专题3 整式的乘除（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

**基本信息** 以“题型-典例-点悟-变式”为框架，系统整合幂的运算、整式运算等核心内容，通过公式梳理与变式训练，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂的运算|1典例+2变式|同底数幂乘除等6类公式，指数关系转化技巧|从基本公式到指数关系综合应用，强化抽象能力| |整式运算|1典例+1变式|多项式乘除符号法则，不含特定项问题解法|从单项式到多项式运算，培养运算准确性| |乘法公式|1典例+3变式|平方差与完全平方公式，8类常用变形|公式直接应用到几何情境迁移，发展模型意识| |化简求值|1典例+2变式|先化简再代入，整体代入技巧|整式运算与代数式求值结合，提升综合应用能力| |科学记数法|1典例+1变式|小数科学记数法表示规则|实际情境中数的表示，强化数据意识|

专题3　整式的乘除 [见学生用书《期末复习导与练》P9] 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 题型一　幂的运算 　　【典例1】 我们知道：若am＝an(a＞0且a≠1)，则m＝n。设5m＝3，5n＝15，5p＝75。现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m＋p＝2n；②m＋n＝2p－1；③n2－mp＝1。其中正确的是(　B　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【解析】 ∵5m＝3， 5n＝15＝5×3＝5×5m＝51＋m， ∴n＝1＋m。 ∵5p＝75＝52×3＝52＋m， ∴p＝2＋m， ∴p＝n＋1。 m＋p＝n－1＋n＋1＝2n，①正确。 m＋n＝p－2＋p－1＝2p－3，②错误。 n2－mp＝(1＋m)2－m(2＋m) ＝1＋m2＋2m－2m－m2 ＝1，③正确。 综上所述，正确的是①③。 　　【点悟】 整数指数幂的运算： 名称 字母表示(m，n是整数) 同底数幂的乘法 am·an＝am＋n 幂的乘方 (am)n＝amn 积的乘方 (ab)n＝anbn 同底数幂的除法 am÷an＝am－n(a≠0) 零指数幂 a0＝1(a≠0) 负整数指数幂 a－n＝(a≠0) 　　 【变式1－1】 计算： (1)a·a3·a5＝　a9　；  (2)(b3)4＝　b12　；  (3)(x2y)3＝　x6y3　。  　　【变式1－2】 计算： －2－1＋(3－π)0＋0.5100×(－2)102。 解：原式＝＋1－9＋×2100×22＝9＋4＝。 题型二　整式的运算 　　【典例2】 计算： (1)(5mn2－4m2n)·(－2mn)； 解：原式＝－10m2n3＋8m3n2。 (2)(6a3b2－4a2b3)÷(2a2b2)； 解：原式＝3a－2b。 (3)(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)。 解：原式＝x2－6x＋7x－42－x2－x＋2x＋2＝2x－40。 　　【点悟】 (1)多项式与多项式相乘，结果仍是多项式，合并同类项之前积的项数应等于两个多项式的项数之积； (2)相乘时，每一项都包含着符号，在计算时应准确确定积中的符号； (3)多项式与多项式相乘的结果中若含有同类项，则必须合并同类项。 　　【变式2】 要使(x2＋mx＋8)(x2－3x＋n)的展开式中不含x3项和x2项，求m，n的值。 解：原式＝x4－3x3＋nx2＋mx3－3mx2＋mnx＋8x2－24x＋8n ＝x4＋(m－3)x3＋(n－3m＋8)x2＋(mn－24)x＋8n。 ∵展开式中不含x3项和x2项， ∴解得 题型三　乘法公式 　　【典例3】 利用乘法公式计算： (1)(x－2y)(x＋2y)－(x＋2y)2； 解：原式＝x2－4y2－(x2＋4xy＋4y2) ＝x2－4y2－x2－4xy－4y2 ＝－8y2－4xy。 (2)(x＋y＋4)(x＋y－4)。 解：原式＝[(x＋y)＋4][(x＋y)－4] ＝(x＋y)2－16 ＝x2＋2xy＋y2－16。 　　【点悟】 (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2。 完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2。 (2)完全平方公式的常用变形： a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab。 ab＝。 (a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)。 (a＋b)2－(a－b)2＝4ab。 (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab。 (a－b)2＝(a＋b)2－4ab。 ab＝。 a2＋2。 　　【变式3－1】 下列运算中，正确的是(　D　) A.(a＋b)(a－2b)＝a2－2b2 B.＝a2 C.－2(3a－1)＝－6a＋1 D.