3 项目式学习(三)（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

**基本信息** 以新定义问题和数形结合为载体，通过“具体应用-规律推导-直观验证”的递进式设计，系统培养抽象能力、几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义问题|3任务（平衡数）|定义理解→整式运算→规律推导|多项式乘法→消元得常数→数量关系抽象| |数形结合应用|4小题（公式验证）|图形构造→面积转化→代数表达|几何直观→公式推导→综合变形应用|

项目式学习(三) [教材链接：七下第3章] 1.新定义问题 [见学生用书《项目式学习》P6] 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务。 【阅读与思考】对于依次排列的多项式x＋a，x＋b，x＋c，x＋d(a＜b＜c＜d，a，b，c，d是常数)，当他们满足(x＋a)·(x＋d)－(x＋b)(x＋c)＝M，且M是常数时，则称a，b，c，d是一组平衡数，M是该组平衡数的平衡因子。 例：对于多项式x＋1，x＋2，x＋5，x＋6来说， ∵(x＋1)(x＋6)－(x＋2)(x＋5) ＝(x2＋7x＋6)－(x2＋7x＋10) ＝－4， ∴1，2，5，6是一组平衡数，－4是该组平衡数的平衡因子。 【任务一】 (1)已知5，6，7，8是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子M的值。 【任务二】 (2)若2，4，m，9是一组平衡数，求m的值。 【任务三】 (3)当a，b，c，d之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数?写出他们之间的关系，并说明理由。 解：(1)M＝(x＋5)(x＋8)－(x＋6)(x＋7) ＝(x2＋5x＋8x＋40)－(x2＋6x＋7x＋42) ＝x2＋5x＋8x＋40－x2－6x－7x－42 ＝－2。 (2)∵2，4，m，9是一组平衡数， ∴(x＋2)(x＋9)－(x＋4)(x＋m)的结果为常数。 ∵(x＋2)(x＋9)－(x＋4)(x＋m) ＝(x2＋2x＋9x＋18)－(x2＋4x＋mx＋4m) ＝x2＋2x＋9x＋18－x2－4x－mx－4m ＝(7－m)x＋(18－4m)， ∴7－m＝0，∴m＝7。 (3)a＋d＝c＋b。理由如下： ∵a，b，c，d是平衡数， ∴(x＋a)(x＋d)－(x＋b)(x＋c)结果为常数。 (x＋a)(x＋d)－(x＋b)(x＋c) ＝(x2＋ax＋dx＋ad)－(x2＋bx＋cx＋bc) ＝x2＋(a＋d)x＋ad－x2－(b＋c)x－bc ＝(a＋d)x－(b＋c)x＋(ad－bc) ＝[(a＋d)－(b＋c)]x＋(ad－bc)。 ∵结果为常数， ∴(a＋d)－(b＋c)＝0，∴a＋d＝b＋c。 2.借助图形直观感受数与形之间的关系 [见学生用书《项目式学习》P7] 综合与实践。 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则：　(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd　(用图中字母表示)。  ②如图2，写出一个我们学过的公式：　(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2　(用图中字母表示)。  第2题图 问题探究过程 提出问题 (2)仿照图2，构造图形并计算(a＋b＋c)2。 拓展创新 (3)若正数x，y，z和正数m，n，p满足x＋m＝y＋n＝z＋p＝t，请通过构造图形比较px＋my＋nz与t2的大小(画出图形，并说明理由)。 迁移应用 (4)已知x，y，z满足x＋y＋z＝2m，x2＋y2＋z2＝2n，xyz＝12，求x2y2＋y2z2＋x2z2的值(用含m，n的式子表示，直接写出答案即可)。 解：(2)构造图形如答图1， 利用图形面积计算(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc。 图1 图2 第2题答图 (3)构造图形如答图2， 根据图形面积可得：px＋my＋nz＜t2。 (4)∵x＋y＋z＝2m， ∴(x＋y＋z)2＝(2m)2， ∴x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz＝4m2。 ∵x2＋y2＋z2＝2n， ∴2xy＋2xz＋2yz＝4m2－2n， ∴xy＋xz＋yz＝2m2－n， ∴(xy＋xz＋yz)2＝x2y2＋x2z2＋y2z2＋2x2yz＋2xy2z＋2xyz2＝(2m2－n)2， ∴x2y2＋x2z2＋y2z2＝(2m2－n)2－(2x2yz＋2xy2z＋2xyz2)， ∴x2y2＋x2z2＋y2z2＝4m4－4m2n＋n2－2xyz(x＋y＋z)。 ∵xyz＝12，∴x2y2＋x2z2＋y2z2＝4m4－4m2n＋n2－2×12×2m＝4m4－4m2n＋n2－48m。 学科网（北京）股份有限公司 $