4 项目式学习(四)（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

**基本信息** 以项目式学习整合因式分解规律探索与十字相乘法，通过归纳推理、反证法及系数分解技巧，构建“具体-抽象-应用”知识逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |规律探索问题|1大题（含2小题及证明）|归纳法（从具体数到一般结论）、反证法（分类讨论奇偶性）|平方差公式应用→数的表示规律→代数推理证明| |十字相乘法分解因式|2大题（任务1-2含3小题）|系数分解与交叉验证（二次项、常数项分解，交叉相乘和为一次项系数）|整式乘法逆向变形→单变量二次三项式分解→二元二次多项式拓展|

项目式学习(四) [教材链接：七下第4章] 1.与因式分解有关的规律探索问题 [见学生用书《项目式学习》P8] 数学兴趣小组开展探究活动，探究了“正整数n能否表示为x2－y2(x，y均为自然数)”的问题。 (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)： n 奇数 4的倍数 表示结果 1＝12－02 4＝22－02 3＝22－12 8＝32－12 5＝32－22 12＝42－22 7＝42－32 16＝52－32 9＝52－42 20＝62－42 … … 一般结论 2n－1＝n2－(n－1)2 4n＝　　　  按上表规律，解答下列问题： ①24＝(　7　)2－(　5　)2。  ②4n＝　(n＋1)2－(n－1)2　。  (2)兴趣小组还猜测：2，6，10，14，…这些形如4n－2(n为正整数)的正整数n不能表示为x2－y2(x，y均为自然数)。师生一起研讨，部分分析过程如下： 假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数。 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝　4(k＋m)(k－m)　，为4的倍数。  而4n－2不是4的倍数，矛盾。故x，y不可能均为偶数。 ②若x，y均为奇数… ③若x，y一个是奇数，一个是偶数… 阅读以上内容，请在①中的横线上填写所缺内容。并将(2)中的分析过程补充完整。 解：(2)假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数。 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k＋m)(k－m)，为4的倍数。 而4n－2不是4的倍数，矛盾，故x，y不可能均为偶数。 ②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝4(k－m)(k＋m＋1)为4的倍数。 而4n－2不是4的倍数，矛盾，故x，y不可能均为奇数。 ③若x，y一个是奇数，一个是偶数，则x2－y2为奇数。 而4n－2是偶数，矛盾，故x，y不可能一个是奇数，一个是偶数。 由①②③可知，猜测正确。 2.探究用“十字相乘法”分解因式 [见学生用书《项目式学习》P9] 根据以下素材，尝试解决问题。 综合与探究：用“十字相乘法”分解因式 素材1 整式乘法与因式分解是方向相反的变形。如何把二次三项式ax2＋bx＋c进行因式分解呢?我们已经知道，(a1x＋c1)(a2x＋c2)＝a1a2x2＋a1c2x＋a2c1x＋c1c2＝a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2。反过来，就得到a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)。 我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2按如图1所示摆放，对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果a1c2＋a2c1的值正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解为(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行。 像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫作“十字相乘法”。 素材2 例如，将x2－x－6分解因式的具体步骤：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6＝2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图2所示摆放，对角线交叉相乘再相加，得到1×(－3)＋1×2＝－1，恰好等于一次项的系数－1，于是x2－x－6就可以分解为(x＋2)(x－3)。 　　　 第2题图 问题解决 任务1 【理解与应用】(1)请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式分解因式： ①2x2＋5x－7＝　(x－1)(2x＋7)　；  ②6x2－7xy＋2y2＝　(2x－y)(3x－2y)　。  任务2 【探究与拓展】(2)对于形如ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解因式，如图4，将a分解成mn，作为一列，c分解成pq，作为第二列，f分解成jk，作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝(mx＋py＋j)(nx＋qy＋k)。请你认真阅读上述材料并尝试解决下列问题： ①因式分解：3x2＋5xy－2y2＋x＋9y－4＝　(x＋2y－1)(3x－y＋4)　。  ②若关于x，y的二元二次多项式x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解成两个一次因式的积，求m的值。 ③已知x，y为整数，且满足x2＋3xy＋2y2＋2x＋3y＝－1，请写出一组符合题意的x，y的值。 解：(2)②∵关于x，y的二元二次多项式x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解成两个一次因式的积， 且1×1＝1，9×(－2)＝－18，(－8)×3＝－24； 7＝1×(－2)＋1×9，－5＝1×(－8)＋1×3， ∴m＝9×3＋(－2)×(－8)＝43或m＝9×(－8)＋(－2)×3＝－78， 故m的值为43或－78。 ③原等式可化为(x＋2y＋1)(x＋y＋1)＝0，故x＝－1，y＝0(答案不唯一)。 学科网（北京）股份有限公司 $