(a＋3)(－3＋a)＝a2－9 　　【变式3－2】 已知x＋y＝6，xy＝4，求下列各式的值： (1)x2y＋xy2。 (2)x2＋y2。 解：(1)x2y＋xy2＝xy(x＋y)＝4×6＝24。 (2)x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝62－2×4＝28。 　　【变式3－3】 小王同学在学习完全平方公式时，发现a－b，a＋b，a2＋b2，ab这四个代数式之间是有联系的，他在研究后提出了以下三个问题： (1)已知a＋b＝4，a2＋b2＝10，求ab的值。 (2)已知m＝3，求m＋的值。 (3)如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，正方形AEHG，EBKF和NKCM都在它的内部，且BK＞KC。记AE＝a，CM＝b，若a2＋b2＝18，求长方形PFQD的面积。 请解决这三个问题。 变式3－3图 解：(1)∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，a＋b＝4，a2＋b2＝10， ∴ab＝＝3。 (2)∵m＝3， ∴＝9， ∴＋4＝13， ∴m＋＝±。 (3)∵正方形EBKF的边长可以表示为6－a或8－b， ∴6－a＝8－b，即b－a＝2。 ∵阴影部分的面积为ab，a2＋b2＝18， ∴ab＝＝7， 即长方形PFQD的面积为7。 题型四　化简求值 　　【典例4】 先化简，再求值：(1－x)(1＋2x)－(2－x)(2＋x)＋3(x＋1)2，其中x＝－2。 解：原式＝1＋x－2x2－4＋x2＋3x2＋6x＋3＝2x2＋7x。 当x＝－2时，原式＝2×(－2)2－14＝－6。 　　【变式4－1】 先化简，再求值：[(x＋2y)(x－2y)＋(2y＋x)2－2xy]÷(2x)，其中x，y的值满足(x＋2)2＋|y＋3|＝0。 解：原式＝(x2－4y2＋4y2＋4xy＋x2－2xy)÷(2x) ＝(2x2＋2xy)÷(2x)＝x＋y。 ∵(x＋2)2＋|y＋3|＝0， ∴x＋2＝0，y＋3＝0， 解得x＝－2，y＝－3， ∴原式＝－2－3＝－5。 　　【变式4－2】 已知代数式(x－2y)2－(x－y)·(x＋y)－2y2。当4x＝3y时，求此代数式的值。 解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2 ＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2 ＝－4xy＋3y2。 当4x＝3y时，4x－3y＝0， ∴原式＝－y(4x－3y)＝0。 题型五　科学记数法 　　【典例5】 卫星导航系统可提供高精度的时间校准服务，其精度可达10 ns(1 s＝1 000 000 000 ns)，用科学记数法表示 10 ns 为(　A　) A.1×10－8 s B.1×10－9 s C.10×10－9 s D.0.1×10－9 s 　　【变式5】 某种病毒的单体直径在0.000 000 08~0.000 000 12 m范围内。将0.000 000 12用科学记数法表示为a×10n的形式，则n的值为(　B　) A.－8 B.－7 C.7 D.8 1.下列计算正确的是(　D　) A.a3＋a3＝a4 B.a3－a2＝a C.(a2)3＝a5 D.a2·a4＝a6 2.下列各式中，不能使用平方差公式计算的是(　B　) A.(2a＋3b)(2a－3b) B.(－2a＋3b)(3b－2a) C.(－2a＋3b)(－2a－3b) D.(2a－3b)(－2a－3b) 3.李老师做了个长方形教具，若其中一边长为2a＋b，另一边长为a－b，则该长方形的面积为(　B　) A.6a＋b B.2a2－ab－b2 C.2a2＋ab－b2 D.10a－b 4.若(x＋m)与(x＋4)的乘积中不含x的一次项，则m的值为(　A　) A.－4 B.0 C.1 D.4 【解析】 (x＋m)(x＋4)＝x2＋(m＋4)x＋4m。 ∵乘积中不含x的一次项， ∴m＋4＝0，解得m＝－4。 5.有一种口罩能过滤空气中95%的直径约为0.000 000 3 m的非油性颗粒，数据0.000 000 3用科学记数法表示为　3×10－7　。  6.计算：(1)1 002×998＝　999 996　；  (2)2 0252－4 050×2 026＋2 0262＝　1　。  【解析】 (1)原式＝(1 000＋2)×(1 000－2) ＝1 0002－22＝1 000 000－4 ＝999 996。 (2)原式＝2 0252－2×2 025×2 026＋2 0262 ＝(2 025－2 026)2＝1。 7.计算： (1)0.1259×(－8)10＋()0； 解：原式＝0.1259×89×8＋1－25＝8＋1－25＝－16。 (2)(2x－3y)2－(y－3x)(3x－y)； 解：原式＝(2x－3y)2＋(y－3x)2 ＝4x2－12xy＋9y2＋y2－6xy＋9x2 ＝13x2－18xy＋10y2。 (3)(x－3y－2)(－x－3y－2)。 解：原式＝－[x－(3y＋2)][x＋(3y＋2)] ＝－[x2－(3y＋2)2] ＝－x2＋9y2＋12y＋4。 8.先化简，再求值： (1)(x＋1)(x－1)＋(2x－1)2－2x(2x－1)，其中x＝－2； 解：原式＝x2－1＋4x2－4x＋1－4x2＋2x ＝x2－2x。 当x＝－2时，原式＝4＋4＝8。 (2)[(2x－y)2＋(2x－y)(2x＋y)]÷(4x)，其中x＝2，y＝－1。 解：原式＝(4x2－4xy＋y2＋4x2－y2)÷(4x) ＝(8x2－4xy)÷(4x) ＝2x－y。 当x＝2，y＝－1时，原式＝4－(－1)＝5。 9.【猜想】比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除。请按要求完成【验证】与【说理】。 【验证】(1)请用偶数6验证该结论是正确的。 【说理】(2)设偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除。 (1)∵(6＋3)2－62＝92－62＝(9＋6)×(9－6)＝3×(9＋6)， ∴(6＋3)2－62能被3整除。 (2)∵(2n＋3)2－(2n)2 ＝(2n＋3＋2n)(2n＋3－2n) ＝3(4n＋3)， ∴(2n＋3)2－(2n)2能被3整除， 即比2n大3的数与2n的平方差能被3整除。 10.用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4张长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为81。用8张长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为64。用12张长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为(　D　) 第10题图 A.24 B.36 C.45 D.49 【解析】 设长方形的长为a，宽为b(a＞b)。 由图1，得(a＋b)2－4ab＝81，即a－b＝9。① 由图2，得(a＋2b)2－8ab＝64，即a－2b＝8。② 联立①②，解得a＝10，b＝1。 由图3，得S阴影＝(a＋3b)2－12ab＝(a－3b)2＝49。 11.如果10m＝a，10n＝b，m，n为整数，用含a，b的代数式表示下列式子的值。 (1)102m＋10n。 (2)102m＋n。 解：(1)原式＝(10m)2＋10n＝a2＋b。 (2)原式＝(10m)2×10n＝a2b。 12.我们将(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2进行变形，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，ab＝等。请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知a2＋b2＝28，(a＋b)2＝48，则ab＝　10　。  (2)若x满足(25－x)(x－10)＝－15，求(25－x)2＋(x－10)2的值。 (3)如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连结CD，CE，若AC·BC＝10，则图中阴影部分的面积为　10　。  第12题图 解：(1)∵a2＋b2＝28，(a＋b)2＝48， ∴ab＝＝10。 (2)设25－x＝a，x－10＝b。 ∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab， ∴(25－x)2＋(x－10)2 ＝[(25－x)＋(x－10)]2－2(25－x)(x－10) ＝152－2×(－15) ＝225＋30 ＝255。 (3)设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b， 则阴影部分的面积为(a＋b)·(a＋b)(a2＋b2) ＝[(a＋b)2－(a2＋b2)] ＝×2ab ＝ab ＝10。 13.我们规定两数a，b之间的一种运算，记作[a，b]：如果ac＝b，那么[a，b]＝c；例如23＝8，记作[2，8]＝3。 (1)根据以上规定求出：[4，64]＝　3　；  [2 025，1]＝　0　。  (2)小明发现[5，3]＋[5，4]＝[5，12]也成立。理由如下： 设[5，3]＝x，[5，4]＝y， ∴5x＝3，5y＝4。 又∵5x·5y＝5x＋y＝12， ∴[5，12]＝x＋y， ∴[5，3]＋[5，4]＝x＋y＝[5，12]。 根据小明的方法，请计算[2 025，6]＋[2 025，7]＝[2 025，　42　]。  (3)猜想[4，14]－[4，7]＝[4，　2　]，并说明理由。  解：(2)设[2 025，6]＝m，[2 025，7]＝n， 则2 025m＝6，2 025n＝7， ∴2 025m·2 025n＝2 025m＋n＝42， ∴[2 025，42]＝m＋n， ∴[2 025，6]＋[2 025，7]＝[2 025，42]。 (3)[4，14]－[4，7]＝[4，2]。理由如下： 设[4，14]＝a，[4，7]＝b， ∴4a＝14，4b＝7， ∴4a÷4b＝4a－b＝14÷7＝2， ∴[4，2]＝a－b， ∴[4，14]－[4，7]＝[4，2]。 学科网（北京）股份有限公司 $