专题5 分式（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

**基本信息** 以“概念-运算-方程-应用”为逻辑主线，通过典例+变式构建“方法提炼-迁移应用”训练体系，突出运算能力与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式概念及性质|1典例+3变式|强调分母不为零条件，区分分式与整式|从概念辨析到性质应用，夯实基础| |分式运算与化简|1典例+2变式|总结因式分解、约分、混合运算步骤|承接概念，培养代数变形能力| |分式方程解法|1典例+1变式|明确去分母、检验等六步解法|运算延伸，建立方程求解逻辑| |分式方程增根|1典例+1变式|提炼增根代入整式方程求参数方法|深化方程理解，强化推理意识| |分式方程应用|1典例+1变式|构建实际问题等量关系模型|知识迁移，提升应用意识|

专题5　分式 [见学生用书《期末复习导与练》P17] 题型一　分式的概念及基本性质 　　【典例1】 当x取何值时，下列分式有意义? (1)； 解：要使有意义，则2x－3≠0，解得x≠， ∴当x≠时，有意义。 (2)。 解：要使有意义，则x2＋1≠0。 又∵x2＋1＞0， ∴当x为任意实数时，有意义。 　　【变式1－1】 给出下列各式：①，②，③，④。其中属于分式的有(　C　) A.①②③④ B.②③④ C.②④ D.③ 　　【变式1－2】 若分式＝0，则x的值为(　B　) A.－1 B.1 C.±1 D.无法确定 【解析】 ∵＝0，∴x2－1＝0且x＋1≠0，解得x＝1，故选B。 　　【变式1－3】 下列变形中，不正确的是(　D　) A.(m≠0) B.＝ C. D. 题型二　分式的运算与化简求值 　　【典例2】 计算： (1)÷； 解：原式＝÷·。 (2)÷。 解：原式 ＝÷ ＝· ＝。 　　【点悟】 (1)分式与分式相乘时，若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法法则运算后再约分；若分子、分母中有多项式，可先对分子、分母中的多项式进行因式分解，约分后，再进行乘法运算。若是分式乘整式，可以把整式看成分母为1的“分式”； (2)计算除法时可利用除法法则把除法运算转化为乘法运算； (3)同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先化为同分母分式再相加减； (4)分式混合运算的顺序与整式相同。 　　【变式2－1】 计算·的结果是　－x－y　。  【解析】 原式＝ ＝ ＝－(x＋y)＝－x－y。 　　【变式2－2】 (1)先化简，再求值：÷，其中x＝2。 解：原式＝÷ ＝÷ ＝·。 当x＝2时，原式＝＝1。 (2)先化简：÷，再从1，2，3中选一个合适的数，求式子的值。 解：原式＝· ＝·。 由题意，得x－2≠0且x－1≠0，∴x≠1，x≠2。 当x＝3时，原式＝。 题型三　分式方程的解法 　　【典例3】 解分式方程：＋1。 解：去分母，得2x＝1＋x＋3。 移项，合并同类项，得x＝4。 经检验，x＝4是原方程的解。 　　【点悟】 (1)分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数(不是一般性的字母常数)； (2)解分式方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验。检验就是把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，那么整式方程的解是原方程的解，否则这个解不是原方程的解(称为增根)。 　　【变式3】 解下列方程：。 解：去分母，得2x－6＋6＝x＋3。 移项，合并同类项，得x＝3。 经检验，x＝3是增根，∴原分式方程无解。 题型四　分式方程的增根问题 　　【典例4】 已知分式方程＋3＝，且该方程有增根。 (1)增根是　x＝2　。  (2)求出分式方程中“?”所代表的数。 解：设?＝y，将分式方程＋3＝的两边都乘(x－2)，得y＋3(x－2)＝－1。 把x＝2代入，得y＝－1，故“?”所代表的数是－1。 　　【点悟】 分式方程的增根确定后可按如下步骤得出所求字母的值：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程进而得出所求字母的值。除有增根的情况外，还要注意字母的取值有使所化成的整式方程无解的情况。 　　【变式4】 若关于x的方程＝0无解，则m的值为(　D　) A.－2 B.2 C.－3 D.3 【解析】 原方程化为整式方程为m＋1－x＝0。 ∵原方程无解，∴x＝4是方程的增根。 当x＝4时，m＝3。 题型五　分式方程的应用 　　【典例5】 第5代移动通信技术简称5G，某地开通的5G网络服务经测试，下载速度是4G网络的15倍。若小明和小强分别使用5G网络与4G网络下载一段600兆的公益视频，小明比小强所用的时间少140秒，问该地4G网络与5G网络的下载速度分别是每秒多少兆? 解：设该地4G网络的下载速度是每秒x兆，则5G网络的下载速度是每秒15x兆。 由题意，得＝140，解得x＝4。 经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意， ∴15x＝15×4＝60。 答：该地4G网络的下载速度是每秒4兆，5G网络的下载速度是每秒60兆。 　　【变式5】 如图，杭绍台高铁开通后，相比原有的“杭甬——甬台”铁路，全程平均速度提高了50%，台州站到杭州东站的里程缩短了50 km，行车时间减少了50分钟。现测得杭绍台高铁从台州站到杭州东站全程共s(km)(以下问题结果均用含s的代数式表示)。 (1)求杭绍台铁路的平均速度。 (2)若列车在杭甬线的平均速度与在杭绍台的平均速度相同，杭甬线与甬台线的线路里程之比为4∶5，求列车在甬台线的平均速度。 变式5图 解：(1)设杭绍台铁路的平均速度为v(km/h)，则“杭甬——甬台”铁路的平均速度为(km/h)，50分钟＝时。 由题意，得，解得v＝90＋s， ∴杭绍台铁路的平均速度为km/h。 (2)设杭甬线与甬台线的线路里程分别为4x(km)和5x(km)，列车在杭甬线的平均速度与在杭绍台的平均速度都为v(km/h)，列车在甬台线的平均速度为v'(km/h)。 由题意，得，解得v'＝v。 由(1)知v'＝×s， ∴列车在甬台线的平均速度为km/h。 1.有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，收获小麦12 000 kg，第二块使用新品种，收获小麦14 000 kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1 500 kg。若设第一块试验田每公顷的产量为x(kg)，则根据题意列出分式方程正确的是(　A　) A. B. C. D. 2.方程的解为　x＝9　。  3.若a，b互为倒数，则代数式÷的值为　1　。  【解析】 原式＝÷＝(a＋b)·＝ab。 ∵a，b互为倒数，∴原式＝1。 4.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台机器所需的时间与原计划生产600台机器所需的时间相同。求原计划平均每天生产机器的台数。设原计划平均每天生产x台机器，则根据题意可列方程为 　。  5.计算：÷。 解：原式＝·　 ＝·。 6.(1)先化简÷，再从－2，－1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值。 解：原式＝÷ ＝·。 ∵x－1≠0，x＋1≠0，x－2≠0， ∴x不能取±1和2。 当x＝－2时，原式＝。 (2)先化简，再求值：÷，其中a满足a2＋2a－3＝0。 解：原式＝÷·＝2a(a＋2)＝2a2＋4a。 ∵a2＋2a－3＝0，∴a2＋2a＝3， ∴原式＝2(a2＋2a)＝2×3＝6。 7.解下列方程： (1)＝2； 解：去分母，得2＋1－x＝2x－6。 解得x＝3。 经检验，x＝3是增根， ∴原分式方程无解。 (2)＝2。 解：去分母，得x＋1＝2x－10。 解得x＝11。 经检验，x＝11是原方程的解。 8.已知x＝，y＝(a，b都是正数)。 (1)计算：2xy。 (2)若x＝y，说明a＝b的理由。 解：(1)2xy＝。 (2)∵x＝y， ∴， ∴(a＋b)2＝4ab， ∴(a－b)2＝0， ∴a－b＝0，∴a＝b。 9.设a，b(a≠b)是实数，定义一种关于@的运算：a@b＝，例如：1@(－2)＝＝，(－3)@3＝。 (1)求(－2)@(－3)的值。 (2)若a@(－5)＝－6，求a的值。 (3)是否存在x的值，使得1@x＝x@1成立?若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。 解：(1)原式＝＝6。 (2)由题意，得＝－6， 解得a＝－30。 经检验，a＝－30是分式方程的解。 (3)存在。 由题意，得， 去分母，得x＝－x， 解得x＝0。 经检验，x＝0是分式方程的解， ∴存在x的值，使得1@x＝x@1成立，此时x＝0。 10.若x＋y＝2z，且x≠y≠z，则＝(　B　) A.0 B. 1 C.2 D. 4 【解析】 ∵x＋y＝2z，且x≠y≠z， ∴x－z＝z－y， ∴＝1。 11.若关于x的方程有增根，则m的值为　－4或6　。  【解析】 。 去分母，得3(x－2)－2(x＋2)＝mx。 