精品解析：北京市大兴区2025-2026学年度第二学期期末练习初二数学

2025~2026学年度第二学期期末练习 初二数学 2026.07 考生须知 1．本试卷共9页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是最简二次根式； B、不是最简二次根式； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式. 2. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】解： A选项：∵，，∴， ∴不能组成直角三角形； B选项，∵，，∴，∴不能组成直角三角形； C选项，∵，，∴，∴能组成直角三角形； D选项，∵，，∴，∴不能组成直角三角形. 3. 下列各曲线中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：观察可知，对于A，B，C选项中的图象，对于每一个确定的的值，都有唯一确定的值与之对应，能表示是的函数； 对于D选项中的图象，存在一个确定的的值，对应2个值，不能表示是的函数. 4. 正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入函数式，即可求出系数的值，进而得到函数解析式． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， 将代入，得 ， 解得 ． 这个正比例函数的解析式为． 5. 如图，在中，平分交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，再根据线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， . 6. 致远中学以“沉墨色，品书香”为主题开展演讲比赛，9位评委分别给出某选手的原始评分．如果从9个原始评分中去掉一个最高分和一个最低分后得到7个有效评分，分别计算9个原始评分与7个有效评分的极差、中位数、平均数、方差，在这四个统计量中，一定不会发生变化的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【详解】解：将9个原始评分从小到大排序， ∵9个原始评分的中位数是排序后的第5个数据，去掉1个最高分和1个最低分后得到7个有效评分， 有效评分的中位数是排序后的第4个数据，该数据就是原序列中的第5个数据，大小不变， ∴中位数不会发生变化； 极差是最大值减最小值，去掉最大最小值后极差可能改变； 平均数受极端值的影响，可能发生变化； 方差反映数据的波动程度，去掉两端极值后数据波动可能改变，方差可能变化， 故只有中位数一定不变. 7. 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面高处出发，以的速度上升；2号气球从距离地面高处出发，以的速度上升，两个气球都上升了．两个气球距离地面的高度（单位：）与上升时间（单位：）的函数关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当气球上升时，2号气球距离地面的高度是 B. 当两个气球的高度差为时，气球上升的时间是 C. 当气球上升时，1号气球距离地面的高度高于2号气球距离地面的高度 D. 在某时刻，1号气球距离地面的高度比2号气球距离地面的高度高 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出两个气球高度与时间的函数关系式，然后针对每个选项进行计算或判断即可 ． 【详解】解：根据题意得：1号气球的函数关系式为，其中； 2号气球的函数关系式为，其中； 对于A，当时，，故A错误； 对于B，令，即，解得， 或，解得或， 当高度差为时，时间为或，故B错误； 对于C，当时，，， 由于，则1号气球高度高于2号气球，故C正确； 对于D，令，即，解得 ， ，则 不合题意，故D错误． 8. 在平面直角坐标系中，已知点，，对于直线，给出下面三个结论： ①直线经过点； ②当时，直线与直线平行； ③若直线与线段有交点，则的取值范围是且． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】当时，，可以判断①；待定系数法确定直线的解析式为：，可以判断②；根据直线过定点，一次函数的性质，待定系数法，求解即可； 【详解】解： 当时，， 故直线经过点 故①正确； 设经过点，的直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 故时，直线与直线平行， 故②正确； 根据题意，得直线过定点， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为： 当直线与直线重合时，与线段有交点，且为点B， 此时， 当直线靠近y轴时，直线与线段有交点， 根据越靠近y轴，k的绝对值越大，此时k是正数， 故； 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为： 当直线与直线重合时，与线段有交点，且为点A， 此时， 当直线靠近y轴时，直线与线段有交点， 根据越靠近y轴，k的绝对值越大，此时k是负数， 故； 综上所述，直线与线段有交点时，的取值范围是或， 故③错误． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 10. 中式窗格是我国传统建筑里灵动的诗意符号，窗格图案背后蕴藏着东方美学智慧．如图1是传统建筑中的一种窗格，图2是它的窗框示意图，这个多边形为正八边形，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的性质可知正八边形的各内角相等，利用多边形内角和公式求出正八边形的内角和，再除以边数即可求出  的度数 【详解】解：∵多边形  为正八边形， ∴该多边形的边数 ，且各内角相等 ， 根据多边形内角和公式可得，正八边形的内角和为 ， ∴ ， 故答案为 . 11. 若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质判断函数增减性，再结合两点横坐标大小判断纵坐标大小. 【详解】解：在一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵点，，在一次函数的图象上，且， ∴. 12. 如图，在中，对角线，相交于点，点，是上的两点，连接，．若再添加一个合适的条件，就可以证明，这个条件可以是________（填写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质得到相等线段与相等角，再添加合适条件构造全等三角形，进而证出线段． 【详解】解：已知条件：四边形是平行四边形，对角线，相交于点，点、在上， 证明过程：（添加条件：） 四边形是平行四边形， ，且， ， ， 在和中： ， ， ． 其他可添加的条件： ① 四边形是平行四边形， ， 又，结合，可证，从而得到； ② 由得， 结合、，可证，从而得到． 13. 已知直线与直线的交点坐标为，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出，交点坐标为，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：直线与直线的交点坐标为， ， 交点坐标为， 关于、的二元一次方程组的解为． 14. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．意思是：一根竹子高1丈（1丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，求折断处离地面的高度是多少？若设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理列出方程即可. 【详解】解：1丈尺， 设折断处离地面的高度为尺，则折断后竹子顶端到折断处的长度为 尺， 根据勾股定理，得. 15. 有一组整数数据：4，17，8，14，12，a，18，3，5，5，4，11，12，其箱线图如图所示，则这一组数据的第一四分位数是________，数据a的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据箱线图读取最小值、最大值、中位数、第一四分位数和第三四分位数. 统计数据的总个数，确定中位数、四分位数在排序后数据中的位置. 结合已知数据排序，利用中位数确定  的取值范围，利用第三四分位数的数值建立方程求解 ，并计算第一四分位数． 【详解】解：这组数据共13个整数， 将已知数据从小到大排序：， 由箱线图可知，中位数为11，第一四分位数为 ，第三四分位数为 ． ∵数据总数为 ， ∴中位数是第  个数，第一四分位数是第  个数和第  个数的平均数， 第三四分位数是第  个数和第  个数的平均数． ∵中位数为 ，且已知数据中小于  的有  个， ∴ ． ∵第一四分位数为 ，即 ， 已知前  个数为 （当  时），，符合题意． ∵第三四分位数为 ，即 ， ∴ ． 大于等于  的数据有  和 ． 排序后第  个数为 ， 则第  至  个数为  的排序． 若 ， 则第  个数为 ，第  个数为 ． ∴ ， 解得 ． 经检验， 符合题意． 故答案为，． 16. 如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，． 若，，给出下面三个结论： ①当线段的长度取得最大值时，线段的长度取得最小值； ②四边形可能是正方形； ③当时，四边形的面积为的面积的一半． 所有正确结论的序号是________． 【答案】 ③ 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和中心对称性，可判定四边形为菱形．对于①，分析和取得最值时的位置关系，判断是否同时取得；对于②，比较和的长度范围，结合判断是否可能相等；对于③，当时，推导与的位置关系，利用面积公式计算验证． 【详解】解：四边形是平行四边形，为中点， 为平行四边形的对称中心， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 对于①：当与重合，与重合时，线段的长度取得最大值， 此时重合于． ， ． 当时，线段的长度取得最小值， 在中，与不平行， 与不能同时成立， 当最大时，不是最小，故①错误； 对于②： ， ， ， 是平行线与间的距离， 在上，在上，过点， ，当时取等号． 在上，在上，过点， ，当时取等号，此时． ， ，即恒成立． 正方形的对角线相等， 四边形不可能是正方形，故②错误； 对于③：当时，为平行线与间的距离，设为 ． ， ． 直线过中点，且，， 四边形为平行四边形， ， 菱形的面积． 的面积， ，故③正确． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27题8分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】，，，二次根式结果要化到最简． 【详解】解： 18. 计算：已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】将代数式化为，再代入数值计算即可. 【详解】解：∵， ∴ . 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点． （1）求一次函数的解析式； （2）该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两直线平行时一次项系数相等设出函数解析式，再将已知点坐标代入解析式求出截距，确定一次函数解析式； （2）分别令、求出一次函数与轴、轴的交点坐标，得到直角三角形两条直角边的长度，再结合直角三角形面积公式计算的面积． 【小问1详解】 解：设该一次函数的解析式为， 该函数图象与直线平行， ，即解析式为， 又函数图象经过点， 将代入解析式：， 解得， 该一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得， 点坐标为， ， 令，则， 点坐标为， ， ， 是直角三角形， ． 20. 尺规作图： 如图，在中，，． 在边上求作一点，使得的面积等于的面积的一半（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】解：如图所示，点D所求． 【解析】 【分析】作的垂直平分线，交于点D，连接，则是的中线，根据三角形中线的性质可得． 【详解】略 21. 阅读材料： 在数学课上，有这样一道问题： 如图1，在中，是边的中点，求证：． 小华的证明方法是： 证明：如图2，延长到点，使得，连接． 是的中点， ． 又，， ． ． 在中， ， ． ，， ． ． 通过交流讨论，同学们又发现了其他的辅助线添加方法． 请你添加两种辅助线并补全图形并证明． （1）方法1：延长到点，使得，连接． （2）方法2：取的中点，连接． 【答案】（1）证明：延长到点，使得，连接． ∵，点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：取的中点，连接． ∴， ∵点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点，使得，连接，可得是的中位线，因此，再根据三角形的三边关系即可证明； （2）取的中点，连接，则，根据点D是的中点，点E是的中点，得到，，代入即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F；求证：DF=DC． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据矩形的性质和DF⊥AE于F，可以得到∠DEC=∠AED，∠DFE=∠C=90°，进而依据AAS可以证明△DFE≌△DCE．然后利用全等三角形的性质解决问题． 【详解】连接DE． ∵AD=AE， ∴∠AED=∠ADE． ∵矩形ABCD， ∴AD∥BC，∠C=90°． ∴∠ADE=∠DEC， ∴∠DEC=∠AED． 又∵DF⊥AE， ∴∠DFE=∠C=90°． ∵DE=DE， ∴△DFE≌△DCE． ∴DF=DC． 【点睛】考点：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定与性质． 23. 夏日如约至，瓜香满大兴．某西瓜采摘园今年采取线上和线下相结合的方式销售，顾客可以通过网络平台在直播间线上购买，也可以线下到西瓜园先采摘再购买．若购买西瓜所需费用元，两种购买方式的具体费用标准如下： 线上：在直播间购买，所需费用与的函数解析式为； 线下：在西瓜园采摘购买，不超过时，每千克西瓜的价格为元；超过时，超过部分每千克西瓜的价格为10元．线下购买所需费用与的函数关系如图所示： （1）的值为________； （2）直接写出在西瓜园采摘购买西瓜所需费用与之间的函数解析式； （3）小方想购买西瓜，选用哪种购买方式更合算，请说明理由． 【答案】（1）16 （2） （3）解：若在线上购买，当时，（元）， 若在线下购买，当时，（元）， ∵， ∴选用线上购买更合算． 【解析】 【分析】（1）由图象可得，当时，，即可求解； （2）根据题意分和，列出函数解析式即可； （3）分别求出线上和线下购买时的费用，比较即可解答． 【小问1详解】 解：由图象可得，当时，， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）有， 当时，， 当时，， 综上所述，y关于x的函数解析式为． 【小问3详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求该函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点和代入函数解析式求解即可； （2）根据题意列出不等式，结合的条件，分别求解出不等式，与不等式的的范围，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点和， 则，解得， ∴该函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意，当时，对的每一个值都有， 由不等式，得， 要使所有都满足该不等式，可得，解得， 由不等式，得， 要使所有都满足该不等式，可得，解得， 综上，的取值范围为． 25. 为落实北京市2026年“课间一刻钟”体育活动提质要求，某校八年级开展一分钟跳绳班级选拔赛，体育老师从某班甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一人参加年级比赛．对这四名同学最近10次一分钟跳绳测试成绩（单位：个）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲同学10次测试成绩（从小到大排列）： 179，180，181，182，182，182，183，183，185，185 b．乙、丙两名同学10次测试成绩： c．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 182.2 182.2 182.2 中位数 182.0 183.0 182.5 方差 3.36 3.96 3.36 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为________，的值为________； （2）表中________3.96（填“>”“=”或“<”） （3）根据这10次测试成绩，体育老师按如下方式评估四名同学的实力强弱：①先比较平均数，平均数较大者实力更强；②若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；③若平均数、方差分别相等，则测试成绩大于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名同学按实力由强到弱依次为________． 【答案】（1）；182 （2）＞ （3）丁甲乙丙 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算方法求出m的值；根据中位数的定义求出n的值； （2）根据方差计算公式求出p，即可解答； （3）根据评估方式解答即可． 【小问1详解】 解：． 将乙同学的成绩排序为：178，181，181，182，182，182，183，183，184，186， 共有10个数据，中位数是第5个和第6个数据的平均数，为． 【小问2详解】 解：丙的10次成绩的平均数为， 方差为， ∴． 【小问3详解】 解：四名同学成绩的平均数相同，但甲丁成绩的方差比乙丙成绩的方差小，故甲丁的实力比乙丙强； 另外甲丁成绩的方差相同，甲的成绩大于平均数有4次，丁的成绩的中位数是182.5，大于平均数182.2，因此丁的成绩大于平均数至少有5次，故丁的实力最强，甲的实力次之； 乙和丙的成绩平均数相同，乙成绩的方差小于丙成绩的方差，则乙的实力比丙强； 综上所述，这四名同学按实力由强到弱依次为丁甲乙丙． 26. 某智慧校园内有一个三角形智能巡检区域．如图所示，在中，，，一台智能巡检机器人从点出发，沿着路径移动，最终到达点停止．在机器人的移动过程中，系统会自动记录当前它与固定监测点，所构成的三角形的“监测覆盖面积”，即的面积．设机器人移动的路程为（单位：），的面积为（单位：），工程师需要建立关于的函数关系模型．探究过程如下，请补充完整． （1）实验记录部分数据如下： （单位：） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 （单位：） 0 0 则的值是________； （2）在平面直角坐标系中，请补全数对所对应的点，并画出该函数的图象； （3）观察函数图象，请写出该函数的一条性质：________； （4）当“监测覆盖面积”不大于时，机器人的移动路程（单位：）的取值范围是________． 【答案】（1）48 （2） （3）由图象可得，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． （4）或 【解析】 【分析】（1）当时，机器人P位于点A的位置，y即为的面积．过点A作于点D，根据勾股定理求出，即可求出的面积，即可解答； （2）根据表中数据描点并连线即可； （3）根据（2）的图象解答即可； （4）根据表格的数据结合（2）的函数图象解答即可． 【小问1详解】 解：∵，机器人移动的路程为（单位：）， ∴当时，机器人P位于点A的位置，y即为的面积． 过点A作于点D， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴当时，，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由表格可知，当或时，， ∴根据（2）的图象可得，当时，或． 27. 在正方形中，点是边上一点（不与点，重合），连接，点在边的延长线上，且，连接交于点． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点作，垂足为，交于点． ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； ②当点为边的中点时，若，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）解：①，证明如下： 由（1）有， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴． ∵由（1）有是等腰直角三角形，即，， 又， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，，因此，从而证明，即可推出是等腰直角三角形，从而得． （2）①由得到，根据得到，即有．根据是等腰直角三角形，结合“三线合一”得到，即可证明，因此，从而根据线段的和差及等量代换得出； ②由点N是的中点，得到．连接，设，则，，证明得到，在中根据勾股定理构造方程，求得，，由①有，从而在中根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【小问2详解】 ①略 ②解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点N是的中点， ∴． 连接， 设，则，， ∵，，， ∴， ∴． ∵在中，， ∴，解得， ∴，， 由①有， ∴， ∴在中，． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形，图形给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形与图形的远端距离，记为（图形，图形）．已知，，． （1）如图1． ①若点，则点与的远端距离是________； ②若点，，则________； （2）如图2，已知四边形，点． ①已知点，，若（线段，四边形），则的取值范围是________； ②一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则（线段，四边形）的最小值为________，此时的取值范围是________． 【答案】（1）①；② （2）①或；②；或 【解析】 【分析】（1）①根据勾股定理结合新定义进行计算即可求解； ②根据新定义可得的最大值为，即可求得的值； （2）根据题意求得和，根据图象可得到四边形的距离最大值，即的值为，则可得（线段，四边形）的最小值为，进而可得的最大值为，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，，， 点与的远端距离是； ②点，， ∴当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，如图 ∵点，， ∴（线段，四边形） ∵（线段，四边形）， ∴ 即 解得： 当时，如图 ∵点，， ∴（线段，四边形） ∵（线段，四边形）， ∴ 即 解得： 综上所述，或； ②∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时， 解得：； 当时， ∴， ∴ 故（线段，四边形）的最小值为 ∴到正方形的端点的最大距离为， 当时，如图 ∴的最大值为， 即 解得： 当时， 同理可得，即 解得： 综上所述，此时的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末练习 初二数学 2026.07 考生须知 1．本试卷共9页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列各曲线中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，平分交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 6. 致远中学以“沉墨色，品书香”为主题开展演讲比赛，9位评委分别给出某选手的原始评分．如果从9个原始评分中去掉一个最高分和一个最低分后得到7个有效评分，分别计算9个原始评分与7个有效评分的极差、中位数、平均数、方差，在这四个统计量中，一定不会发生变化的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 7. 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面高处出发，以的速度上升；2号气球从距离地面高处出发，以的速度上升，两个气球都上升了．两个气球距离地面的高度（单位：）与上升时间（单位：）的函数关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当气球上升时，2号气球距离地面的高度是 B. 当两个气球的高度差为时，气球上升的时间是 C. 当气球上升时，1号气球距离地面的高度高于2号气球距离地面的高度 D. 在某时刻，1号气球距离地面的高度比2号气球距离地面的高度高 8. 在平面直角坐标系中，已知点，，对于直线，给出下面三个结论： ①直线经过点； ②当时，直线与直线平行； ③若直线与线段有交点，则的取值范围是且． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_______. 10. 中式窗格是我国传统建筑里灵动的诗意符号，窗格图案背后蕴藏着东方美学智慧．如图1是传统建筑中的一种窗格，图2是它的窗框示意图，这个多边形为正八边形，则的度数是________． 11. 若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是________（填“”“”或“”）． 12. 如图，在中，对角线，相交于点，点，是上的两点，连接，．若再添加一个合适的条件，就可以证明，这个条件可以是________（填写一个即可）． 13. 已知直线与直线的交点坐标为，则关于，的二元一次方程组的解是________． 14. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．意思是：一根竹子高1丈（1丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，求折断处离地面的高度是多少？若设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为________． 15. 有一组整数数据：4，17，8，14，12，a，18，3，5，5，4，11，12，其箱线图如图所示，则这一组数据的第一四分位数是________，数据a的值为________． 16. 如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，． 若，，给出下面三个结论： ①当线段的长度取得最大值时，线段的长度取得最小值； ②四边形可能是正方形； ③当时，四边形的面积为的面积的一半． 所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27题8分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程． 17. 计算：． 18. 计算：已知，求的值． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点． （1）求一次函数的解析式； （2）该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 20. 尺规作图： 如图，在中，，． 在边上求作一点，使得的面积等于的面积的一半（保留作图痕迹，不写作法）． 21. 阅读材料： 在数学课上，有这样一道问题： 如图1，在中，是边的中点，求证：． 小华的证明方法是： 证明：如图2，延长到点，使得，连接． 是的中点， ． 又，， ． ． 在中， ， ． ，， ． ． 通过交流讨论，同学们又发现了其他的辅助线添加方法． 请你添加两种辅助线并补全图形并证明． （1）方法1：延长到点，使得，连接． （2）方法2：取的中点，连接． 22. 在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F；求证：DF=DC． 23. 夏日如约至，瓜香满大兴．某西瓜采摘园今年采取线上和线下相结合的方式销售，顾客可以通过网络平台在直播间线上购买，也可以线下到西瓜园先采摘再购买．若购买西瓜所需费用元，两种购买方式的具体费用标准如下： 线上：在直播间购买，所需费用与的函数解析式为； 线下：在西瓜园采摘购买，不超过时，每千克西瓜的价格为元；超过时，超过部分每千克西瓜的价格为10元．线下购买所需费用与的函数关系如图所示： （1）的值为________； （2）直接写出在西瓜园采摘购买西瓜所需费用与之间的函数解析式； （3）小方想购买西瓜，选用哪种购买方式更合算，请说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求该函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于的值，直接写出的取值范围． 25. 为落实北京市2026年“课间一刻钟”体育活动提质要求，某校八年级开展一分钟跳绳班级选拔赛，体育老师从某班甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一人参加年级比赛．对这四名同学最近10次一分钟跳绳测试成绩（单位：个）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲同学10次测试成绩（从小到大排列）： 179，180，181，182，182，182，183，183，185，185 b．乙、丙两名同学10次测试成绩： c．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 182.2 182.2 182.2 中位数 182.0 183.0 182.5 方差 3.36 3.96 3.36 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为________，的值为________； （2）表中________3.96（填“>”“=”或“<”） （3）根据这10次测试成绩，体育老师按如下方式评估四名同学的实力强弱：①先比较平均数，平均数较大者实力更强；②若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；③若平均数、方差分别相等，则测试成绩大于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名同学按实力由强到弱依次为________． 26. 某智慧校园内有一个三角形智能巡检区域．如图所示，在中，，，一台智能巡检机器人从点出发，沿着路径移动，最终到达点停止．在机器人的移动过程中，系统会自动记录当前它与固定监测点，所构成的三角形的“监测覆盖面积”，即的面积．设机器人移动的路程为（单位：），的面积为（单位：），工程师需要建立关于的函数关系模型．探究过程如下，请补充完整． （1）实验记录部分数据如下： （单位：） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 （单位：） 0 0 则的值是________； （2）在平面直角坐标系中，请补全数对所对应的点，并画出该函数的图象； （3）观察函数图象，请写出该函数的一条性质：________； （4）当“监测覆盖面积”不大于时，机器人的移动路程（单位：）的取值范围是________． 27. 在正方形中，点是边上一点（不与点，重合），连接，点在边的延长线上，且，连接交于点． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点作，垂足为，交于点． ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； ②当点为边的中点时，若，直接写出线段的长． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形，图形给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形与图形的远端距离，记为（图形，图形）．已知，，． （1）如图1． ①若点，则点与的远端距离是________； ②若点，，则________； （2）如图2，已知四边形，点． ①已知点，，若（线段，四边形），则的取值范围是________； ②一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则（线段，四边形）的最小值为________，此时的取值范围是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $