第1章 秘题加练12 以平行线为背景的动态问题（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

**基本信息** 以平行线动态问题为载体，通过“化动为静”方法，结合分类讨论与方程思想，系统训练几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动态几何综合|2道典例|化动为静，利用平行时角的等量关系列方程；角平分线性质与平行线性质结合建立角的数量关系|平行线性质→动态旋转/动点问题→分类讨论/方程思想→角的等量关系推导，体现从静态到动态的知识应用拓展|

秘题加练12　以平行线为背景的动态问题 　[见学生用书《学霸秘题》P13] 第1章　学习任务清单 某景区傍晚上演主题灯光秀，在两条笔直且平行的景观道AB，CD上放置P，Q两盏激光灯(如图)，其中光线PB按顺时针方向以每秒6°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；光线QC按顺时针方向以每秒2°的速度旋转至QD边就停止旋转。若光线QC先转5秒，光线PB才开始转动，则在转动过程中，当光线PB旋转的时间为多少秒时，PB1∥QC1。 解：设PB旋转的时间为t秒时，PB1∥QC1。 当0＜t≤30秒时，如答图1，∵AB∥CD，∴∠BPB1＝∠PB1Q。 图1 图2 例12答图 ∵PB1∥QC1，∴∠CQC1＝∠PB1Q， ∴∠CQC1＝∠BPB1，则2(5＋t)＝6t，解得t＝2.5。 当30＜t≤60秒时，如答图2，同上可知∠CQC1＝∠BPB1，此时∠APB1＝(6t－180)°， ∴∠BPB1＝180°－(6t－180)°＝(360－6t)°， ∴2(5＋t)＝360－6t，解得t＝43.75。 综上所述，当光线PB旋转2.5秒或43.75秒时，PB1∥QC1。 [解题秘籍] 化动为静，通过平行那一刻的角的等量关系列方程是解决平行线动态问题的法宝。 如图，已知AM∥BN，P是射线AM上一动点(不与点A重合)，∠ABP和∠PBN的平分线分别交射线AM于点C，D，且∠CBD＝60°。 (1)求∠A的度数。 (2)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化?若不变化，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律。 (3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数。 解：(1)∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠NBP， ∴∠ABN＝2∠CBD。 又∵∠CBD＝60°，∴∠ABN＝120°。 ∵AM∥BN， ∴∠A＋∠ABN＝180°， ∴∠A＝60°。 (2)不变，∠APB＝2∠ADB。理由如下： ∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN。 又∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB＝2∠ADB。 (3)∵AD∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN。 又∵∠ACB＝∠ABD， ∴∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC＝∠DBN。 由(1)可得∠CBD＝60°，∠ABN＝120°， ∴∠ABC＝(∠ABN－∠CBD)＝30°。 学科网（北京）股份有限公司 $