精品解析：广东省佛山市顺德区郑裕彤中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 0 2. 已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 3. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知甲、乙两人射击的命中率分别是和．现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是（ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线分别交的左、右两支于、两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）. 9. 已知三条直线，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 三条直线的斜率之积为1 C. 三条直线的倾斜角之和为 D. 三条直线在轴上的截距之和为12a 10. 有个相同的球，分别标有数字、、、、，从中有放回的随机取两次，每次取个球．记事件为“第一次取出的球的数字是奇数”，事件为“两次取出的球的数字相同”，事件为“两次取出的球的数字之和是”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. 已知为数列的前项和，且，则（ ） A. 存在，使得 B. 可能是常数列 C. 可能是递增数列 D. 可能是递减数列 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 曲线与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________． 13. 已知等差数列的前项和为，，，则____. 14. 点 在 所在的平面 外，且，，，当到平面 的距离最大时，的面积为_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为. （1）过点作圆的两条切线，求这两条切线的斜率之和； （2）若过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 16. 甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. （1）用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由； （2）若选择方案一，求甲获胜的概率. 17. 记等差数列的前项和为，已知 （1）求的通项公式； （2）求的最大值以及取得最大值时的的值； （3）求的前项和． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面． （1）在线段上是否存在点使得平面？并说明理由． （2）设线段和的中点分别为和，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知椭圆的两个焦点分别为，过的直线与相交手两点.当平行轴时，. （1）求的方程； （2）当的内切圆面积取得最大值时，求的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】因为， 所以， 解得， 故选：A 2. 已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解即得. 【详解】椭圆的长半轴长，由点在椭圆上，分别为的左、右焦点， 得，所以平行四边形的周长为. 故选：D 3. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，中点，由抛物线的定义表示出，再由，即可得出答案. 【详解】设，中点， 则， 解得，所以. 故选：B． 4. 已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的标准方程为，根据题意求出、的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】由题，设双曲线的标准方程为，则，可得， 又因为双曲线的两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：A. 5. 长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点、、，由已知条件可得出，分析可知，为的中点，可得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程. 【详解】设点、、，则，可得， 因为点关于点的对称点为，则为的中点， 所以，，可得， 将代入可得，即， 因此，点的轨迹方程为. 故选：C. 6. 在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算结合投影向量的定义可求得的值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，， 由题意可知，， 所以，. 故选：C. 7. 已知甲、乙两人射击的命中率分别是和．现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出只有甲或只有乙打中猎物的概率，即可得出甲、乙分配猎物的比例. 【详解】因为甲、乙两人射击的命中率分别是和， 现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪， 只有甲打中猎物的概率为，只有乙打中猎物的概率为 所以，甲、乙分配猎物的比例应该是. 故选：A. 8. 设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线分别交的左、右两支于、两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，则，设，由双曲线的定义可知，，，所以，，，由勾股定理，推出、的关系，化简即可得离心率的值． 【详解】解：如图，取中点，连接， 因为，所以，， 设，因为，则， 又，所以，， 所以，，则，所以，， 过点且倾斜角为的直线方程为，，所以，， 在中，由勾股定理可得，即，① 在中，，即，② 联立①②消去化简得，所以，双曲线的离心率． 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）. 9. 已知三条直线，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 三条直线的斜率之积为1 C. 三条直线的倾斜角之和为 D. 三条直线在轴上的截距之和为12a 【答案】BC 【解析】 【分析】分别将三直线转化成点斜式，进而分析斜率和纵截距，根据斜率关系判断ABC；根据纵截距判断D. 【详解】设三条直线对应斜率为，倾斜角为， ，； ，； ，， 对于A：因为，所以不垂直于，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：， 因为，则，可得， 所以三条直线的倾斜角之和为135°，故C正确； 对于D：三条直线在y轴上的截距之和为，故D错误. 故选：BC. 10. 有个相同的球，分别标有数字、、、、，从中有放回的随机取两次，每次取个球．记事件为“第一次取出的球的数字是奇数”，事件为“两次取出的球的数字相同”，事件为“两次取出的球的数字之和是”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用独立事件的定义逐项判断，即可得出合适的选项. 【详解】由题意可知，，， 记第一次取出的球的数字为，第二次取出的球的数字为，其中、， 用表示两次取球的号码， 则事件包含的基本事件有：、、、、，则， 事件包含的基本事件有：、、，则， 事件包含的基本事件有：、、，则， 事件包含的基本事件有：，则， 事件包含的基本事件有：，则， 对于A选项，，则与相互独立，A对； 对于B选项，，所以，与相互独立，B对； 对于C选项，，所以，与相互独立，C对； 对于D选项，，所以，与不相互独立，D错. 故选：ABC. 11. 已知为数列的前项和，且，则（ ） A. 存在，使得 B. 可能是常数列 C. 可能是递增数列 D. 可能是递减数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】取，可判断AB选项；利用反证法可判断C选项；取，求出数列的通项公式，结合数列的单调性可判断D选项. 【详解】因为为数列的前项和，且， 对于A选项，取，则，则，A对； 对于B选项，取，则，，， 以此类推可知，对任意的，，所以，可能是常数列，B对； 对于C选项，假设数列为递增数列，则对任意的，， 即，所以，对任意的恒成立， 但当时，，矛盾，故数列不可能是递增数列，C错； 对于D选项，取，则，，， 猜想，， 当时，猜想成立， 假设当时，猜想成立，即， 则当时，， 这说明当时，猜想也成立，故对任意的，， 此时，数列为单调递减数列，D对. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 曲线与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先画出曲线表示的半圆，再判断直线是过定点的直线，利用数形结合判断的取值范围. 【详解】直线l过点A（2，4），又曲线的图象是以（0，1）为圆心，2为半径的半圆， 如图，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r， 即，解得. 当直线l过点B（－2，1）时，直线l的斜率为， 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为. 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，，，则____. 【答案】9 【解析】 【分析】利用片段和性质求解可得. 【详解】在等差数列中，，，所以，， 故构成公差为2的等差数列， 所以，即. 故答案为：9 14. 点 在 所在的平面 外，且，，，当到平面 的距离最大时，的面积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用线面位置关系，表示出到平面的距离，由基本不等式求距离最大值时的条件，求的面积. 【详解】，，则有，， 由余弦定理， 得， ，，，则有，， ，则有， 为中点，连接，则有，，， 平面，，平面， 过作，交于点，平面，， 平面，则平面，是到平面 的距离， ，， 中，，， 当且仅当时，有最大值2， 此时，. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为. （1）过点作圆的两条切线，求这两条切线的斜率之和； （2）若过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分析可知切线的斜率存在，设切线的方程为，根据圆心到切线的距离等于圆的半径，可得出关于的等式，解出的值，即可得出结果； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 圆的标准方程为， 又因为，即点在圆外， 若切线斜率不存在，则该直线的方程为，圆心到直线的距离为， 则直线与圆相交，所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 所以，整理可得，解得或， 故两切线的斜率之和为. 【小问2详解】 由题意可知，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，整理可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. （1）用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由； （2）若选择方案一，求甲获胜的概率. 【答案】（1）方案二被选择的可能性更大，理由： 抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，则共有36种情况，如下： ， ， 其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有： ，共16种情况， 故选择方案一的概率为，则选择方案二的概率为，故方案二被选择的可能性更大. （2） 【解析】 【分析】（1）列举出向上的点数所有情况和点数之差的绝对值不大于1的情况，求出概率，得到结论； （2）分三类情况，利用独立事件的概率乘法公式分别计算概率，再利用互斥事件的概率加法公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若选择方案一，甲获胜包括三类情况：①甲在前两局获胜，其概率为：； ②甲在第一局，第三局获胜，其概率为：；③甲在第二局，第三局获胜，其概率为：， 因三类情况两两互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为：. 17. 记等差数列的前项和为，已知 （1）求的通项公式； （2）求的最大值以及取得最大值时的的值； （3）求的前项和． 【答案】（1）； （2）的最大值为，取得最大值时的或； （3）. 【解析】 【分析】（1）结合与可计算出公差，再结合，即可得解； （2）利用等差数列的前项和公式，再结合二次函数的性质即可得解； （3）分与两种情况讨论即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题可得，解得， 故； 【小问2详解】 ，是关于的二次函数，对称轴为， 在或时取得最大值，，的最大值为； 【小问3详解】 ， . ①当时，； ②当时， . 因此，. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面． （1）在线段上是否存在点使得平面？并说明理由． （2）设线段和的中点分别为和，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）在平面内过点作，由平面平面，平面平面， 得平面，而，即，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得， ， 假设在线段上存在点使得平面， 令，， 由，解得，此时， 而平面， 因此平面，所以在线段上存在点使得平面，为在上的投影点. （2）. 【解析】 【分析】（1）在平面内过点作，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由（1）中坐标系，利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及分别为线段的中点，得， 则，设平面的法向量为， 则，令，得， 显然平面的法向量， 设平面与平面夹的角大小为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的两个焦点分别为，过的直线与相交手两点.当平行轴时，. （1）求的方程； （2）当的内切圆面积取得最大值时，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设椭圆过代入椭圆方程，结合椭圆参数关系求参数a，b，写出椭圆方程即可. （2）设直线为，，联立椭圆方程并应用韦达定理求、，分析知的内切圆面积取得最大值时,只需最大，进而得到关于的函数，最后应用换元法，利用基本不等式求出最大值即可. 【小问1详解】 由题意，椭圆过点，且，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由已知，可设直线为，且， 联立整理得，， 所以，， 的周长为， 设内切圆的半径为，则，所以， 又，所以， 要使的内切圆面积最大，则的内切圆的半径最大，从而只需最大， 而，所以， 令，则， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即，， 当时等号成立.此时，所以， 所以直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $