第2章 秘题加练15&16 不定方程整数解之约数分拆法& “不解而解”——二元一次方程组的类比求解（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

**基本信息** 聚焦二元一次方程（组）整数解问题，通过约数分拆法与类比整体换元构建系统性解题方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不定方程整数解之约数分拆法|1典例|反客为主表示参数，利用约数性质求整数解|从实际问题抽象不定方程，通过约数分拆建立整数解与常数项约数的关联| |二元一次方程组的类比求解|1典例|整体换元，结构类比迁移|基于已知方程组解，通过整体代换实现未知方程组的“不解而解”，体现知识迁移逻辑|

秘题加练15　不定方程整数解之约数分拆法 [见学生用书《学霸秘题》P16] 2.1　二元一次方程 小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币。小倩对小玲说：“你若给我2元，则我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，则我的钱数将是你的2倍”。若n为正整数，求符合题意的n的值。 解：设小玲的钱数为x元，则小倩的钱数为[n(x－2)－2]元。 由题意，得x＋n＝2[n(x－2)－2－n]， 整理，得n＝，2n＝。 根据2n，x是正整数，可知2x－7的取值为15的约数，即1，3，5，15，对应的x值为4，5，6，11。 此时，相对应n的值为8，3，2，1。 综上所述，符合题意的n的值为8，3，2，1。 [解题秘籍] 设小玲的钱数为x元，由等量关系得出小倩的钱数。“反客为主”用含x的代数式表示n，观察得到的式子，由n，x为正整数，发现不定方程的解与常数项的约数有关。 若关于x的方程kx－12＝3x＋3k有整数解，且k为整数，求符合条件的k的值。 解：∵kx－12＝3x＋3k， ∴(k－3)x＝3k＋12， ∴x＝。 ∵x，k均为整数，∴k－3是21的约数，则k－3＝±1，±3，±7，±21， ∴k的值为4，2，6，0，10，－4，24，－18。 秘题加练16　“不解而解”——二元一次方程组的类比求解 [见学生用书《学霸秘题》P17] 2.2　二元一次方程组和它的解 已知关于x，y的二元一次方程组的解是求关于m，n的二元一次方程组的解。 解：可变形为 由题意得，关于(m－1)，(n＋3)的二元一次方程组的解是 ∴关于m，n的二元一次方程组的解是 [解题秘籍] 仔细观察，会发现方程组的两个方程变形后在形式上是一样的，类比之后不难得到m，n的值。 阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把m＋5，n＋3看成一个整体。设m＋5＝x，n＋3＝y，则原方程组可化为解得即解得 (1)学以致用：请模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组 (2)拓展提升：已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于m，n的方程组的解。 解：(1)对于令m＝，n＝， 则原方程组可化为解得 ∴即解得 (2)方程组的解是 ∴解得 学科网（北京）股份有限公司 $