专题4 因式分解（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

**基本信息** 以“概念辨析-方法应用-拓展迁移”为主线，系统构建因式分解的方法体系，强化从代数变形到实际应用的逻辑链条，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2典例+2变式|明确因式分解与整式乘法的互逆关系，强调“积的形式”本质|从定义出发，通过正反例对比建立概念认知| |方法应用|4典例+5变式|提炼“一提二套三分组”流程：先提公因式，再用公式法（平方差、完全平方），复杂式用分组分解|按“单一方法→综合方法→特殊形式”递进，形成分解策略| |简便运算|1典例+1变式|运用提公因式法简化计算，渗透整体思想|将代数变形与数感培养结合，体现运算的简洁性| |综合应用|1典例+4变式|通过代数式求值、几何面积计算等场景，强化模型意识与推理能力|从代数到几何，构建“分解-应用-拓展”的知识网络|

专题4　因式分解 [见学生用书《期末复习导与练》P13] 题型一　因式分解的概念 　　【典例1】 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是(　C　) A.x2－9＋6x＝(x＋3)(x－3)＋6x B.(x＋5)(x－2)＝x2＋3x－10 C.x2－8x＋16＝(x－4)2 D.6ab＝2a·3b 　　【点悟】 (1)把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式； (2)因式分解与整式的乘法互为逆运算。 　　【变式1－1】 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是(　D　) A.(a＋3)(a－3)＝a2－9 B.x2＋x－5＝x(x＋1)－5 C.x2＋1＝x D.x2＋4x＋4＝(x＋2)2 　　【变式1－2】 下列各式从左边到右边的变形中，正确的是(　C　) A.(－a－b)(a－b)＝a2－b2 B.4a2－b2＝(4a＋b)(4a－b) C.2x2－x－6＝(2x＋3)(x－2) D.4m2－6mn＋9n2＝(2m－3n)2 题型二　因式分解 　　【典例2】 把下列各式分解因式： (1)m2＋mn＋n2； 解：原式＝。 (2)a3－4a2－12a； 解：原式＝a(a2－4a－12)＝a(a＋2)(a－6)。 (3)x2(x－y)－y2(x－y)； 解：原式＝(x－y)(x2－y2) ＝(x－y)(x＋y)(x－y) ＝(x－y)2(x＋y)。 (4)(a＋b)2－4(a＋b－1)。 解：原式＝(a＋b)2－4(a＋b)＋4 ＝(a＋b－2)2。 　　【点悟】 因式分解常用的方法有提取公因式法、公式法等。一般来说，可以提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式。 　　【变式2－1】 将多项式x－x3分解因式，正确的是(　D　) A.x(x2－1) B.x(1－x2) C.x(x＋1)(x－1) D.x(1＋x)(1－x) 　　【变式2－2】 分解因式： (1)－3x3＋6x2y－3xy2； 解：原式＝－3x(x2－2xy＋y2) ＝－3x(x－y)2。 (2)25(a＋b)2－9(a－b)2； 解：原式＝[5(a＋b)＋3(a－b)][5(a＋b)－3(a－b)] ＝4(4a＋b)(a＋4b)。 (3)(x2＋y2)2－4x2y2。 解：原式＝(x2＋y2)2－(2xy)2 ＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy) ＝(x＋y)2(x－y)2。 【变式2－3】 阅读材料： 分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋(my＋ny)＝x(m＋n)＋y(m＋n)＝(m＋n)(x＋y)，这种分解因式的方法称为“分组分解法”。 请用“分组分解法”分解因式： (1)a2－b2＋a2b－ab2； 解：原式＝(a2－b2)＋(a2b－ab2) ＝(a＋b)(a－b)＋ab(a－b) ＝(a－b)(a＋b＋ab)。 (2)a2－a2b＋ab2－a＋b－b2。 解：原式＝(a2－b2)－(a2b－ab2)－(a－b) ＝(a＋b)(a－b)－ab(a－b)－(a－b) ＝(a－b)(a＋b－ab－1) ＝(a－b)[(b－1)－a(b－1)] ＝(a－b)(b－1)(1－a)。 题型三　利用因式分解进行简便运算 　　【典例3】 利用简便方法计算： (1)9992＋999； 解：原式＝999×(999＋1) ＝999×1 000＝999 000。 (2)7.6×202.5＋4.3×202.5－1.9×202.5； 解：原式＝202.5×(7.6＋4.3－1.9) ＝202.5×10＝2 025。 (3)。 解：原式＝ ＝1× ＝。 　　【变式3】 计算：×××…×。 解：原式＝××××××…× ×××××××…×××。 题型四　因式分解的应用 　　【典例4】 若a－b＝6，ab＝7，则ab2－a2b的值为(　B　) A.42 B.－42 C.13 D.－13 【解析】 当a－b＝6，ab＝7时， ab2－a2b＝ab(b－a)＝7×(－6)＝－42。 　　【变式4－1】 不论x，y为任何实数，x2＋y2－4x－2y＋8的值总是(　A　) A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 【解析】 x2＋y2－4x－2y＋8＝x2－4x＋4＋y2－2y＋1＋3＝(x－2)2＋(y－1)2＋3。 ∵(x－2)2≥0，(y－1)2≥0， ∴(x－2)2＋(y－1)2＋3＞0， ∴不论x，y为任何实数，x2＋y2－4x－2y＋8的值总是正数。 　　【变式4－2】 在2 022，2 023，2 024，2 025这四个数中，不能表示为两个整数的平方差的是(　A　) A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 【解析】 ∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a＋b与a－b的奇偶性相同，2 022＝1×2 022＝2×1 011＝3×674＝6×337，2 023＝1×2 023，2 024＝2×1 012，2 025＝1×2 025，2 022分成两个因数相乘时均为一奇一偶， ∴2 022不能表示为两个整数的平方差。 　　【变式4－3】 如果一个数能表示成2x2＋2xy＋y2(x，y是整数)，我们称这个数为“好数”。 (1)写出10，11，12，…，20中的“好数”。 (2)如果m，n都是“好数”，请分别判断m＋n和mn一定是“好数”吗?如果不是，请举反例说明；如果是，请说明理由。 解：(1)∵2x2＋2xy＋y2＝x2＋(x＋y)2(x，y是整数)， 而10＝(2＋1)2＋12， 13＝(1＋2)2＋22， 16＝02＋(0＋4)2， 17＝(1＋3)2＋12， 18＝(0＋3)2＋32， 20＝(2＋2)2＋22， ∴“好数”有10，13，16，17，18，20。 (2)m＋n不一定是“好数”。反例如下： 若m＝1＝02＋12，n＝2＝12＋12，则m，n均为“好数”， 但m＋n＝3，而3不能写成两个整数的平方和，故不是“好数”， ∴当m，n为“好数”时，m＋n不一定是“好数”。 mn一定是“好数”。理由如下： ∵m，n为“好数”， ∴设m＝a2＋b2，n＝c2＋d2， 则mn＝(a2＋b2)(c2＋d2) ＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2 ＝a2c2＋2abcd＋b2d2＋a2d2－2abcd＋b2c2 ＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2。 ∵a，b，c，d均为整数， ∴ac＋bd，ad－bc为整数， ∴mn一定是“好数”。 1.下列等式变形中，属于因式分解的是(　D　) A.x(a－b)＝ax－bx B.x2－1＋y2＝(x－1)(x＋1)＋y2 C.ax＋bx＋c＝x(a＋b)＋c D.y2－1＝(y＋1)(y－1) 2.用提取公因式法分解因式正确的是(　C　) A. 12abc－9a2b2c2＝3abc(4－3ab) B. 3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2y) C. －a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c) D. x2y＋5xy－y＝y(x2＋5x) 3.已知3x－y＝1，xy＝2，则6x2y－2xy2＝(　D　) A. B.－4 C. D.4 4.分解因式：(1)x2y－y3＝　y(x＋y)(x－y)　；  (2)8a3 －2ab2＝　2a(2a＋b)(2a－b)　。  5.分解因式： (1)4xy2－4x2y－y3； 解：原式＝－y(4x2－4xy＋y2)＝－y(2x－y)2。 (2)(a－b)2－a＋b； 解：原式＝(a－b)(a－b－1)。 (3)12m(x＋y)3－9n(x＋y)2； 解：原式＝3(x＋y)2[4m(x＋y)－3n] ＝3(x＋y)2(4mx＋4my－3n)。 (4)a(m－n)2－b(n－m)3。 解：原式＝a(m－n)2＋b(m－n)3 ＝(m－n)2(a＋bm－bn)。 6.用简便方法计算： (1)3492－2512； 解：3492－2512 ＝(349＋251)(349－251) ＝600×98＝58 800。 (2)99×100。 解：99×100 ＝ ＝10 000 ＝9 999。 7.先将2x(a－2)－y(2－a)分解因式，再求值，其中a＝0.5，x＝1.5，y＝－2。 解：原式＝2x(a－2)＋y(a－2) ＝(a－2)(2x＋y)。 当a＝0.5，x＝1.5，y＝－2时， 原式＝(0.5－2)×(3－2)＝－1.5。 8.在学习“整式的乘除”和“因式分解”这两章内容时，我们通过计算图形面积，推演证实了法则和公式。借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好地理解图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法。请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】(1)用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab　。  (2)图2是由两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么?说明理由。 【迁移应用】根据(1)，(2)中的结论，解决以下问题： (3)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，三边分别为a，b，c，a＋b＝14，ab＝48，求c的值。 (4)如图3，在五边形ABCDE中，AC⊥BD，垂足为N，AC＝BD＝2，CN＝a，BN＝b，△BCN周长为2，四边形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积。 第8题图 解：(2)发现：a2＋b2＝c2。理由如下： 计算图2中图形的面积，得 2×ab＋c2＝×(a＋b)(a＋b)， ∴ab＋c2＝(a＋b)2， ∴2ab＋c2＝(a＋b)2， ∴a2＋b2＝c2。 (3)由(1)，(2)的结论可知c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab。 ∵a＋b＝14，ab＝48， ∴c2＝142－2×48＝100， ∴c＝10。 (4)∵CN＝a，BN＝b，△BCN的周长为2， ∴BC＝2－CN－BN＝2－a－b。 ∵四边形AEDN为长方形， ∴∠BNC＝∠AND＝90°， ∴在直角三角形BNC中，BC2＝CN2＋BN2， ∴(2－a－b)2＝a2＋b2， ∴4＋a2＋b2＋2ab－4a－4b＝a2＋b2， ∴4＋2ab－4a－4b＝0， ∴ab－2(a＋b)＝－2。 ∵AC＝BD＝2， ∴AN＝AC－CN＝2－a，DN＝BD－BN＝2－b， ∴长方形AEDN的面积＝AN·DN＝(2－a)(2－b)＝4＋ab－2(a＋b)＝4－2＝2。 9.请你估计一下，的值最接近于(　B　) A.1 B. C. D. 解：∵，∴原式＝×××…×××， ∴原式的值最接近于。 10.对于正整数m，若m＝pq(p＞q＞0，且p，q为整数)，当p－q最小时，则称pq为m的“最佳分解”，并规定f(m)＝，如：12 的分解有12×1，6×2，4×3，其中，4×3为12的最佳分解，则f(12)＝。若关于正整数n的代数式，也有同样的“最佳分解”，则对于f(n2＋3n)，下列结果不可能的是(　A　) A. B. C. D. 【解析】 ∵n2＋3n＝n(n＋3)＝1×(n2＋3n)，其中n是正整数，∴易知n(n＋3)是n2＋3n的最佳分解， ∴f(n2＋3n)＝。 当时，n＝，不是正整数，A符合题意； 当时，n＝3，B不合题意； 当时，n＝1，C不合题意； 当时，n＝6，D不合题意，故选A。 11.若x＋y＝0.2，x＋3y＝1，则代数式x2＋4xy＋4y2的值为　0.36　。  【解析】 ∵x＋y＝0.2①，x＋3y＝1②， ∴①＋②，得2x＋4y＝1.2， ∴x＋2y＝0.6， ∴x2＋4xy＋4y2＝(x＋2y)2＝0.36。 12.【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，如果我们将(a－b)2写成[a＋(－b)]2，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式。过程如下：(a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a·(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2。 【类比推理】(1)已知两数的立方和公式为a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：a3－b3＝a3＋(－b)3＝　(a－b)(a2＋ab＋b2)　。  【应用公式】(2)因式分解：①x4＋x。 ②x3－3x2y＋3xy2－y3。 【拓展提升】(3)如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD，设S四边形ABCD＝S1，S四边形EFGH＝S2，S四边形MNPQ＝S3，S1＋S2＋S3＝39。 ①S2＝　13　。  ②若BG＝a，BF＝b，且S3＝1，请先将代数式a3＋2a2b＋2ab2＋b3进行因式分解，然后求出代数式的值。 第12题图 解：(1)a3－b3＝a3＋(－b)3＝[a＋(－b)][a2－a·(－b)＋(－b)2]＝(a－b)(a2＋ab＋b2)。 (2)①原式＝x(x3＋1)＝x(x＋1)·(x2－x＋1)。 ②原式＝(x3－y3)－(3x2y－3xy2) ＝(x－y)(x2＋xy＋y2)－3xy(x－y) ＝(x－y)(x2＋xy＋y2－3xy) ＝(x－y)(x2－2xy＋y2) ＝(x－y)3。 (3)①设该直角三角形的面积为S4。由题意，得 S1＝S2＋4S4，S3＝S2－4S4， 则S1＋S2＋S3＝S2＋4S4＋S2＋S2－4S4＝3S2＝39， ∴S2＝13。 ②a3＋2a2b＋2ab2＋b3＝(a3＋b3)＋(2a2b＋2ab2) ＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋2ab(a＋b) ＝(a＋b)(a2－ab＋b2＋2ab) ＝(a＋b)(a2＋ab＋b2)。 ∵S3＝1，∴a－b＝1， S1＝39－S2－S3＝25，∴a＋b＝5， 解得a＝3，b＝2， ∴原式＝(a＋b)(a2＋ab＋b2)＝5×(32＋3×2＋22)＝95。 13.课本4.3节“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫作完全平方式”。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，从而进行下一步计算，这种变形方法叫作配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等。 例如：①分解因式：x2＋2x－3。 解：原式＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)。 ②求代数式2x2＋4x－6的最小值。 解：2x2＋4x－6＝2(x2＋2x－3)＝2(x＋1)2－8， 可知当x＝－1时，2x2＋4x－6有最小值，最小值是－8。 根据材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：m2－4m－5＝　(m＋1)(m－5)　。  (2)求代数式－a2＋8a＋1的最大值。 (3)当a，b为何值时，多项式a2－4ab＋5b2＋2a－2b＋有最小值?求出这个最小值。 (4)设a为实数，b为正整数。当多项式a2－4ab＋5b2＋2a－2b＋取得最小整数值时，a＝ 或　，b＝　1　。  解：(1)m2－4m－5＝m2－4m＋4－9 ＝(m－2)2－32 ＝(m＋1)(m－5)。 (2)∵－a2＋8a＋1＝－(a2－8a＋16－16)＋1＝－(a－4)2＋17， ∴当a＝4时，－a2＋8a＋1有最大值17。 (3)a2－4ab＋5b2＋2a－2b＋ ＝(a－2b)2＋2(a－2b)＋1＋b2＋2b＋ ＝(a－2b＋1)2＋(b＋1)2＋。 令解得 ∴当a＝－3，b＝－1时，该多项式有最小值，这个最小值为。 (4)∵b为正整数，∴b最小取1， 此时由(3)得，原式＝(a－1)2＋≥， ∴原式取得的最小整数值是5。 易知此时(a－1)2＝， 解得a＝或a＝。 学科网（北京）股份有限公司 $