专题2 二元一次方程组（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

**基本信息** 以“概念-解法-应用”为逻辑主线，通过典例+变式系统构建二元一次方程组解题方法体系，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念|1典例+1变式|解的代入法；定义参数计算|从解的性质到方程(组)概念辨析| |解法|1典例+4变式|加减消元法；同解问题转化|消元技巧→复杂方程组解法→综合应用| |应用|1典例+2变式|经济问题建模；等量关系提取|实际情境→数学抽象→方程求解|

专题2　二元一次方程组 [见学生用书《期末复习导与练》P5] 题型一　二元一次方程(组)的有关概念 　　【典例1】 已知关于x，y的二元一次方程组的解为求a＋b的值。 解：将代入 得解得∴a＋b＝2。 　　【点悟】 二元一次方程有无数组解，二元一次方程组只有一组解。把二元一次方程组的解代入原方程组，就能解得未知系数的值。 　　【变式1】 若方程x3m－1＋5y－3n－2＝4是二元一次方程，则m＝ 　，n＝　－1　。  题型二　二元一次方程组的解法 　　【典例2】 解下列方程组： (1) 解： ①－②，得3y＝－9，解得y＝－3。 把y＝－3代入②，得x＝2， ∴原方程组的解为 (2) 解：方程组可化为 ②×5，得－5x＋45y＝10。③ ①＋③，得46y＝46，解得y＝1。 把y＝1代入②，得x＝7， ∴原方程组的解为 　　【变式2－1】 已知关于x，y的二元一次方程组的解为则关于a，b的二元一次方程组的解为 　。  【解析】 由题意，得解得 　　【变式2－2】 解下列方程组： (1) 解： ①＋②，得3x＝9， 解得x＝3。 将x＝3代入②，得3＋y＝6， 解得y＝3， ∴原方程组的解为 (2) 解：方程组整理得 ①×5－②，得2y＝12，解得y＝6。 把y＝6代入①，得x＝3， ∴原方程组的解为 (3) 解：方程组整理得 ①＋②，得6x＝18，解得x＝3。 把x＝3代入①，得y＝， ∴原方程组的解为 　　【变式2－3】 已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，求(a＋b)2 025的值。 解：联立 解得 把代入 得 ①＋②×5，得18a＝18，解得a＝1。 把a＝1代入②，得b＝－2， 则(a＋b)2 025＝(1－2)2 025＝－1。 题型三　二元一次方程组的应用 　　【典例3】 某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元。他花了3 500元购进苹果和橙子共80箱。 (1)问苹果、橙子各购买了多少箱? (2)该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店可分别获利12元和18元，乙店可分别获利10元和15元。现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店。由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果。如果此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元? 解：(1)设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱。 由题意，得 解得 答：苹果、橙子分别购买了50箱、30箱。 (2)由题意得，销售商在甲店获利为12a＋18b＝600(元)， 整理，得2a＋3b＝100。 销售商在乙店获利为10(50－a)＋15(30－b) ＝950－10a－15b ＝950－5(2a＋3b) ＝950－5×100 ＝450(元)。 答：在乙店获利450元。 　　【变式3－1】 某商店将甲、乙、丙三种糖果混合制成什锦糖，并以糖的平均价格(三种糖果的总价除以它们的质量和)作为什锦糖的单价。若购买10千克甲种糖果和20千克乙种糖果共需费用650元，购买20千克甲种糖果和10千克乙种糖果共需费用700元。 (1)求甲、乙两种糖果的单价。 (2)设丙种糖果的单价为15元/千克，且甲、乙、丙三种糖果的质量之比为1∶2∶a，若什锦糖的单价为20元/千克，求a的值。 解：(1)设甲、乙两种糖果的单价分别是x元/千克、y元/千克。 由题意，得 解得 答：甲、乙两种糖果的单价分别是25元/千克、20元/千克。 (2)由题意，得＝20， 解得a＝1。 经检验，a＝1是分式方程的解，且符合题意。 答：a的值为1。 【变式3－2】 某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶/箱 咖啡/箱 金额/元 方案一 20 10 1 100 方案二 30 15 　　(1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍覆盖位置对应的金额是　1 650　元。  (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1 750元。 ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元。 ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1 200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有多少箱? 解：(1)设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元。 由题意，得20x＋10y＝1 100， ∴30x＋15y＝1.5(20x＋10y)＝1.5×1 100＝1 650(元)。 (2)①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元。 由题意，得 解得 答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元。 ②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为a。 ∵打折牛奶价格为30×0.6＝18(元)，打折咖啡价格为50×0.6＝30(元)， ∴打折咖啡价格与牛奶原价相同。 