜边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵点，，是，，的中点， ∴、、都是的中位线， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【解析】 【分析】（1）容易证明，则，，从而判断出，结合可证明四边形是矩形，因此； （2）容易判断、、都是的中位线，则，，，结合可证明四边形是矩形，因此． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在四边形中，，是的中点，，交于点，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得，然后利用勾股定理可得的长，根据线段中点的定义即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）已证：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）已得：是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵是的中点， ∴． 24. 为营造书香校园氛围，某学校举办经典读书文化节，计划在一块长，宽的展示板上，展出4幅形状相同，面积均为的经典名著海报，若展示板外沿与海报之间、相邻海报之间间隔的宽度均相同，间隔的宽度应是多少？ 【答案】 【解析】 【详解】解：设海报长为，海报宽为，间隔的宽度为，则由题意可列方程组， 用，得， 即， 代入，得， （舍去负值）， 再代入中，可求得， 答：间隔的宽度应是． 25. 某学校组织数学竞赛，对A，B两个班级各20名学生进行了测试，对测试成绩（百分制）进行了整理分析，下面给出了部分信息． a．A班测试成绩的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．B班测试成绩如下： 69，69，70，70，71，73，77，78，80，81， 82，82，82，82，83，83，83，86，91，96． c．A班，B班测试成绩的平均数、众数、中位数如表： 平均数 众数 中位数 A班 79.6 77 B班 79.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为________，的值为_______，________（填“”“”或“”）； （2）补全频数分布直方图； （3）为了选出参赛种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，如果平均数相同，那么方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如表： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 方差 甲 93 90 92 93 92 乙 94 90 90 94 91 丙 91 92 92 92 如果丙的排序居中，那么表中（为整数）的值为_______，_______． 【答案】（1）；； （2）频数分布直方图补全如下： （3）； 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算出与，由统计图容易判断，因此； （2）计算出A班组的人数，之后补全频数分布直方图即可； （3）分别计算三个人的平均数，根据题意可得，解得或，再分别计算两种情况下三个人的方差，对比之后即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵B班的测试成绩中，82分出现4次，出现的次数最多， ∴B班的众数， ∵B班的20名学生的成绩中，从低到高排序第10个数为81分，第11个数为82分， ∴B班的中位数， 由统计图可知，A班超过一半的学生成绩在分以下， ∴A班的中位数， ∴； 【小问2详解】 解：A班组有（人）， 补全频数分布直方图略； 【小问3详解】 解：由表格可知，甲的平均数为，乙的平均数为，丙的平均数为， 根据题意，丙的排序居中， ∴， 解得， ∵为整数， ∴或， 当时，， ∴丙的方差为， ∵，且， ∴丙的排序居中，符合题意； 当时，， ∴丙的方差为， ∵，且， ∴丙的排序第一，与题意矛盾； 综上所述，，． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将已知两点坐标代入一次函数解析式，得到二元一次方程组，解方程组即可求出和； （2）根据（1）的结果得到对应函数解析式，按照题意列出不等式组，结合的条件即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：把和 分别代入    解得： 【小问2详解】 由（1）可知，  ∴ ，  根据题意，当时， 恒成立 得  整理①得：， 要求所有都满足该不等式，因此， 解得 整理②得：  综上可得的取值范围是． 27. 在正方形中，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作交于点，与线段的延长线相交于点，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）图形补全如下： （2） （3）， 证明：如图，设与的交点为，作于点，连接并延长，交于点， ∵，， ∴， 由（2）可知，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， 由旋转的性质可得，， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【解析】 【分析】（1）按题意补全图形即可； （2）由旋转和正方形的性质可得，，，，由等腰三角形的性质可得，，因此； （3）设与的交点为，作于点，连接并延长，交于点，容易判断和都是等腰直角三角形，则，，结合旋转的性质可证明，则，．由等腰三角形的性质可得，从而判断出和都是等腰直角三角形，因此．由等量代换可得，结合正方形的性质可证明，则，由勾股定理可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 由旋转的性质可得，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于定点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，将点绕原点顺时针旋转，得到点，点为线段的中点，则称点为点关于图形的“旋转中点”．已知点，，． （1）如图1， ①在点，，中，点__________是点关于线段的“旋转中点”； ②点关于线段的“旋转中点”的横坐标的取值范围是__________； （2）已知点，，，若的内部（不包括边界）存在点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1） ①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，分别取、的中点、，连接，容易判断点关于线段的“旋转中点”都在线段上．由旋转可得，，结合中点公式可得，．使用待定系数法可得线段的解析式为，将三个点的坐标依次代入，排除不符合要求的点即可； ②由①可得线段的解析式为，因此； （2）先仿照（1）的解法画出点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”所在的四边形，容易计算得，．由作图可知，两种边界情况分别为点在边上和点在边上，分别求出、的解析式，结合不等式求出的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，分别取、的中点、，连接， 由题意可知，点关于线段的“旋转中点”都在线段上， ∵，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， 又∵点、是、的中点， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴线段的解析式为， 将代入，得， ∴点在线段上，即点是点关于线段的“旋转中点”； 将代入，得， ∴点在线段上，即点是点关于线段的“旋转中点”； ∵， ∴点不在线段上，即点不是点关于线段的“旋转中点”； ②由①可知，点关于线段的“旋转中点”都在上， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， 又∵，，， ∴点的坐标为，即， 设以线段为对角线的正方形为正方形，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，连接、、、，分别取、、、的中点、、、，连接成四边形，则点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”都在四边形的边上， ①当四边形在平行四边形的下方时，如图， ∵四边形是以线段为对角线的正方形， 又∵，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 由旋转可得，点的坐标为，点的坐标为， ∵、是、的中点， 又∵， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∵四边形的边要与平行四边形的内部有公共点， ∴点要在的上方， ∴， 解得； ②当四边形在平行四边形的上方时，如图， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， 同理①可得，点要在的下方， ∴， 解得； 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末考试（二） 八年级数学 本试卷共8页，满分100分，考试时长120分钟 考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 根据中国汽车工业协会发布的数据，近年我国新能源汽车销量呈现高速增长态势，据统计，年新能源汽车销量为万辆，到年新能源汽车销量为万辆，若这两年新能源汽车销量的年平均增长率相同，求该新能源汽车销量的年平均增长率是多少？设该新能源汽车销量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 某校八年级（1）、（2）两班恰各有20名男生，他们身高（单位：cm）的箱线图如图所示，下面说法正确的是（） A. 八年级（1）班男生身高的下四分位数为145 B. 八年级（1）班男生身高的中位数大于八年级（2）班男生身高的中位数 C. 八年级（2）班男生身高的上四分位数大于八年级（1）班男生身高的上四分位数 D. 八年级（2）班男生身高比八年级（1）班男生身高更集中 7. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 房山区某中学学生参加校外实践活动，实践活动基地分为综合展厅与户外体验区，小静和小雅结伴参加实践活动．小静先在综合展厅参观，随后骑基地共享单车前往户外体验区；小雅搭乘基地摆渡车，从基地门口站台出发，途经综合展厅去往户外体验区．已知基地门口站台、综合展厅、户外体验区在同一条道路上．下图是两人分别距综合展厅的路程（单位：）与时间（单位：）的函数图象，给出下面三个结论：①当时两人相距；②当时两人相距；③当时两人相距；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ③ B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 10. 一元二次方程的根是_______． 11. 已知，一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：_____． 12. 如图是甲、乙两家快递公司一周的业务量的折线统计图．观察图形，若甲、乙两家公司这一周的业务量的方差分别是和，则__________（填“>”，“<”或“=”），可知业务量更稳定的是__________（填“甲”或“乙”）． 13. 如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 14. 如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为．若直线和直线被正方形的边所截得的线段长度相等，请写出与满足的数量关系__________． 16. 某学校有一块边长为20米的菱形草坪，其中．计划在草坪内部安装一处景观喷泉，要从草坪，，三个顶点处向喷泉铺设引水管道，则三段管道总长的最小值为__________米． 三、解答题（共68分，第17题8分；18-24，26题每题5分；第25题6分；第27，28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 用配方法解方程． 19. 如图，在中，平分．求证：四边形是菱形． 20. 已知一次函数的图象与直线平行，且过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）画出这个一次函数的图象． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根互为相反数，求的值． 22. 下面是证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．按以下两种方法完成证明． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，点是斜边的中点．求证：． （1）方法一 证明：如图，延长到点，使，连接，． （2）方法二 证明：如图，分别取，的中点，，连接，， 23. 如图，在四边形中，，是的中点，，交于点，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 24. 为营造书香校园氛围，某学校举办经典读书文化节，计划在一块长，宽的展示板上，展出4幅形状相同，面积均为的经典名著海报，若展示板外沿与海报之间、相邻海报之间间隔的宽度均相同，间隔的宽度应是多少？ 25. 某学校组织数学竞赛，对A，B两个班级各20名学生进行了测试，对测试成绩（百分制）进行了整理分析，下面给出了部分信息． a．A班测试成绩的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．B班测试成绩如下： 69，69，70，70，71，73，77，78，80，81， 82，82，82，82，83，83，83，86，91，96． c．A班，B班测试成绩的平均数、众数、中位数如表： 平均数 众数 中位数 A班 79.6 77 B班 79.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为________，的值为_______，________（填“”“”或“”）； （2）补全频数分布直方图； （3）为了选出参赛种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，如果平均数相同，那么方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如表： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 方差 甲 93 90 92 93 92 乙 94 90 90 94 91 丙 91 92 92 92 如果丙的排序居中，那么表中（为整数）的值为_______，_______． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 27. 在正方形中，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作交于点，与线段的延长线相交于点，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于定点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，将点绕原点顺时针旋转，得到点，点为线段的中点，则称点为点关于图形的“旋转中点”．已知点，，． （1）如图1， ①在点，，中，点__________是点关于线段的“旋转中点”； ②点关于线段的“旋转中点”的横坐标的取值范围是__________； （2）已知点，，，若的内部（不包括边界）存在点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $