精品解析：北京市房山区2024--2025学年下学期八年级期末考试数学试卷

房山区2024—2025学年度第二学期学业水平调研（二） 八年级数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 正方形 2. 下列各点中，在直线上的点是（ ） A. B. C. D. 3. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 如图，直线与x轴交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 下表记录了四名男子跳远运动员最近10次训练成绩（单位：）的平均数与方差： 1号 2号 3号 4号 平均数 7.98 7.85 7.83 7.98 方差 1.4 2.8 0.9 3.6 要选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 4号 6. 如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则该四边形一定是( ) A. 矩形 B. 对角线相等的四边形 C. 正方形 D. 对角线互相垂直的四边形 8. 如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 函数的自变量x的取值范围是________． 10. 方程的根为__________． 11. 若一次函数的图象经过二、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数表达式________． 12. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 13. 关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为________． 14. 如图，中，，，平分，于E交于D，F为的中点，则________． 15. 小雯要计算一组数据94，89，90，92，87，98的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据4，，0，2，，8，若这组新数据的方差为，则________（填“”“”或“”）． 16. 平面直角坐标系中，点，点B与点C在直线上．若四边形是平行四边形，则________；若四边形是菱形（），且面积为4，则点B的坐标为________． 三、解答题（本题共68分，第17题8分；第18题4分；第19-21，23，25-26题每题5分；第22，24题每题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程， 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 用配方法解方程：． 19. 平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交点A的横坐标为，与y轴交点B的纵坐标为2． （1）画出函数图象，并求此一次函数的表达式； （2）线段的长为 ；坐标原点O到直线的距离为 ． 20. 下面是晓涵设计的“作已知三角形的中线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：的中线． 作法：①如图，以点B为圆心，长为半径作弧；以点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于下方的点E； ②连接，与交于点D．则线段即为所求中线． 根据晓涵设计的尺规作图过程完成下列问题： （1）使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明过程． 证明：连接，， ，， 四边形是________形（________）（填推理依据）， 为中点（________）（填推理依据）， 为的中线． 21. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 22. 某学校为筹备2025年家长开放日活动，八年级师生以“墨韵书香润校园，非遗传承启新程”为主题，在学校中心广场设置6个相同的长方形文化展示区（如“非遗剪纸工作坊”“古法造纸体验区”“诗词灯谜互动角”等），每个展示区通过实物陈列，技艺演示，亲子互动等形式，让传统文化“可触可感”．中心广场长20，宽15，各展示区按2行3列排列（如图所示），广场四周设1宽的安全通道，相邻展示区之间的甬道宽度相同．已知每个展示区的面积是，请你帮助活动负责人计算甬道的宽度． 23. 房山区第二届中小学数学节在2025年3月启动，本届数学节以“数启智慧，学创未来”为主题．某学校组织了“数学节设计大赛”活动，共有160名同学参与（全校共32个班，每班5名同学参与），评委小组给每位同学的参赛作品打分（百分制）． （1）为了更好地了解本次大赛成绩的分布情况，随机抽取了40名同学的成绩作为样本，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．40名同学成绩的频数分布表与频数分布直方图如下： 40名同学成绩的频数分布表 分组/成绩x 频数 频率 2 0.05 m 0.10 10 0.25 10 0.25 合计 40 1.00 40名同学成绩的频数分布直方图 b．40名同学成绩在这一组的数据如下表所示： 成绩（分） 80 82 85 87 88 89 频数 4 2 1 1 1 1 根据以上信息，回答下列问题： ①________； ②补全40名同学成绩的频数分布直方图； ③学校准备对成绩优秀（分数不低于85分）的同学进行表彰，通过分析样本数据，估计160名参与者中可获得表彰的有________名学生； （2）学校准备对成绩优秀的班级也进行表彰．对每个班级，计算5名参赛同学成绩的平均数和方差，平均数较大的班级排序靠前，若平均数相同，则方差较小的班级排序靠前．其中，甲、乙、丙三个班每班5名同学的成绩如下： 班级 成绩1 成绩2 成绩3 成绩 成绩5 甲班 93 92 93 93 94 乙班 91 95 94 92 p 丙班 92 91 94 93 94 若乙班在甲、乙、丙三个班中排序居中，则这三个班中排序最靠前的是________班，表中p（p为整数）的值为________． 24. 如图，在中，，平分，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 25. 小林自制了两支形状不同的蜡烛（蜡烛A和蜡烛B），蜡烛A为圆柱形．同时点燃这两支蜡烛，当燃烧时长为t（单位：）时，小林分别记录了蜡烛A的剩余高度（单位：）和蜡烛B的剩余高度（单位：），部分数据如下： 0 10 20 30 40 50 60 12.0 10.0 8.0 6.0 4.0 0 11.0 10.6 9.6 8.0 5.9 3.2 0 （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系．