设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱。 由题意，得18×a＋30×＋50b＝1 200， 整理，得27a＋20b＝1 200。 ∵a，b均为正整数， ∴或 ∵a＞b，∴a＝40，b＝6。 答：此次按原价采购的咖啡有6箱。 1.二元一次方程组的解为(　B　) A. B. C. D. 2.若方程2x－1＝3y＋2的解为则b的值为(　D　) A.1 B.－1 C.3 D.－3 3.如果方程组的解为那么被“★”“■”遮住的两个数分别为(　A　) A.10，4 B.4，10 C.3，10 D.10，3 4.某课外小组分组开展活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则不足5人。设课外小组的人数为x，分成的组数为y，则根据题意，所列方程组为(　C　) A. B. C. D. 5. 问题：“已知2v＋t＝3v－2t＝7，求v，t的值。” (1)把已知条件转化为 ②－①，得v＝　3t　；  (2)解得v＝　3　，t＝　1　。  6.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个?”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买七个苦果，十一文钱可以买九个甜果。问：苦、甜果各有几个?设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为 　。  7.解方程组： (1) 解：原方程组整理， 得 ①－②×3，得2x＝－12，解得x＝－6。 把x＝－6代入②，得－6－y＝4， 解得y＝－10， 故原方程组的解为 (2) 解：原方程组整理， 得 ①＋②，得3x＝15，解得x＝5。 把x＝5代入①，得5＋5y＝0， 解得y＝－1， 故原方程组的解为 8.已知是二元一次方程组的解。求： (1)a，b的值。 (2)方程组的解。 解：(1)由题意，得 由①，得a＝－4。 把a＝－4代入②中， 得2b＋8＝2，解得b＝－3， ∴ (2)由题意，得 解得 ∴方程组 的解为 9.为了建设资源节约型社会，某市对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180度以内(含180度)的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180度到450度(含450度)的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450度的部分，执行市场调节价格。经统计，该市居民小军家今年2月用电200度，电费为119元；3月用电210度，电费为125.4元。 (1)请根据小军家的用电量和电费情况，求出第一档和第二档的电价。 (2)已知小军家今年4，5月的电费分别为94.4元和138.2元，请问小军家4，5月各用了多少度电? 解：(1)设第一档的电价为每度x元，第二档的电价为每度y元。 由题意，得 解得 答：第一档的电价为每度0.59元，第二档的电价为每度0.64 元。 (2)94.4÷0.59＝160(度)， 180＋＝230(度)。 答：小军家4月的用电量为160度，5月的用电量为230度。 10.对于代数式ax＋b(a，b是常数)，当x分别等于3，2，1，0时，小虎同学依次求得下面四个结果：3，2，－1，－3。若其中有一个是错误的，则错误的结果是(　B　) A.3 B.2 C.－1 D.－3 11.若方程组的解是则方程组的解是(　A　) A. B. C. D. 【解析】 移项，得 化简，得 ∵方程组的解是 ∴解得 12.已知关于x，y的方程组其中a，b为整数。 (1)若方程组有无穷多组解，求实数a与b的值。 (2)当b＝a－1时，方程组是否有整数解?若有，求出整数解；若没有，请说明理由。 解：(1) 由①，得2y＝(1＋a)－ax。③ 将③代入②，得2x＋[(1＋a)－ax]b＝3， 整理，得(2－ab)x＝3－b－ab。④ ∵方程组有无穷多组解， ∴2－ab＝0且3－b－ab＝0， 即ab＝2，则3－b－2＝0， ∴b＝1，a＝2。 (2)没有。理由如下： 由(1)，得(2－ab)x＝3－b－ab。 ∵b＝a－1， ∴[2－a(a－1)]x＝3－(a－1)－a(a－1)， 整理，得(2－a)(a＋1)x＝(2－a)(2＋a)。 ①当2－a＝0，即a＝2，b＝a－1＝1时， 方程组为 ∴x＋y＝1.5。 又∵x，y为整数， ∴原方程没有整数解。 ②当2－a≠0，即a≠2时，则(a＋1)x＝(2＋a)。 若a＋1＝0，则(a＋1)x＝(2＋a)显然无解。 若a＋1≠0，则x＝，代入ax＋2y＝a＋1，得y＝。 又∵a为整数， ∴y＝不可能为整数， ∴原方程无整数解。 综上所述，原方程组没有整数解。 13.陈师傅要给一块长6米、宽5米的长方形地面铺瓷砖，如图1，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长是宽的3倍。已知一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为150元，2块A款瓷砖的价格和3块B款瓷砖的价格相等。 (1)分别求出每款瓷砖的单价。 (2)陈师傅购买瓷砖时，A款瓷砖在以原价八折的价格进行促销，结果陈师傅共花费6 600元购买了两种瓷砖，且两种瓷砖的数量相差不超过20块，则两种瓷砖各买了多少块? (3)陈师傅打算将长6米、宽5米的长方形地面的四周都铺上B款瓷砖，中间部分全部铺上A款瓷砖(如图2)，铺完时B款瓷砖恰好用了52块，则A款瓷砖用了多少块? 第13题图 解：(1)设A款瓷砖每块x元，B款瓷砖每块y元。 由题意，得 解得 答：A款瓷砖每块90元，B款瓷砖每块60元。 (2)设A款瓷砖买了a块，B款瓷砖买了b块。 由题意，得 解得或或 答：A款瓷砖买了50块，B款瓷砖买了50块，或A款瓷砖买了55块，B款瓷砖买了44块，或A款瓷砖买了45块，B款瓷砖买了56块。 (3)设在长6米的边上铺了B款瓷砖m块，则B款瓷砖的长为米，宽为米， ∴在宽5米的边上铺B款瓷砖的块数为5÷m。 由题意，得2m＋2×m －4＝52，解得m＝8， ∴长6米的边上铺了8块B款瓷砖，宽5米的边上铺了20块B款瓷砖， ∴中间部分需要用A款瓷砖的块数为(8－2)[(20－2)÷3]＝6×6＝36。 答：A款瓷砖用了36块。 学科网（北京）股份有限公司 $