移项，合并同类项，得(1－m)x＝10。 ∵分式方程有增根，∴x＝2或x＝－2。 当x＝2时，m＝－4； 当x＝－2时，m＝6。 综上所述，m的值为－4或6。 12.某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品。甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10 kg，甲型机器人搬运800 kg所用时间与乙型机器人搬运600 kg所用时间相等。问乙型机器人每小时搬运多少产品? 根据以上信息，解答下列问题。 (1)小华同学设乙型机器人每小时搬运x(kg)产品，则甲型机器人每小时搬运　(x＋10)　 kg产品，根据“甲型机器人搬运800 kg所用时间与乙型机器人搬运600 kg所用时间相等”，可列方程： 　。  (2)小惠同学设甲型机器人搬运800 kg所用时间为y小时，则甲型机器人每小时搬 　 kg产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10 kg”，可列方程： ＋10　。  (3)请你按照(1)中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程。 解：(3)设乙型机器人每小时搬运x(kg)产品，则甲型机器人每小时搬运(x＋10)kg产品。 由题意，得， 解得x＝30。 经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意。 答：乙型机器人每小时搬运30 kg产品。 13.班级搞活动，需要购置甲、乙两种物品。已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用150元购买甲种物品的件数恰好与用120元购买乙种物品的件数相同。 (1)求甲、乙两种物品每件的价格。 (2)若550元班会费全部用于购买甲、乙两种物品(两种都要有)，问可购买甲、乙两种物品各几件? 解：(1)设乙种物品每件的价格为x元，则甲种物品每件的价格为(x＋10)元。 由题意，得， 解得x＝40。 经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意， ∴x＋10＝50。 答：甲种物品每件的价格为50元，乙种物品每件的价格为40元。 (2)设可以购买甲种物品m件，乙种物品n件。 由题意，得50m＋40n＝550，∴m＝11n。 又∵m，n均为正整数， ∴或 答：可以购买7件甲种物品、5件乙种物品或3件甲种物品、10件乙种物品。 14.根据以下素材，探索完成任务。 怎样知道七、八年级两队志愿者的人数和人均植树数 调查活动 素材1 为改善生态环境，某校七、八年级两队志愿者分别参加了两地的植树活动。 素材2 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息： ①七、八年级两队志愿者各植树720棵。 ②八年级志愿者比七年级志愿者人均多植树2棵。 ③八年级志愿者人数比七年级少20%。 交流质疑 小明同学把收集的信息放到组内进行交流，一位同学表达了自己的看法，他认为小明同学没有收集到七、八年级两队志愿者的“人数”“人均植树数”等重要信息，没法进行系统研究。 问题解决 任务1 (1)这位同学的看法正确吗?若不正确，请你根据上述信息，用分式方程分别求出七、八年级两队志愿者的“人数”和“人均植树数”；如果正确，请说明理由。 问题反馈 任务2 (2)小明同学还想知道参与此次活动的八年级1班志愿者的人数和植树数。若已知在八年级1班志愿者中，如果每人种9棵，那么还剩下12棵树苗；如果每人种12棵，那么就缺少24棵树苗，请帮小明计算出八年级1班志愿者的人数和需种植的树苗数。 解：(1)这位同学的看法不正确。 ①求出七、八年级志愿者的人数如下： 设七年级志愿者有x人，则八年级志愿者有(1－20%)x人。 由题意，得＝2， 解得x＝90。 经检验，x＝90是所列方程的解，且符合题意， ∴(1－20%)x＝(1－20%)×90＝72。 答：七年级志愿者有90人，八年级志愿者有72人。 ②求出七、八年级志愿者人均植树数如下： 设七年级志愿者人均植树y棵，则八年级志愿者人均植树(y＋2)棵， 由题意，得×(1－20%)＝， 解得y＝8。 经检验，y＝8是所列方程的解，且符合题意， ∴y＋2＝8＋2＝10。 答：七年级志愿者人均植树8棵，八年级志愿者人均植树10棵。 (2)设八年级1班志愿者有m人。 由题意，得9m＋12＝12m－24， 解得m＝12， ∴9m＋12＝9×12＋12＝120。 答：八年级1班志愿者有12人，需种植120棵树苗。 学科网（北京）股份有限公司 $