广东佛山市听音湖实验中学2025-2026学年第一学期10月段测教学质量检测高二数学试题

**基本信息** 高二年级数学10月段测聚焦空间向量、概率与立体几何，以学青会火炬传递、知识竞赛为情境，通过基础计算、综合证明及创新探究题，考查数学抽象、逻辑推理与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间直角坐标系中点坐标、向量垂直判定|基础概念辨析，如第2题中点坐标计算| |多选题|3/18|向量运算性质、概率互斥关系|多维度考查，如第11题空间方向向量与法向量判断| |填空题|3/15|方向向量斜率、平行六面体向量计算|结合实际，如第14题多选题得分概率| |解答题|5/77|概率样本空间、正方体异面直线角、五面体二面角|分层设计，18题线面平行证明与二面角计算，19题四棱锥存在性探究，体现逻辑推理与空间观念|

听音湖实验中学2025～2026学年度第一学期10月段测考教学质量检测 高二年级 数学 参考答案 一、二、选择题：本题共12小题，共58分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C B C C A AC ABC 题号 11 答案 AD 1.D 2．B【详解】依题意，点，则线段的中点坐标是. 3．B【详解】出现的点数不小于5出现的点数为，出现的点数为偶数出现的点数为，则出现的点数为，故B正确，A错误；因为事件A与事件B可以同时发生，故事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故C，D错误，故选：B． 4．C【详解】因为，，且，所以，解得 5.B【详解】由题意，所以，所以.故选：B. 6.C【详解】对于A，，共面，不可为基底；B中，共面，不可为基底；对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量，这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底，D中，共面，不可为基底 7．C【详解】由，，得，，所以在上的投影向量为. 8．A【详解】过A作且，连接、，    则四边形是平行四边形，因为，所以平行四边形是矩形， 因为，即，而，则是二面角的平面角，即， 因为，即为正三角形，所以，因为，，即，，，平面，所以平面，因为平面，所以， 所以在中，，所以，． 9．AC 【详解】因为向量，，所以，故A正确；，故B错误；，故C正确．，故D错误；故选：AC 10．ABC【详解】对于AB，由可得,所以,故AB正确；对于CD，由互斥可得， 所以,故C正确，D错误. 11．AD【详解】对于A，，则，所以直线与垂直，故A是真命题；对于B，，则，所以或，故B是假命题；对于C，，即不垂直，所以不成立，故C是假命题；对于D，，因为向量是平面的法向量，故，即，故D是真命题，故选：AD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12． 13． 14． 12．【详解】因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为 13．【详解】平行六面体，如图所示： ∵∠BAA1=∠DAA1=60°∴A1在平面ABCD上的射影必落在直线AC上， ∴平面ACC1A1⊥平面ABCD，∵AB=1，AD=2，AA1=3，∵= ∴||2=（）2=||2+||2+||2+2+2+2 =1+9+4+0+2×1×3×+2×2×3×=23，∴||= 14．【详解】解：某同学随机选择选项一个或两个选项，分别为：选择一项有，，，；选择两项有：，，，，，；共有基本事件10种，其中“能得分”的基本事件有，，，共3种，故“能得分”的概率为． 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18、19题各17分，共77分） 15．【详解】（1）将2位男教师记为，3位女教师记为，…………………………………2分 则样本空间，共有10个样本点． …………………………………6分 （2）设事件表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”， …………………………………7分 则，…………………………………10分 中包含9个样本点，故． …………………………………13分 16.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系： 则，…………………………………1分 所以， ， …………………………………4分 所以，…………………………………6分 所以与所成角的余弦值是；…………………………………7分 （2），…………………………………9分 设平面CEF的一个法向量为，则，即， 令，则，…………………………………12分 ， ， 所以…………………………………15分 17. （1）设表示甲每轮答错1道题目的事件，表示甲每轮答对1道题目的事件， 则，， …………………………………2分 两轮中答对一道题的情况为，甲第一轮答对1题，第二轮答错1题和甲第一轮答错1题，第二轮答对1题， 故概率为； …………………………………6分 （2）设表示甲答对表示乙每轮答错1道题目的事件，表示乙每轮答对1道题目的事件，则 ，，“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的情况有： 第一种情况：甲答对2道题，乙答对1道题：…………………………………8分 …………………………11分 第二种情况：甲答对1道题，乙答对2道题： …………………………………14分 所以，“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率为 …………………………………15分 18．【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，， …………………………………2分 所以，显然平面的法向量可以为， …………5分 所以，即，又平面，所以平面； …………8分 （2）因为，设平面的法向量为， 则，令，则，所以， …………12分 因为平面，所以平面的法向量可以为， …………14分 则设两平面所成角为，则, …………16分 为锐角，所以两平面所成角的余弦值为； ………………17分 19．【详解】Ⅰ）因为平面平面，因为是等腰三角形，为的中点，所以，平面平面,平面 所以平面，平面,所以， 因为，所以， 又,平面, 所以平面，平面,所以. ……………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，,以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示 有题意可知，，，， ……………………7分 所以，又,, ……………………9分 设平面的一个法向量为,则 则，令，则，所以 又 设直线与平面所成角为,则 , 所以直线与平面所成角的正弦值为. ……………………10分 （Ⅲ）假设在棱上存在点，使二面角的余弦值为， 设，则 又， 设平面的一个法向量为则 令则, 又为平面的一个法向量， ……………………4分 设二面角所成的角为，则， 因为二面角的余弦值为，所以，解得或（负值舍）. 故存在点为棱的靠近的三等分点． ……………………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 听音湖实验中学2025～2026学年度第一学期10月段测考教学质量检测 高二年级 数学 试题 （全卷共4页，考试时间：120分钟，满分150分） 测试范围：必修二第十章、选择性必修一第一章、第二章2.1 1、 单选题(每题5分，共40分） 1．的值是（   ） A． B． C． D．1 2．在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（    ） A． B．出现的点数为6 C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 4．已知空间向量，，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 5.已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 6.已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知大小为的二面角的棱上有两点A、B，，，，，若，，，则CD的长为（   ） A．7 B．49 C．67 D． 2、 多选题（共18分） 9．已知向量，则下列结论正确的是（ ） A． B． C D． 10．已知，，则下列说法中正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果互斥，那么 D．如果互斥，那么 11．给出下列命题，其中是真命题的为（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则l与m垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面的法向量分别为，则 D．若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 三、填空题:（本题共3小题,每小题5分,共15分） 12．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为 . 13．如图，在平行六面体中，，，，，，则 ． 14．某次数学考试的一道多项选择题，学生作答时可以从、、、四个选项中选择一个选项或者多个选项．得分规则是：“全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，若某同学不会做该题目，随机选择一个或两个选项，则该同学能得分的概率是 ． 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18、19题各17分，共77分） 15．2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动． (1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间； (2)求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率． 16．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是的中点. (1)求与所成角的余弦值； (2)求点G到平面的距离. 17．甲、乙两人组成“明日之星队”参加“疫情防控与生命健康”趣味知识竞赛. 每轮竞赛由甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮答题中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求甲在两轮答题中，答对一道题目的概率； （2）求“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率. 试卷第1页，共3页 10月段测考数学试题 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 18．在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)求平面NMF与平面DMF所成角的余弦值； 19．图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点， ． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由。 答案第8页，共9页 10月段测考数学试题 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $