专题03 乘法公式重难点题型汇编（八大题型）（高效培优专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题03 乘法公式重难点题型汇编 （八大题型） 【题型一: 平方差公式运算】..............................................................................................................1 【题型二:平方差公式的几何背景】....................................................................................................3 【题型三:完全平方公式】...................................................................................................................9 【题型四: 完全平方公式下得几何背景】........................................................................................10 【题型五: 完全平方公式的逆运算】.................................................................................................17 【题型六：求完全平方式中的字母系数】.........................................................................................20 【题型七：整式的混合运算】............................................................................................................21 【题型八：整式的化简求值】............................................................................................................25 【题型一: 平方差公式运算】 1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式的使用条件：两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该条件即可用平方差公式计算，据此判断各选项． 【详解】解：平方差公式的结构为， A选项：中，含的项为和，既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； B选项：，两项均互为相反数，无完全相同的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； C选项：，两项均互为相反数，无完全相同的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； D选项：，其中是完全相同的项，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算． 2．计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．根据平方差公式解答即可． 【详解】解：∵ ∴原式 故选：B． 3．计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将式子变形后利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 4．已知，，则计算的结果为（   ）． A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，利用平方差公式进行化简是解题的关键． 首先利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 故选：D． 5．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 先由平方差公式进行两次计算，再由完全平方公式计算． 【详解】解： ， 故选：B． 【题型二:平方差公式的几何背景】 6．如图，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个长方形．用这两个图的面积表示下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式分别表示两个图形的面积即可． 【详解】解：将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形阴影部分，剩余部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，将这两个长方形拼成一个长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以有， 故选：C． 7．如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示） (2)直接应用：利用这个等式计算： ①； ②； (3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：． 【答案】(1) (2)①9996；② (3) 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． (1)用代数式表示图1，图2中阴影部分的面积即可； (2)①写成，利用平方差公式进行计算即可； ②利用平方差公式进行计算即可； (3)配上因数，连续利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为：， 图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ； 故答案为：； （2）①解： ； ②解： ； （3）解： ． 8．（）将图①中的涂色部分裁剪下来，重新拼成一个如图②所示的长方形，通过比较图①②中涂色部分的面积，可以得到的整式乘法公式为______； （）运用你所得到的乘法公式，计算：； （）计算：． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）分别表示出涂色部分的面积，进而即可求解； （）将算式转化为，再利用平方差公式计算即可； （）利用平方差公式对每个括号内的算式因式分解，再计算即可； 本题考查了平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）图①中涂色部分的面积为，图②中涂色部分的面积为， ∴可以得到的整式乘法公式为， 故答案为：； （）； （）原式 ． 9．如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．设图中阴影部分的面积为，图中阴影部分面积为． (1)用含有字母和的式子分别表示与的面积：______，______ (2)根据图与图的面积相等关系得到等式，运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：． 运用上述方法计算． 【答案】(1)， (2)39999 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形． （1）图1阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，图2阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此求出两幅图中阴影部分面积； （2）根据（1）中两部分阴影面积相等即可得到对应的公式；将原式变形为，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得；， 故答案为：；； （2）解：∵图1和图2中阴影部分面积相同， ∴； ∴ ． 10．【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 【答案】【探究】；【应用】（1）3；（2）1；【拓展】5050 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 【探究】根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； 【应用】（1）根据平方差公式进行计算即可求解．（2）根据平方差公式进行计算即可求解； 【拓展】根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：【探究】图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，所以得到乘法公式． 故答案为： 【应用】（1）∵， ∴． ，且， ． 故答案为：3 （2） ． 【拓展】原式 ． 11．【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)由上面的拼图可以得到一个乘法公式：________； (2)【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． (3)计算：的个位数字． 【答案】(1) (2)①4；②1 (3)6 【分析】此题主要考查了平方差公式的几何背景，正整数幂的尾数特征，准确识图，熟练掌握平方差公式的结构特征，正整数幂的尾数特征是解决问题的关键． （1）根据图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，再由图①，图②中阴影部分的面积相等即可得出答案； （2）①根据得，由（1）中的乘法公式得，将代入计算可得的值； ②变形得，再利用平方差公式求解即可； （3）先计算，再根据，，，，，，…，得到的个位数字为6，然后根据得的个位数字为6，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：∵图①中大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴图①中阴影部分的面积为：， ∵图②中阴影部分是一个长为，宽为的长方形， ∴图②中阴影部分的面积为：， 由拼图可知：图①中阴影部分的面积图②中阴影部分的面积， ∴得到的一个乘法公式是：， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， 即， 由（1）中的乘法公式得：， ∵， ∴， 故答案为：4； ② ； （3）解： ， ∵，，，，，，…， ∴的个位数字为6， 又∵， ∴的个位数字为6， ∴的个位数字为6． 【题型三:完全平方公式】 12．已知，则代数式的值是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式求值，掌握完全平方公式的运算法则是解题的关键，注意整体思想的运用．先将已知条件变形得到，再将代数式通过完全平方公式变形为，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 13．将关于的多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式将展开，与原多项式比较即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵原多项式为， ∴， 故选：． 14．计算：______． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，通过观察表达式结构，将其转化为完全平方形式以简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：1. 15．若，则_______． 【答案】6 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 根据完全平方公式可求出的值，然后代入原式即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：6． 16．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据进行展开，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 17．已知：，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 根据完全平方公式把展开后，把，代入计算即可． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：9． 【题型四:完全平方公式下的几何背景】 18．【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）①12；②7 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的探索与应用，解决本题的关键是由面积得到乘法公式并进行变形代值求解． （1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，由此可得结论． 根据图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，也可以由两个正方形与两个长方形的面积表示，由此可得结论． （2）①根据平方差公式，将变形为代值求解即可． ②根据完全平方公式，先求解，由此可求解． 【详解】解：（1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，即， 图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，即， ∴比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：． 故答案为：． 图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，即， 图3大正方形的面积也可表示为两个正方形，即；两个长方形，即， ∴图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式：． 故答案为：． （2）①∵，， ∴． 故答案为：12． ②∵，，即， ∴． 19．通过第14章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到；如图2可以得到：；现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 根据图中条件，猜想与之间的关系(用含为、的代数式表示，不需要证明)； (2)【解决问题】 ①若，，则= ． ②当时，求的值． (3)【拓展提升】 如图4，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为24，求两个正方形的面积和． 【答案】(1) (2)①；② (3)52 【分析】本题围绕完全平方公式的几何意义及应用展开，融合了“图形面积推导代数公式”“公式变形求值”“几何图形与代数关系转换” ，核心考查对的理解与灵活运用，体现数形结合思想，是初中代数与几何综合的典型题型． （1）通过图形面积的“整体——部分”表示，推导与的关系，是完全平方公式几何意义的延伸，体现“数形结合”； （2）①逆用完全平方公式，通过已知“和与平方和”求“积” ，是公式变形的基础应用； ②通过换元法，将复杂式子转化为完全平方公式形式，再利用（1）中推导的关系求值，体现“转化思想”； （3）将几何图形（正方形、长方形）的边长关系，转化为代数中的与，再用完全平方公式求解，是数形结合的深度应用． 【详解】（1）解：如图3所示：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 大正方形的面积为，小正方形的面积为， 另一方面：大正方形是由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成， ； （2）解：①， ， ，， ， ； ②设，， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ； （3）解：设，， ， ， 图中阴影部分面积为24， ， 四边形和四边形均为正方形， ， ， ， ． 20．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：________________（请选择正确的选项）； A．             B． C．             D． (2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列问题： ①试说明（为整数）是3的倍数； ②已知，，求的值． 【答案】(1)D (2)①见解析；② 【分析】本题考查完全平方公式及平方差公式在几何中得应用，解题的关键是利用公式表示出图形的面积； （1）表示出两个图阴影部分的面积，再根据相等即可求解； （2）①计算出，再根据为整数，得出是3的倍数即可；②利用完全平方公式及平方差公式进行因式分解得出即可求解． 【详解】（1）解：根据图1知，阴影部分的面积是等于大正方形的面积减去小正方形的面积为， 图2知，阴影部分的面积是矩形的面积为， 故， 故选：D； （2）解：①， ∵为整数， ∴整数， ∴是3的倍数， ∴（为整数）是3的倍数； ②∵， ∴，，， ， ∵， ∴． 21．图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形． (1)根据图形可知，图2中，大正方形的边长为_______，阴影部分的面积为_________； (2)观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系__________； (3)根据（2）中得到的等量关系，解决问题：已知小长方形的周长为，面积为，则求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面积的和差关系式是解题的关键． （1）根据图2可得出大正方形的边长和阴影部分的正方形的边长，可得结论； （2）根据图形各个部分面积之间的和差关系即可得出结论； （3）设这个长方形的长为a，宽为，则，，利用（2）中的结论，将数据代入然后进行计算即可． 【详解】（1）解：根据图形可知，图2中，大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：；； （2）解：由（1）知：图2中阴影部分的面积为， 阴影部分的面积也可以看作大正方形与4个小长方形的面积差，即为， ∴代数式，和之间的数量关系是：； （3）解：这个小长方形的长为，宽为，则，， ∴， 由（2）知：， ∴阴影部分的面积是． 22．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形． (1)利用不同的代数式表示图2的面积，写出你从中获得的等式为______； (2)填空： ①已知，则______； ②已知x满足，则______． (3)学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以为边的正方形，且两正方形的面积和，点是线段上的点，若，求用来种花的阴影部分（即直角三角形）的面积． 【答案】(1) (2)①；② (3)用来种花的阴影部分（即直角三角形）的面积为 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，理解图示中面积的计算，掌握完全平方公式的变形计算是关键． （1）根据题意，空白部分面积为，阴影部分的面积为，大正方形的面积为，由此累计求解； （2）①根据题意，可得，代入计算即可；②令，则，，代入计算即可求解； （3）设，，，代入计算即可． 【详解】（1）解：空白部分面积为，阴影部分的面积为，大正方形的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∴； ②令， ∴， ∴， ； 故答案为：①；②； （3）解：设， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∵阴影部分的面积为， ∴用来种花的阴影部分（即直角三角形）的面积为． 23．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式． (1)类似的，写出图2中所表示的数学等式为______； (2)如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为______； (3)利用上面（2）的结论解决问题：若，求的值； (4)利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式、列代数式等知识点，灵活运用完全平方公式进行解题是解答本题的关键． （1）根据大长方形的面积等于两个小长方形的面积之和，即可求解； （2）根据大正方形的面积等于四个小长方形的面积与小正方形的面积之和，即可求解； （3）由（2）可知：，即可求解； （4）由图可知：阴影部分的面积，化简后即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：， 故答案为：； （2）解：由图可知：， 故答案为：； （3）解：由（2）可知：， ∴， 解得：， 故答案为： （4）解：由图可知：阴影部分的面积 【题型五:完全平方公式的逆运算】 24．已知，求： (1) ； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用多项式乘多项式进行变形，然后代数求解即可； （2）利用完全平方公式进行变形，然后代数求解； （3）利用完全平方公式进行变形，然后代数求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 25．已知，求： (1)； (2)的值 【答案】(1)13 (2)1 【分析】（1）化为，代值计算即可； （2）化为，代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 26．题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与x互为相反数， 所以我们不妨设，． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． (1)若，求的值； (2)若x满足，求的值． 【答案】(1) 43 (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握换元法以及完全平方公式的变形是解题的关键． （1）设，，得到，，利用完全平方公式变形计算即可； （2）设，，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：设，，则，， ， ； （2）解：设，，则 ， ， ， ， ， 解得：， ． 27．已知：，．求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1)17 (2)21 (3)5或 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式进行运算， （1）将整理为，然后将，代入求值即可； （2）将整理为，然后将，代入求值即可； （3）首先将整理为，将，代入求得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵，， ∴， ∴或． 28．阅读下列材料并解答后面的问题： 完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，求的值． 解：． 通过对例题的理解解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)34 【分析】本题主要考查了完全平方的变形求值，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：∵， ∴， ． 【题型六：求完全平方式中的字母系数】 29．若式子是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．20 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求完全平方式中字母的系数． 根据完全平方式的结构特征，即可得的值． 【详解】解：∵式子是一个完全平方式， ∴， ∴的值为． 故选：C． 30．若是一个完全平方式，则k的值为（   ） A．4 B．24 C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构，先确定首项和末项对应的平方底数，再根据完全平方式的两种形式计算中间项系数即可. 【详解】解：∵ 完全平方公式为， 又∵，， ∴， ∴. 31．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴，， ∴， ∴． 32．若 是完全平方式，则 m 的值等于（    ） A．9 B．5或 C．9或 D．5 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方式，得到，求出m的值即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得或． 故选C． 【题型七：整式的混合运算】 33．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再去括号，合并同类项即可； （2）先利用多项式乘以多项式法则和完全平方公式计算，再去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．计算： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）分别计算多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式，再合并同类项即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项即可； （3）先利用积的乘方、同底数幂的乘除法法则计算，再合并同类项即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）首先进行积的乘方运算、单项式除以单项式运算，再进行单项式乘以单项式运算，然后合并同类项即可； （2）首先根据平方差公式和单项式乘以多项式运算法则进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 36．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算，包括完全平方公式、平方差公式、幂的运算和整式的乘除．解题时需熟练掌握相关运算法则，逐步计算． （1）先根据完全平方公式计算，再去括号即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘法和除法，然后合并同类项即可； （3）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项； （4）先算括号里，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 37．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算法则的应用，熟记单项式乘以多项式法则，多项式乘以多项式法则，多项式除以单项式法则的内容是解此题的关键． （1）先展开乘法，然后合并同类项； （2）先计算乘方，再除法运算． 【详解】（1）解： （2）解： 38．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式的展开形式是解题关键． （1）先展开完全平方、多项式乘法，再算多项式除以单项式，最后去括号，合并同类项； （2）先算单项式乘多项式，用平方差公式展开多项式乘法，再展开完全平方，最后去括号，合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型八：整式化简求值】 39．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算、多项式乘以多项式、代数式求值，关键是熟练应用运算法则进行计算； 先算多项式乘多项式、再去括号合并同类项化简，最后代入求值． 【详解】解： 当时，原式． 40．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先利用乘法公式与单项式乘以多项式计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的结果进行计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 41．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握相应的运算法则． 利用完全平方公式及多项式除以单项式计算，然后合并同类项，代入求解即可． 【详解】解： 当时， 原式． 42．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算与代数式求值，解题的关键是先利用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式化简括号内的式子，再进行除法运算，最后代入求值． 先计算括号内的完全平方、单项式乘多项式、平方差公式，合并同类项后除以，再代入的值计算． 【详解】解： 将代入化简结果： 原式． 43．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．先利用平方差公式和完全平方公式展开并化简括号内的表达式，然后合并同类项，再除以 ，最后代入 和 求值，即可求解． 【详解】解： 当 ， 时， 原式 44．先化简，再求值：，其中． 【答案】，18 【分析】本题主要考查了完全平方公式、多项式乘法法则以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式、多项式乘法法则和非负数的性质是解题的关键． 先根据完全平方公式、多项式乘法法则化简代数式，再利用非负数的性质求出、的值，最后代入求值． 【详解】解： ， 因为，且，， 所以，， 解得，． 当，时，原式． 45．已知． (1)化简这个代数式． (2)若，求原代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简和代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用完全平方公式和多项式乘以多项式的运算去括号，再合并同类项即可； （2）将代入，进而得到原代数式的值，即可解题． 【详解】（1）解： （2）解：当时， 原式． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 乘法公式重难点题型汇编 （八大题型） 【题型一: 平方差公式运算】..............................................................................................................1 【题型二:平方差公式的几何背景】....................................................................................................1 【题型三:完全平方公式】...................................................................................................................4 【题型四: 完全平方公式下得几何背景】........................................................................................4 【题型五: 完全平方公式的逆运算】.................................................................................................8 【题型六：求完全平方式中的字母系数】.........................................................................................9 【题型七：整式的混合运算】............................................................................................................9 【题型八：整式的化简求值】............................................................................................................11 【题型一: 平方差公式运算】 1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：（   ） A．1 B． C． D． 3．计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 4．已知，，则计算的结果为（   ）． A． B．1 C．5 D．6 5．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【题型二:平方差公式的几何背景】 6．如图，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个长方形．用这两个图的面积表示下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示） (2)直接应用：利用这个等式计算： ①； ②； (3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：． 8．（）将图①中的涂色部分裁剪下来，重新拼成一个如图②所示的长方形，通过比较图①②中涂色部分的面积，可以得到的整式乘法公式为______； （）运用你所得到的乘法公式，计算：； （）计算：． 9．如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．设图中阴影部分的面积为，图中阴影部分面积为． (1)用含有字母和的式子分别表示与的面积：______，______ (2)根据图与图的面积相等关系得到等式，运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：． 运用上述方法计算． 10．【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 11．【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)由上面的拼图可以得到一个乘法公式：________； (2)【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． (3)计算：的个位数字． 【题型三:完全平方公式】 12．已知，则代数式的值是 （   ） A． B． C． D． 13．将关于的多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．计算：______． 15．若，则_______． 16．计算：________． 17．已知：，，则________． 【题型四:完全平方公式下的几何背景】 18．【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 19．通过第14章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到；如图2可以得到：；现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 根据图中条件，猜想与之间的关系(用含为、的代数式表示，不需要证明)； (2)【解决问题】 ①若，，则= ． ②当时，求的值． (3)【拓展提升】 如图4，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为24，求两个正方形的面积和． 20．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：________________（请选择正确的选项）； A．             B． C．             D． (2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列问题： ①试说明（为整数）是3的倍数； ②已知，，求的值． 21．图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形． (1)根据图形可知，图2中，大正方形的边长为_______，阴影部分的面积为_________； (2)观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系__________； (3)根据（2）中得到的等量关系，解决问题：已知小长方形的周长为，面积为，则求阴影部分的面积． 22．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形． (1)利用不同的代数式表示图2的面积，写出你从中获得的等式为______； (2)填空： ①已知，则______； ②已知x满足，则______． (3)学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以为边的正方形，且两正方形的面积和，点是线段上的点，若，求用来种花的阴影部分（即直角三角形）的面积． 23．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式． (1)类似的，写出图2中所表示的数学等式为______； (2)如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为______； (3)利用上面（2）的结论解决问题：若，求的值； (4)利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【题型五:完全平方公式的逆运算】 24．已知，求： (1) ； (2) (3) 25．已知，求： (1)； (2)的值 26．题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与x互为相反数， 所以我们不妨设，． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． (1)若，求的值； (2)若x满足，求的值． 27．已知：，．求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 28．阅读下列材料并解答后面的问题： 完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，求的值． 解：． 通过对例题的理解解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【题型六：求完全平方式中的字母系数】 29．若式子是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．20 B． C． D． 30．若是一个完全平方式，则k的值为（   ） A．4 B．24 C． D． 31．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 32．若 是完全平方式，则 m 的值等于（    ） A．9 B．5或 C．9或 D．5 【题型七：整式的混合运算】 33．计算： (1) (2) 34．计算： (1)； (2) (3) (4) 35．计算： (1)； (2)． 36．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 37．计算： (1)； (2)． 38．计算： (1)(2) 【题型八：整式化简求值】 39．先化简，再求值：，其中． 40．先化简，再求值：，其中 41．先化简，再求值：，其中． 42．先化简，再求值：，其中，． 43．先化简，再求值：，其中，． 44．先化简，再求值：，其中． 45．已知． (1)化简这个代数式． (2)若，求原代数式的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $