辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（六）

**基本信息** 高二数学期末复习卷，聚焦函数、数列、概率统计、导数核心模块，通过新定义运算、统计案例分析、导数综合应用等试题，分层考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，适配期末复习巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、新定义函数、数列递推|基础概念与创新情境结合，如第2题新定义运算考查数学抽象| |多选题|3/18|函数奇偶性、导数极值|多角度辨析，如第11题导数极值与方程解综合考查逻辑推理| |填空题|3/15|二项式定理、函数单调性|简洁性与综合性并存，如第14题恒成立问题考查转化思想| |解答题|5/77|独立性检验、数列求和证明、导数应用|分层设计，如第15题统计案例培养数据意识，第19题极值点证明提升数学思维|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（六） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数存在两个极值点，满足，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 5．设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．设是两个随机事件，且，，，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．设是定义在上的单调函数，且满足，若是方程的解，且，则（    ） A． B． C． D． 8．比较大小，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 11．已知函数，下列说法正确的有（    ） A．对任意，函数是偶函数 B．若，则函数在上存在极值点 C．若，则函数在上的极小值为b+1 D．若，且方程有两个实数解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式中的系数为，则__________． 13．已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 14．若对任意，恒成立，则的取值范围是______. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）某校对200名学生的心理情况与学习成绩进行问卷调查，通过对照表得到学生的心理测评分数，经过统计得到下表． 学习成绩较好 学习成绩较差 心理情况较好 80 45 心理情况较差 15 60 (1)依据小概率值的独立性检验，分析学生的学习成绩是否与心理情况有关； (2)从上述学习成绩较差的学生中采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中心理情况较差的人数为 ，求 的分布列与数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分）记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 17．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 18．（17分）数列中，是数列的前项和，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)已知， （Ⅰ）若，求数列的前n项和； （Ⅱ）若在和之间插入的前项，得到新数列，且的前项和为，求时，的最小值． 19.（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（六） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【详解】因为，所以，所以. 2．定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【详解】当时，，， 因为在上是单调递增函数，所以，即； 当时，，， 因为在上是单调递减函数，所以，即； 综上可知，的值域为.故选项C正确. 3．已知函数存在两个极值点，满足，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】由极值点处导数值为0，化简得到，，又因为，解得，，所以. 【详解】由，得， 令，则， 不是方程的解，由可得， 令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，，，当时，， 当时，，当时，，由条件可得， 因为存在两个极值点，，所以，， 又因为，所以，，所以，解得，， 所以. 故选：C. 4．已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】利用累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，，， 令，得， 又可得， 所以， 当时也符合上式，所以，则， 所以. 5．设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【详解】，，解得；. 为正项等差数列， ， 当且仅当，即，时等号成立.的最小值为. 6．设是两个随机事件，且，，，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.55 【分析】选项A：利用对立事件概率关系，由已知的补事件概率直接推导并集概率；选项B：通过计算两事件各自概率的乘积，并与已知交事件概率比较，验证独立性条件；选项C：分别计算条件概率与另一条件下的条件概率，对比两者是否相等来判定；选项D：依据条件概率定义，通过交事件概率与另一事件概率的比值进行验证，判断其是否满足题设关系. 【详解】选项A：，选项A正确； 已知，又， 故， 由可得：， 再由，代入得：； 选项B：，等式成立，选项B正确； 选项C：； ，等式成立，选项C正确； 选项D：，选项D错误. 7．设是定义在上的单调函数，且满足，若是方程的解，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【分析】先根据题意求出函数的解析式，再根据关于的方程算出的范围，从而求出的取值. 【详解】因为是定义在上的单调函数， 所以方程中，只存在一个常数满足题意， 令，即， 所以，当时，解得， 所以，即，所以， 因为是方程的解，所以，即， 所以，即， 所以，因为，所以. 8．比较大小，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.42 【分析】通过构造函数，利用导数分析其单调性，利用在上的单调性比较与的大小；构造，用导数分析其单调性，证得，赋值推得，再由，推出，即可比较与的大小，得到最终结果. 【详解】令，则， 当时，，在上单调递增. ， 因，则,两边取对数得，则，即； 设，则， 在上单调递增. 又，即对恒成立. 令得，,又，∴，， 又综上可得，. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【分析】直接对等式通过赋值法、导数法分别计算各选项对应的系数和，再逐一判断选项正误可得. 【详解】选项A：令，代入等式左边得，即，A错误. 选项B：是等式两侧的系数，左边最高次项为，故，B正确. 选项C：令，代入等式左边得，即， 结合得，C错误. 选项D：对等式两侧关于求导， 得， 令，左边值为，即，D正确. 10．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【难度】0.55 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 11．已知函数，下列说法正确的有（    ） A．对任意，函数是偶函数 B．若，则函数在上存在极值点 C．若，则函数在上的极小值为b+1 D．若，且方程有两个实数解，则 【答案】ACD 【难度】0.45 【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且，对任意，函数是偶函数，故A正确. 当时，，， 当时，，故，在上单调递减，无极值点，故B错误. 当时，，， 令，则，故在上单调递增， 又，所以当时，；当时， ， 因此是在上唯一的极小值点，为，故C正确. 当时，结合C选项可知，在处取得最小值，方程有两个实数解，则最小值，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式中的系数为，则__________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】根据二项式定理求指定项的系数以及错位相减法求数列的和分析求解即可. 【详解】由的展开式通项为：， 当时，含的系数为，即， 所以， 令，则，① 此时，② ①②：， 即， 即，所以. 13．已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.65 【详解】， 又，，则， 即对于，，且时，恒成立， 所以函数在上单调递减， 因，则在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以，所以实数的取值范围为 14．若对任意，恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.35 【分析】将不等式变形为，构造函数，得到在上单调递增，从而将问题转化为恒成立，令，，利用导数求出的最大值即可求解. 【详解】因为 所以等价于， 两边同加得 则原不等式等价于 记，则等价于， 因为恒成立，在上单调递增， 所以等价于， 记，，则恒成立等价于， 又，所以当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减；所以， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）某校对200名学生的心理情况与学习成绩进行问卷调查，通过对照表得到学生的心理测评分数，经过统计得到下表． 学习成绩较好 学习成绩较差 心理情况较好 80 45 心理情况较差 15 60 (1)依据小概率值的独立性检验，分析学生的学习成绩是否与心理情况有关； (2)从上述学习成绩较差的学生中采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中心理情况较差的人数为 ，求 的分布列与数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)认为学生的学习成绩与心理情况有关 (2) ． 【难度】0.62 【分析】（1）根据独立性检验的判断方法判断； （2）根据超几何分布求出分布列，再根据期望公式求解. 【详解】（1）零假设：学生的学习成绩与心理情况无关， ，     所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生的学习成绩与心理情况有关，此推断犯错误的概率不大于． （2）抽取心理情况较好的人数为，心理情况较差的人数为，     则的可能取值为,则，， ，，     所以 的分布列为： 则． 16．（15分）记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)由（1）知， 由，得 . 所以数列的前项和， 得， 因此，. 【难度】0.52 【分析】（1）根据前项和与的关系，判断出数列为等差数列，进而求出数列的通项公式. （2）根据第（1）问，表示出数列的通项公式，对裂项，求其前项和，再证明结论成立. 【详解】（1）由正项数列，前项和， 当时，， 整理得，解得舍去. 当时，，所以， 即，整理得， 因为，所以，即是首项为5，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）略 17．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)两个零点 (3)3 【难度】0.52 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理判断； （3）不等式分离参数化为，引入函数，，利用导数求得其最小值并判断最小值所在范围后可得结论． 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为当时，，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数有两个零点． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数的最大值为． 18．（17分）数列中，是数列的前项和，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)已知， （Ⅰ）若，求数列的前n项和； （Ⅱ）若在和之间插入的前项，得到新数列，且的前项和为，求时，的最小值． 【答案】(1)法一：当时， ，，， ， ， ， ， 是常数列，设该常数为k，则，， ，也符合上式，因此是等差数列． 法二： ，， ，①， 又，②， ②-①，则数列是等差数列. 法三： 当时，解得， 当时，，即， ，，，成等差数列， 猜想，. （ⅰ）时，，，成等差数列，猜想显然正确. （ⅱ）假设时猜想正确， 即，， 则当时，， ， ， ， ，，，时，猜想也正确； 综上所述，，对都成立.是等差数列. (2)（Ⅰ）（Ⅱ）54 【难度】0.51 【分析】（1）法一：利用的关系可证是常数列，进而可证结论；法二：利用的关系可得，可证结论；法三：利用数学归纳法可证结论； （2）（Ⅰ）利用已知结合（1）求得，进而得，利用错位相减法可求得数列的前n项和； （Ⅱ）求得与之间插入的k项之和，可得前k组之和，判断的单调性，进而计算可求得的最小值． 【详解】（1）略. （2）（Ⅰ），，， 设数列的前n项和为， ③， ④， 所以③-④得， ， 所以. （Ⅱ）新数列为：，，，，，，…，，，，…，，…， 将此数列分成若干组，，为第一组；，，为第二组；……，，，…，为第k组， 与之间的k项数列的和为：， 可得数列取到后的第k项时：. 前k组之和为： ， 显然随k的增大而增大， 当时，，， ，第44项再往后取m项，使m项的和大于978， 即：， ，当时，，时，， ，有最小值为54． 19.（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)因为的极值点满足，即，即． 因为存在两个极值点等价于方程有两个不同的实根． 令，则的定义域为，， 当时，，则在上单调递减，且； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故在处取得极小值，且． 又当时，，当时，， 所以当，即时，方程有两个不同的实根，且， 故．由，变形得． 令，则，代入上式得， 两边同时取自然对数，得，因此． 要证，即证，只需证，即. 令，，则， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即恒成立， 即，得证． 【难度】0.31 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先将不等式转化为，再构造函数，进而只需求函数在上的最小值，运用导数研究函数单调性及最值可得； （3）先将函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实根，进而可得，且，再令，进而可得及，从而只须证明，即，再构造函数，，用导数求得函数的最小值，从而可得所证不等式. 【详解】（1）当时，，，所以，， 所以切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． （2）由，即，因为，所以不等式可变形为． 令，则“存在，使得成立”等价于大于等于在上的最小值， ． 令，，则． 当时，，故，所以在上单调递增． 因此，故，所以在上单调递增． 所以，因此的取值范围为． （3）略 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $