专题05.因式分解专项训练(10大题型+题型突破+压轴专练)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题05.因式分解专项训练 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.添括号 题型06.公式法分解因式的判断 题型07.平方差公式分解因式 题型08.完全平方公式分解因式 题型09.综合运用公式法分解因式 题型10.综合方法分解因式 解答题5题 题型01.因式分解的判断 1．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子变形是正确的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列变形中正确的因式分解有（    ）个． ①        ② ③                ④ A．1 B．2 C．3 D．4 题型02.因式分解的参数问题 4．若多项式可因式分解为，则的值为（　　） A．6 B． C． D．1 5．若多项式因式分解的结果为，则________． 6．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 7．若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 题型03.公因式 8．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 9．把分解因式时，应提取的公因式是________． 10．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 题型04.提公因式法分解因式 11．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 12．因式分解：______． 13．若多项式可以因式分解成，则的值是______． 14．将多项式因式分解，结果为（   ） A． B． C． D． 题型05.添括号 15．若代数式的值为9，则代数式的值为_______. 16．运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 17．如果，则_________． 题型06.公式法分解因式的判断 18．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 19．下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 20．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型07.平方差公式分解因式 21．把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 22．已知：，则__________． 23．把因式分解的结果是________． 24．计算的值是（       ） A． B． C． D． 题型08.完全平方公式分解因式 25．对多项式进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 26．已知，则代数式的值为__________ 27．观察下列各式： 照此规律，___________ 提示： …… 28．有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（   ） ①； ②若第三个整式与第二个整式的差为21，则； ③第2024个整式为； ④当时，． A．1 B．2 C．3 D．4 题型09.综合运用公式法分解因式 29．在有理数范围内因式分解：________． 30．因式分解：______． 31．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型10.综合方法分解因式 32．因式分解：_______． 33．因式分解： ______． 34．把多项式分解因式的结果是___________. 35．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 解答题 36．因式分解： (1)； (2) ． 37．分解因式： (1)； (2)． 38．把下列各式分解因式： (1)． (2)． 39．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为_____ (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 40．仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05.因式分解专项训练 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.添括号 题型06.公式法分解因式的判断 题型07.平方差公式分解因式 题型08.完全平方公式分解因式 题型09.综合运用公式法分解因式 题型10.综合方法分解因式 解答题5题 题型01.因式分解的判断 1．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项右边是和的形式，整个式子没有化为几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误． B选项右边是差的形式，整个式子没有化为几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误． C选项左边多项式变形后为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，正确． D选项变形是整式乘法，是将乘积化为和的形式，不是因式分解，错误． 2．下列式子变形是正确的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义逐个判断即可．能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【详解】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．等号右边有分式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．从左到右的变形属于整式的乘法，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 3．下列变形中正确的因式分解有（    ）个． ①        ② ③                ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义去判断即可． 【详解】根据因式分解的定义可知： ①是将一个多项式化成几个整式的积的形式，属于因式分解； ②是整式的乘法，不是因式分解； ③不是将一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解； ④不能进行因式分解，则④中的变形不属于因式分解； 所以是因式分解的是①． 故选A． 【点睛】本题考查了因式分解的定义即把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，准确理解定义是解题的关键． 题型02.因式分解的参数问题 4．若多项式可因式分解为，则的值为（　　） A．6 B． C． D．1 【答案】B 【分析】将计算后求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ，， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键． 5．若多项式因式分解的结果为，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据因式分解的结果求参数，根据题意可得，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可求出m、n的值，进而可求出答案． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 7．若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【详解】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 题型03.公因式 8．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 通过观察表达式，发现与相等，因此两项均含有公因式． 【详解】解：， ∴ 原式． ∵ 两项都含有因式， ∴ 公因式是． 故选：C． 9．把分解因式时，应提取的公因式是________． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，提取公因式，掌握提取公因式的计算方法是关键． 找出多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，确定公因式． 【详解】解：多项式中， 各项系数为，最大公约数为2， 字母部分，x的最小指数为1，y的最小指数为2，z的最小指数为1， ∴公因式为， 故答案为：． 10．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【详解】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 题型04.提公因式法分解因式 11．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解：提取公因式进行因式分解． 【详解】解：==， 故选：A． 12．因式分解：______． 【答案】 【分析】该题考查了因式分解，运用提公因式法分解因式，通过变形后提取公因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．若多项式可以因式分解成，则的值是______． 【答案】3或 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案． 【详解】解：∵可以因式分解成， ∴ ， 故，或，， 则或． 故答案为：3或． 14．将多项式因式分解，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先提取公因式，再对余下的项进行合并，整理，然后观察，如果能够分解的一定要分解彻底，如果不能分解，就是最后的结果． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查用提公因式法进行因式分解的能力，难点在于把看作一个整体． 题型05.添括号 15．若代数式的值为9，则代数式的值为_______. 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键在于能够利用整体代入的思想求解． 根据代数式的值为，可得，再由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16．运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式对整式进行变形，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行变形即可． 【详解】解： 故选：D． 17．如果，则_________． 【答案】 【分析】由已知可以得到2a−2b的值，再把所得值代入2a−2b+1即可得解． 【详解】解：由题意可得： a-b=-1， 所以2a−2b+1 =2（a-b）+1 =2×(-1)+1 =-1， 故答案为-1． 【点睛】本题考查整式的化简求值，关键是把所求整式变形成能用已知字母或已知整式表示成的形式 ． 题型06.公式法分解因式的判断 18．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式因式分解逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意； B、，不能用平方差公式进行因式分解，该选项符合题意； C、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意； D、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键． 19．下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式的判定；依据完全平方公式结构特征分析，关键是符合的形式． 【详解】解：完全平方式必须满足的形式， A、，不符合完全平方式，故A不符合题意； B、，符合完全平方式，故B符合题意； C、，不符合完全平方式，故C不符合题意； D、，不符合完全平方式，故D不符合题意． 故选：B． 20．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【详解】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 题型07.平方差公式分解因式 21．把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用平方差公式进行分解因式，根据公式为进行分解因式，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 22．已知：，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，利用平方差公式分解因式； 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零，则每个部分均为零，得到，，然后直接利用因式分解求值． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴，， ∴， 故答案为：． 23．把因式分解的结果是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法因式分解， 该多项式是平方差形式，根据公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 24．计算的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，能观察出算式中存在一系列的平方差公式是解题的关键． 先将每个括号中的算式依次用平方差公式因式分解，再先后进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 题型08.完全平方公式分解因式 25．对多项式进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解﹣运用公式法，涉及完全平方差公式，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， A、不是因式分解，不符合题意； B、因式分解错误，不符合题意； C、因式分解错误，不符合题意； D、因式分解正确，符合题意； 故选：D． 26．已知，则代数式的值为__________ 【答案】25 【分析】将式子变形为，对所求代数式运用完全平方公式因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 27．观察下列各式： 照此规律，___________ 提示： …… 【答案】 【分析】找出规律，根据完全平方公式求解即可． 【详解】解： ． 28．有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（   ） ①； ②若第三个整式与第二个整式的差为21，则； ③第2024个整式为； ④当时，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解，理解题意找到规律进行计算是解题的关键．根据题意，先求出、、……，找到规律表示出的代数式，再求出前几个整式，找到规律表示出第个整式，再对题目中的结论逐一分析判断即可． 【详解】解：由题意得，， ， ，故①正确； 以此类推，， ，故④正确； 第一个整式为， 第二个整式为， 第三个整式为， 第四个整式为，…… 以此类推，第个整式为， 第2024个整式为，故③正确； 第三个整式与第二个整式的差为， ， 解得：，故②错误； 综上所述，结论正确的有①③④，共3个． 故选：C． 题型09.综合运用公式法分解因式 29．在有理数范围内因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 30．因式分解：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 31．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 题型10.综合方法分解因式 32．因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和完全平方公式是解题的关键． 先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解. 【详解】解：， 故答案为：． 33．因式分解： ______． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接利用提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 34．把多项式分解因式的结果是___________. 【答案】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可，熟练利用乘法公式是解题关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 35．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对各选项进行因式分解后进行判断即可． 【详解】解：A中，错误，故不符合题意； B中，正确，故符合题意； C中，错误，故不符合题意； D中，错误，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于对因式分解方法的熟练掌握与灵活运用． 解答题 36．因式分解： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 37．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 38．把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提取公因式法因式分解，掌握通过变形统一公因式，以及多次提取公因式的技巧是解题的关键． （1）先变形，将转化为，再提取公因式； （2）直接提取公因式，再合并剩余部分的同类项； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 39．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为_____ (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，去括号和添括号： （1）仿照题意把看作一个整体，根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 40．仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1) (2)9 (3)； 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解，待定系数法的运用，理解题意是解本题的关键． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，k的值为12． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $