第1章 秘题加练13 与平行线有关的折叠问题（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

**基本信息** 聚焦平行线折叠问题，以翻折不变性和长方形对边平行性质为核心，构建“设元-叠合-方程”解题体系，系统整合角度关系推导与空间观念培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心题型|2道综合题（含9次折叠、角平分线等变式）|翻折不变性（角度等量传递）、平行线性质（内错角/同旁内角关系）、方程思想（角度叠加建立等式）|从单次折叠到多次叠合，由平行线性质推导角度关系，通过设元构建方程解决动态折叠问题，培养几何直观与推理意识|

秘题加练13　与平行线有关的折叠问题 [见学生用书《学霸秘题》P14] 第1章　学习任务清单 如图1所示为一条长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，继续沿EF折叠成图4……按此操作，最后一次折叠后CF恰好与GF重合。若整个过程共折叠了9次，则图1中∠DEF的度数是　18　°。  【解析】 设∠DEF＝α，则∠EFB＝α。 ∵折叠9次后CF与GF重合， ∴∠CFE＝9∠EFB＝9α。 如图1，∵CF∥DE， ∴∠DEF＋∠CFE＝180°， ∴α＋9α＝180°，∴α＝18°， ∴∠DEF＝18°。 [解题秘籍] 翻折变换，要充分认识翻折前后的不变性——每一次翻折，都是从∠EFC中减去一个∠EFB。并且要善于利用长方形纸条的特征——对边平行所带来的角度间的数量关系。 如图，一条宽为(AB＝)的长方形纸带，E，F分别是边AD，BC上的点，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2。 (1)如图3，当点F与点C重合，且α＝45°时，则S三角形EFG＝　1　。  (2)如图2，若∠GFE＝∠GFN时，求α的值。 (3)作GP平分∠MGF，交直线EF于点P。 ①如图4，若α＜60°，试猜想∠GEP与∠GPE的数量关系，并说明理由。 ②若60°＜α＜90°，直接写出∠GEP与∠GPE的数量关系。 解：(2)如答图1，∵AD∥BC， ∴∠GFE＝∠DEF＝α。 ∵∠EFC＝180°－∠GFE＝180°－α， ∴∠GFC'＝∠EFC'－∠GFE＝∠EFC－∠GFE＝(180°－α)－α＝180°－2α， ∴∠GFN＝180°－2α。 由∠GFE＝∠GFN，得α＝(180°－2α)， ∴α＝36°。 强化训练13答图1 (3)①∠GPE＝2∠GEP。理由如下： 同(2)可知∠MGF＝∠D'GF＝180°－∠EGF＝180°－(180°－∠DEG)＝∠DEG＝2α，∠EFG＝∠GEF＝α。 又∵GP平分∠MGF， ∴∠PGF＝α， ∴∠GPE＝180°－∠GPF＝∠PGE＋∠PFG＝α＋α＝2α＝2∠GEP。 ②2∠GEP－∠GPE＝180°。理由如下： 强化训练13答图2 如答图2，由①可知2∠GEP＝2(180°－∠GEF)＝2(180°－α)，∠GPE＝180°－∠PGF－∠PFG＝180°－2α， ∴2∠GEP－∠GPE＝2(180°－α)－(180°－2α)＝180°。 学科网（北京）股份有限公司 $