如图，在给出的平面直角坐标系中，画出了与t的函数图象，并描出了与t对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在燃烧过程中，当两支蜡烛的剩余高度相同时，其剩余高度约为 （结果保留小数点后一位）； ②当两支蜡烛的剩余高度的差为时，其燃烧时长约为 （结果保留整数）． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点． （1）求的值； （2）若函数与函数的图象的交点位于直线的左侧，直接写出的取值范围． 27. 如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． （1）判断与的位置关系并证明； （2）连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形和图形，给出如下定义：点P是图形上任意一点，点是图形上任意一点，取线段中点．则称点T是图形和图形的“居中点”． （1）如图1，点，点． ①在点，，中，点 是点O和线段的“居中点”； ②若点是直线和线段的“居中点”，则的最大值为 ； （2）已知点，，，，，，若图形上存在图形和线段的“居中点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山区2024—2025学年度第二学期学业水平调研（二） 八年级数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答． 【详解】解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； D、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C． 2. 下列各点中，在直线上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的值，将各选项的坐标代入直线方程，验证是否满足方程即可． 【详解】解： A、点，代入方程，左边，右边，，故A不在直线上，不符合题意； B、点，代入方程，左边，右边，，故B在直线上，符合题意； C、点，代入方程，左边，右边，，故C不在直线上，不符合题意； D、点，代入方程，左边，右边，，故D不在直线上，不符合题意． 故选：B． 3. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，进行判断即可，熟练掌握根的个数与判别式之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程没有实数根； 故选C． 4. 如图，直线与x轴交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像与x轴交点求解不等式解集，从图象入手分析，根据不等式与一次函数的交点确定不等式的解集即可． 【详解】解：由图象和题意可知：交x轴于点， 不等式的解集即为时x的取值范围， 由图象可知当时，， 故选：D． 5. 下表记录了四名男子跳远运动员最近10次训练成绩（单位：）的平均数与方差： 1号 2号 3号 4号 平均数 7.98 7.85 7.83 7.98 方差 1.4 2.8 0.9 3.6 要选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 4号 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：∵1号和4号的平均数较大， ∴从1号和4号中选择一人参加竞赛， ∵1号的方差较小， ∴选择1号参加比赛， 故选：A． 6. 如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据特殊三角形中边和角之间的关系，判断三角形中角之间的关系． 【详解】解：A选项：在中，， ， ， ， ， ， 故A选项一定成立； B选项：在中，，是边上的中线， ， ， 由A选项可知， ， 故B选项一定成立； C选项：是的外角， ， 由B选项可知， ， ， 故C选项一定成立； D选项：当时，是等边三角形， ， 平分， 则有， 若，则不成立， 故D选项不一定成立． 故选：D． 7. 若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则该四边形一定是( ) A. 矩形 B. 对角线相等的四边形 C. 正方形 D. 对角线互相垂直的四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点， ∴EH∥AC，EH＝AC，FG∥AC，FG＝AC， ∴EH∥FG，EH＝FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 根据题意得：四边形EFGH是菱形， ∴EF＝EH， ∴AC＝BD， ∴原四边形一定是对角线相等的四边形． 故选B． 【点睛】本题考查的是中点四边形、菱形的判定，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键． 8. 如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据旋转性质可以确定，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出结论①；根据旋转性质证明从而得出结论②；证明，通过勾股定理从而得出结论③；延长交于点H，通过平行线的判定与性质即可证明结论④． 【详解】解：如图，连接， 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， F为的中点， ，故①正确； 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， ， ， ， F为的中点， ， ， ， ， 又， ， ，故②正确； ， ， ， 为等腰直角三角形， ，故③正确； 如图，延长交于点H， ， ， ， ，即， ， ， ，故④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质求解，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 函数的自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了自变量的取值，分式有意义的条件，根据题意得到，解不等式即可求解． 【详解】解：函数， ∴， 解得，， 故答案为： ． 10. 方程的根为__________． 【答案】，##， 【解析】 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．将方程移项化为一般形式，通过因式分解求解即可． 【详解】原方程移项得，， 因式分解得，， 解得，或， 即，， 故答案为：，． 11. 若一次函数的图象经过二、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数表达式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 根据题意确定k，b的取值范围，从而写出其解析式即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴， ∴解析式为：（答案不唯一）， 故答案为： （答案不唯一）． 12. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 13. 关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的运用，根据方程有两个相等的实数根得到，由此即可求解． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为： ． 14. 如图，中，，，平分，于E交于D，F为的中点，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键．根据平分，，证明，得出，，求出,进而可得是的中位线，再得出答案即可． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴, ∵点是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：1． 15. 小雯要计算一组数据94，89，90，92，87，98的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据4，，0，2，，8，若这组新数据的方差为，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方差的意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变． 根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案． 【详解】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，差不变，则方差不变， ． 故答案为：． 16. 平面直角坐标系中，点，点B与点C在直线上．若四边形是平行四边形，则________；若四边形是菱形（），且面积为4，则点B的坐标为________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可确定；过点B作，过点作轴于点，过点作于点，四边形的面积为4，可得，则可得直线是直线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，得出直线的解析式为，设点B的坐标为，再利用列出方程即可求解． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∵点B与点C在直线， ∴； 根据题意，过点B作，过点作轴于点，过点作于点， ∵四边形是菱形（），， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∵， ∴点到轴和轴的距离相等， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即直线是直线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 由（1）可知，直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设点B的坐标为， ∴ ， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 三、解答题（本题共68分，第17题8分；第18题4分；第19-21，23，25-26题每题5分；第22，24题每题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程， 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）先将方程变形为，再利用直接开平方法解方程即可得； （2）利用公式法解方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， 所以方程的解为． 【小问2详解】 解：方程中的， 方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即． 18. 用配方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．先将变形为，再利用完全平方公式配方为，再求解即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为． 19. 平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交点A的横坐标为，与y轴交点B的纵坐标为2． （1）画出函数图象，并求此一次函数的表达式； （2）线段的长为 ；坐标原点O到直线的距离为 ． 【答案】（1），图见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意得出，画出函数图象，然后利用待定系数法可以求得该函数的解析式； （2）根据勾股定理得出，再由三角形等面积法即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵一次函数图象与x轴交点A的横坐标为，与y轴交点B的纵坐标为2． ∴， 函数图象如图所示： 设一次函数解析式为 将代入解析式得： 解得： 一次函数解析式为 【小问2详解】 根据题意得：， ∴， 设原点O到直线的距离为h， 根据题意得：， 即， 解得：， 故答案为：；． 20. 下面是晓涵设计的“作已知三角形的中线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：的中线． 作法：①如图，以点B为圆心，长为半径作弧；以点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于下方的点E； ②连接，与交于点D．则线段即为所求中线． 根据晓涵设计的尺规作图过程完成下列问题： （1）使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明过程． 证明：连接，， ，， 四边形是________形（________）（填推理依据）， 为中点（________）（填推理依据）， 为的中线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】题目主要考查基本作图及平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据题中证明过程结合平行四边形的判定和性质即可证明． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求； 【小问2详解】 证明：连接，， ，， 四边形是平行四边形形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 为中点（平行四边形的对角线互相平分）， 为的中线． 21. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根式公式的运用，理解题意，掌握判别式，求根公式，分类讨论思想是关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可； （2）根据求根公式得到，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程， ∴， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程，， ∴， 当时，， 解得，， ∵方程有一个根为非负数， ∴， 解得，，与不符合； 当时，， 解得，， ∴， 解得，； 综上所述，． 22. 某学校为筹备2025年家长开放日活动，八年级师生以“墨韵书香润校园，非遗传承启新程”为主题，在学校中心广场设置6个相同的长方形文化展示区（如“非遗剪纸工作坊”“古法造纸体验区”“诗词灯谜互动角”等），每个展示区通过实物陈列，技艺演示，亲子互动等形式，让传统文化“可触可感”．中心广场长20，宽15，各展示区按2行3列排列（如图所示），广场四周设1宽的安全通道，相邻展示区之间的甬道宽度相同．已知每个展示区的面积是，请你帮助活动负责人计算甬道的宽度． 【答案】甬道的宽度为3米． 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设甬道的宽度为x米，根据图形列出方程求解即可． 【详解】解：设甬道的宽度为x米， 根据题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴甬道的宽度为3米． 23. 房山区第二届中小学数学节在2025年3月启动，本届数学节以“数启智慧，学创未来”为主题．某学校组织了“数学节设计大赛”活动，共有160名同学参与（全校共32个班，每班5名同学参与），评委小组给每位同学的参赛作品打分（百分制）． （1）为了更好地了解本次大赛成绩的分布情况，随机抽取了40名同学的成绩作为样本，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．40名同学成绩的频数分布表与频数分布直方图如下： 40名同学成绩的频数分布表 分组/成绩x 频数 频率 2 0.05 m 0.10 10 0.25 10 0.25 合计 40 1.00 40名同学成绩的频数分布直方图 b．40名同学成绩在这一组的数据如下表所示： 成绩（分） 80 82 85 87 88 89 频数 4 2 1 1 1 1 根据以上信息，回答下列问题： ①________； ②补全40名同学成绩的频数分布直方图； ③学校准备对成绩优秀（分数不低于85分）的同学进行表彰，通过分析样本数据，估计160名参与者中可获得表彰的有________名学生； （2）学校准备对成绩优秀的班级也进行表彰．对每个班级，计算5名参赛同学成绩的平均数和方差，平均数较大的班级排序靠前，若平均数相同，则方差较小的班级排序靠前．其中，甲、乙、丙三个班每班5名同学的成绩如下： 班级 成绩1 成绩2 成绩3 成绩 成绩5 甲班 93 92 93 93 94 乙班 91 95 94 92 p 丙班 92 91 94 93 94 若乙班在甲、乙、丙三个班中排序居中，则这三个班中排序最靠前的是________班，表中p（p为整数）的值为________． 【答案】（1）①；②见详解；③ （2）甲， 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图，平方数，方差的运用，掌握以上知识的计算是关键． （1）①根据频数的计算方法求解即可；②根据频数得到的人数，由此即可补全图形；③根据样本百分比估算总体数量的计算方法求解； （2）分别算出平均分，方差进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：①； ②的人数为：（人）， ∴补全图形如下， ③成绩优秀（分数不低于85分）的同学的人数为（人）， ∴（人）； 【小问2详解】 解：平均数较大的班级排序靠前，若平均数相同，则方差较小的班级排序靠前， 甲班5名参赛同学成绩的平均数为（分），方差为， 乙班5名参赛同学成绩的平均数为（分）， 丙班5名参赛同学成绩的平均数为（分）， ∵乙班在甲、乙、丙三个班中排序居中，，， ∴这三个班中排序最靠前的是甲， 当乙、丙平均分相同时，， 解得，， 此时乙班的方差为， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴乙班的平均分高于丙班的平均分， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 此时乙班的方差为， ∴，， 符合平均数较大的班级排序靠前，若平均数相同，则方差较小的班级排序靠前， ∴． 24. 如图，在中，，平分，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用同旁内角互补两直线平行得出，利用角平分线的性质及等量代换得出，利用内错角相等两直线平行得出，利用两组对边分别平行即可得出平行四边形； （2）过点作交于点，利用角平分线的性质和平行四边形的性质得出相等的边，假设，则，判定出，利用相似三角形的性质得出，最后求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ， ， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点， 又∵平分，， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， 假设，则， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得， ∴． 25. 小林自制了两支形状不同的蜡烛（蜡烛A和蜡烛B），蜡烛A为圆柱形．同时点燃这两支蜡烛，当燃烧时长为t（单位：）时，小林分别记录了蜡烛A的剩余高度（单位：）和蜡烛B的剩余高度（单位：），部分数据如下： 0 10 20 30 40 50 60 12.0 10.0 8.0 6.0 4.0 0 11.0 10.6 9.6 8.0 5.9 3.2 0 （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系．如图，在给出的平面直角坐标系中，画出了与t的函数图象，并描出了与t对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在燃烧过程中，当两支蜡烛的剩余高度相同时，其剩余高度约为 （结果保留小数点后一位）； ②当两支蜡烛的剩余高度的差为时，其燃烧时长约为 （结果保留整数）． 【答案】（1） （2）作图见详解，随时间的增加，逐渐减小 （3）①；②燃烧时长约为或 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象获取信息，描点，连线绘制函数图象，理解表格系数，函数图象的性质是关键． （1）根据表格信息求解； （2）运用描点连线作图，结合函数图象分析即可； （3）①根据函数图象判定即可；②根据函数图形判定即可． 【小问1详解】 解：根据题意，每10分钟记录一次燃烧后剩余的高度，的变化情况是逐渐减少， ∴表格中空缺的数值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据表格描点如下， 根据图象得到，随时间的增加，逐渐减小； 【小问3详解】 解：①根据（2）中的函数图象可得，当两支蜡烛的剩余高度相同时，其剩余高度约为； ②根据图形可得，当时，， ∴当两支蜡烛的剩余高度的差为时，其燃烧时长约为； 当时，， ∴当两支蜡烛的剩余高度的差为时，其燃烧时长约为； 综上所述，燃烧时长约为或． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点． （1）求的值； （2）若函数与函数的图象的交点位于直线的左侧，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，两直线交点的计算，掌握一次函数图象的性质是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到当直线经过点时，，当直线与直线平行时，，结合图象得出答案即可． 【小问1详解】 解：一次函数与的图象交于点， ∴把点代入得，， 解得，， ∴， 再把点代入得，， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）得到，， ∴函数的解析式为， 当时，，即， 把点代入得，， 解得，， ∴当直线经过点时，，当直线与直线平行时，， 如图所示： ∴当或或时，函数与函数的图象的交点位于直线的左侧． 27. 如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． （1）判断与的位置关系并证明； （2）连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1），见解析 （2）①图见解析；②，见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线． （1）通过证明，得出，再由各角之间的关系即可求解； （2）①根据题意补全图形即可； ②取的中点T，连接，过点O作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由正方形的判定和性质得出四边形为正方形，确定，再由勾股定理确定，然后结合图形求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①根据题意补全图形如图所示： ②取的中点T，连接，过点O作，如图所示： 根据题意得：， ∵的中点T，的中点O， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形和图形，给出如下定义：点P是图形上任意一点，点是图形上任意一点，取线段中点．则称点T是图形和图形的“居中点”． （1）如图1，点，点． ①在点，，中，点 是点O和线段的“居中点”； ②若点是直线和线段的“居中点”，则的最大值为 ； （2）已知点，，，，，，若图形上存在图形和线段的“居中点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， ② （2）的取值范围是或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，中点坐标，一次函数，解题的关键是正确理解“居中点”的定义． （1）根据点的坐标写出直线的解析式，根据中点坐标公式可得点关于，，的对称点，依次判断所得对称点是否在线段上即可；根据“居中点”的定义和一次函数图象的性质，确定取最大值的条件，解方程即可得的最大值； （2）根据点的坐标，在平面直角坐标系中画图，改变的大小，分析图形的运动方向，可得线段与四边形的距离随的变化规律，分类讨论，分别确定不同情况下的最大值和最小值，即可得的取值范围． 【小问1详解】 解：设所在直线的解析式为， ∵， ∴， 解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵，，，， ∴点关于，，的对称点依次为，，， ∵， ∴点不在线段上， ∴点不是点O和线段的“居中点”， ∵和的横纵坐标满足，且横坐标在范围内， ∴点和在线段上， ∴点和是点O和线段的“居中点”， 故答案为：，． ②如图，点，关于点的对称点分别为，， 连接，则点为线段与线段的“居中点”， ∵点是直线和线段的“居中点”， ∴直线与线段有公共点， ∵ ∴当直线过点时，取得最大值，由得，， ∴的最大值为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，，，， ∴四边形是菱形，且形状和大小与无关， 又∵，， ∴的中点为，即， ∵，， ∴的中点为，即， 当时，如图，越小，线段与菱形距离越远， ∵图形上存在图形和线段的“居中点”， ∴当点位于上时，取最大值， ∵，直线的解析式为， ∴， ∴， 当的中点位于上时，取最小值， ∵的中点为，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时，如图，越大，线段与菱形距离越远， ∵图形上存在图形和线段的“居中点”， ∴当点位于上时，取最小值， ∵，直线的解析式为， ∴， ∴， 当的中点位于上时，取最大值， ∵的中点为，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 答：的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $