专题1 相交线与平行线（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

**基本信息** 以“概念-判定-性质-综合-应用”为逻辑主线，通过典例变式系统提炼作辅助线、角平分线转化等解题方法，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线的相交|1典例+1变式|邻补角平分线垂直，等量代换|从对顶角、邻补角到角平分线应用| |平行线的判定|1典例+1变式|5种判定方法（同位角等）|判定定理与图形位置关系对应| |平行线的性质|1典例+1变式|平行得等角/补角，角平分线转化|性质定理与角度计算结合| |判定与性质综合|1典例+1变式|判定性质互推，方程思想|判定证平行→性质求角度的逻辑链| |平移|1典例+1变式|平移性质（对应边/角相等）|平移与图形变换的空间观念| |探究型问题|1典例|作平行线转化角，分类讨论|从静态计算到动态探究的思维进阶|

专题1　相交线与平行线 [见学生用书《期末复习导与练》P1] 题型一　直线的相交 　　【典例1】 如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE。 典例1图 (1)∠DOF的度数为　90　°。  (2)若∠AOC∶∠AOD＝1∶5，∠EOF的度数为　60　°。  【解析】 (1)∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE， ∴∠EOD＝∠BOE，∠EOF＝∠AOE， ∴∠EOD＋∠EOF＝(∠BOE＋∠AOE)， ∴∠DOF＝∠AOB＝×180°＝90°。 (2)∵∠AOC∶∠AOD＝1∶5，∠AOC＋∠AOD＝180°， ∴∠AOC＝30°， ∴∠BOD＝∠AOC＝30°。 ∵OD平分∠BOE， ∴∠EOD＝∠BOD＝30°， ∴∠EOF＝∠DOF－∠EOD＝60°。 【点悟】 邻补角的两条角平分线互相垂直，这个知识常常能为我们在解决一些旋转或折叠类题目时提供便利。 　　【变式1】 (1)如图1，AB，CD，EF是三条公路，且AB⊥EF，CD⊥EF，则AB与CD的位置关系是　AB∥CD　。  (2)如图2，在(1)的条件下，若小路OM平分∠EOB，通往加油站N的岔道O'N平分∠CO'F，则OM与O'N的位置关系是　OM∥O'N　。  图1　 　图2 变式1图 【解析】 (2)∵OM平分∠EOB，O'N平分∠CO'F， ∴∠EOM＝∠FO'N＝45°。 延长MO交CD于点P，则∠FOP＝∠EOM， ∴∠FOP＝∠FO'N， ∴MP∥O'N，即OM∥O'N。 题型二　平行线的判定 　　【典例2】 如图，根据图形填空(括号内填依据)。 典例2图 (1)已知∠ABD＝∠BDC， 则　AB　∥　CD　(　内错角相等，两直线平行　)。  (2)已知∠CBE＝∠A， 则　AD　∥　BC　(　同位角相等，两直线平行　)。  (3)已知∠A＋∠ADC＝180°， 则　AB　∥　CD　(　同旁内角互补，两直线平行　)。  (4)由　∠DBA＝∠E　，可得DB∥CE(同位角相等，两直线平行)。  (5)由　∠DBC＝∠BCE　，可得DB∥CE(内错角相等，两直线平行)。  (6)由　∠DBE＋∠E＝180°(或∠BDC＋∠DCE＝180°)　，可得DB∥CE(同旁内角互补，两直线平行)。  【点悟】 目前我们所知道的判定两直线平行的方法有五种：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行。 　　【变式2】 如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线。已知∠APD＝120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为　30　°(提示：∠ADP＝∠CDE)。  变式2图 【解析】 要使反射光线DE∥AB，则∠PDE ＝∠APD ＝120°。 又∵∠ADP＝∠CDE，∠ADP＋∠PDE＋∠CDE＝180°， ∴∠ADP＝∠CDE＝30°， ∴∠CAB＝180°－∠APD－∠ADP＝30°。 题型三　平行线的性质 　　【典例3】 如图，AB∥CD，E是CD上一点，∠AEC＝42°。若EF平分∠AED，交AB于点F，则∠AFE的度数为　69　°。  典例3图 【解析】 ∵∠AEC＝42°， ∴∠AED＝180°－∠AEC＝138°。 又∵EF平分∠AED， ∴∠FED＝∠AED＝69°。 又∵AB∥CD， ∴∠AFE＝∠FED＝69°。 　　【变式3】 如图1，将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图2，点A，B的对应点分别为A'，B'，折叠后A'M与CN相交于点E。 (1)若∠B'NC＝48°，则∠A'MD＝　48　 °。  (2)设∠B'NC＝α，∠A'MN＝β。 ①请用含α的代数式表示β。 ②当MA'恰好平分∠DMN时，求∠A'MD的度数。 变式3图 解：(1)∵NB'∥A'M， ∴∠A'EC＝∠B'NC＝48°。 又∵CN∥MD， ∴∠A'MD＝∠A'EC＝48°。 (2)①由(1)，得∠A'MD＝∠B'NC＝α。 又∵2∠A'MN＋∠A'MD＝180°， ∴β＝90°。 ②∵MA'恰好平分∠DMN， ∴∠A'MD＝180°÷3＝60°。 题型四　平行线的判定与性质的综合 　　【典例4】 如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2。 (1)试说明：FG∥AE。 (2)若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝4∠ABC，求∠1的度数。 典例4图 解：(1)∵AB∥CD， ∴∠1＝∠FGC。 又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠FGC， ∴FG∥AE。 (2)∵FG⊥BC， ∴∠FHB＝90°。 ∵AB∥CD， ∴∠ABD＋∠D＝180°。 ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠ABC。 又∵∠D＝4∠ABC， ∴6∠ABC＝180°，∴∠ABC＝30°， ∴∠1＝90°－∠ABH＝60°。 　　【变式4】 如图，已知∠EFC＋∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B。 (1)试判断DE与BC的位置关系，并说明理由。 (2)若DE平分∠ADC，∠BDC＝3∠B，求∠EFC的度数。 变式4图 解：(1)DE∥BC。理由如下： ∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°， ∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF， ∴∠DEF＝∠ADE。 又∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE， ∴DE∥BC。 (2)∵DE平分∠ADC， ∴∠ADC＝2∠ADE。 又∵∠B＝∠ADE，∴∠ADC＝2∠B。 又∵∠BDC＝3∠B，∠BDC＋∠ADC＝180°， ∴3∠B＋2∠B＝180°， 解得∠B＝36°，∴∠ADC＝72°。 又∵AD∥EF， ∴∠EFC＝∠ADC＝72°。 题型五　平移 　　【典例5】 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝33°，将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF。 (1)求∠E的度数。 (2)若AE＝9 cm，DB＝2 cm，求CF的长。 典例5图 解：(1)∵∠ACB＝90°，∠A＝33°， ∴∠CBA＝180°－90°－33°＝57°。 由平移，得∠E＝∠CBA＝57°。 (2)由平移易得AD＝BE＝CF。 ∵AE＝9 cm，DB＝2 cm， ∴AD＝BE＝×(9－2)＝3.5(cm)， ∴CF＝3.5 cm。 　　【变式5】 如图是一块长方形的场地，长AB＝a(m)，宽AD＝b(m)。已知从A，B两处入口的小路宽都为1 m，两小路汇合处路宽为 2 m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为　ab－a－2b＋2　m2。  变式5图 【解析】 由图可知：长方形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的长方形，且它的长为(a－2)m，宽为(b－1)m， ∴草坪的面积＝(a－2)(b－1)＝(ab－a－2b＋2)m2。 题型六　平行线的探究型问题 【典例6】 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线AB∥CD，E，G分别为直线AB，CD上的点，F是平面内任意一点，连结EF，GF。 【探索发现】(1)如图1，当∠F＝60°时，试说明：∠AEF＋∠FGC＝60°。 【深入探究】(2)如图2，P，Q分别是直线CD上的点，且∠PFQ＝∠EFG＝90°，直线MN∥FG，交FQ于点K，“智胜小组”探究∠FKN与∠PFE之间的数量关系。请写出它们的关系，并说明理由。 (3)在(2)的探究基础上，∠NKQ＝∠AEF，“科创小组”探究∠CPF与∠EFK之间的数量关系。请直接写出它们的关系，不需要说明理由。 　　　　　　　　　典例6图 解：(1)如答图1，过点F作HI∥AB。 典例6答图1 ∵AB∥CD，∴HI∥CD， ∴∠AEF＝∠EFI，∠FGC＝∠GFI， ∴∠AEF＋∠FGC＝∠EFI＋∠GFI＝∠EFG ＝60°。 (2)∠FKN＝∠PFE。理由如下： 设∠FKM＝∠NKQ＝α， 则∠FKN＝180°－∠NKQ＝180°－α。 ∵MN∥FG，∴∠GFQ＝∠FKM＝α。 又∵∠PFQ＝∠EFG＝90°， ∴∠EFK＝∠EFG－∠GFQ＝90°－α， ∴∠PFE＝∠PFQ＋∠EFK＝180°－α， ∴∠FKN＝∠PFE。 (3)∠CPF＝2∠EFK。 设∠AEF＝∠NKQ＝β。 如答图2，过点F作RS∥AB，则 典例6答图2 ∠EFS＝∠AEF＝β。 ∵AB∥CD，∴RS∥CD， ∴∠SFP＝∠PFE－∠EFS＝180°－2β， ∴∠CPF＝∠SFP＝180°－2β。 又∵∠EFK＝90°－β， ∴∠CPF＝2∠EFK。 　　【点悟】 由两直线平行的关系可以得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的。作平行线实现等角转换是常用方法。 1.下列4个图案中，能通过平移其中一部分而得到的是(　A　) 　　　A　　　 　　 B　　　 　 C　　 　 D 2.如图，在下面4个图形中，∠1与∠2属于同位角的是(　C　) 第2题图 A.① B.①② C.①③ D.②③④ 3.如图，下列条件中，能判定AB∥EF的是(　C　) ①∠B＋∠BFE＝180°； ②∠1＝∠2； ③∠3＝∠4； ④∠B＝∠5。 A.② B.①③ C.①③④ D.②③④ 第3题图 4.如图，平行线AB，CD被直线EF所截，过点B作BG⊥EF于点G。已知∠1＝50°，则∠B的度数为(　C　) A.20° B.30° C.40° D.50° 第4题图 5.已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3。试说明：∠1＋∠4＝180°。 请将下列说理过程补充完整，并在括号内注明依据。 第5题图 解：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知)， ∴∠1＝∠ABC， ∠2＝∠ADC(　角平分线的定义　)。  又∵∠ABC＝∠ADC(　已知　)，  ∴∠1＝∠2(等量代换)。 又∵∠1＝∠3(已知)， ∴∠2＝　∠3　(　等量代换　)，  ∴AB∥CD(　内错角相等，两直线平行　)，  ∴∠1＋∠4＝180°(　两直线平行，同旁内角互补　)。  6.如图，已知在三角形ABC中，AD平分∠BAC，∠1＝∠2。试说明： (1)AD∥GE。 (2)∠3＝∠G。 第6题图 解：(1)∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠2。 又∵∠1＝∠2， ∴∠BAD＝∠1，∴AD∥GE。 (2)∵AD∥GE，∴∠2＝∠G。 又∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，∴∠3＝∠G。 7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，将三角形ABC平移到三角形DEF的位置。 (1)指出平移的方向和平移的距离。 (2)试说明：AD＋BC＝BF。 第7题图 解：(1)平移的方向是AD方向，平移的距离是线段AD(或BE或CF)的长。 (2)∵△ABC平移到△DEF的位置，∴CF＝AD。 又∵CF＋BC＝BF，∴AD＋BC＝BF。 8.将一把含30°角的三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置。若∠1＝50°，则∠2的度数为(　C　) 第8题图 A.80° B.100° C.110° D.120° 9.如图1是一张长方形纸带，∠DEF＝20°，若将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数为　120　°。  第9题图 【解析】 在图1中，∵AD∥BC， ∴∠EFB＝∠DEF＝20°， ∴∠EFC＝180°－∠DEF＝160°。 在图2中，∠GFC＝∠EFC－∠EFG＝140°。 在图3中，∠CFE＝∠GFC－∠EFG＝120°。 10.如图，点E，F分别在直线CD，AB上，EF交AD于点G。已知∠A＝∠D，∠CEF＋∠B＝180°。 (1)EF与BH平行吗?请说明理由。 (2)若∠DGE＝110°，求∠BHD的度数。 第10题图 解：(1)EF∥BH。理由如下： ∵∠A＝∠D，∴AB∥CD， ∴∠CEF＋∠AFE＝180°。 又∵∠CEF＋∠B＝180°， ∴∠AFE＝∠B，∴EF∥BH。 (2)∵∠DGE＝110°， ∴∠DGF＝180°－110°＝70°。 ∵EF∥BH， ∴∠BHD＝∠DGF＝70°。 11.综合与实践 【探索发现】(1)已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连结AP，CP。试说明：∠APC＝∠BAP＋∠PCD。 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作PQ∥AB。 小红：如图3，延长AP，交CD于点M。 请你选择一位同学的方法进行说明。 【深入思考】(2)如图4，E，F分别是射线AB，CD上的点，G是线段CF上一点，连结AG并延长，交直线EF于点P，连结AC，EG。若∠PAC＋∠PEG＝∠AGE，试说明：AC∥EF。 【拓展延伸】(3)如图5，在(2)的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH相交于点H。若∠CAH＝25°，∠AHF＝∠AEG，∠PGE＝2∠CAH＋3∠PEG，求∠PFC的度数。 第11题图 解：(1)选择小刚的方法。说明如下： 过点P作PQ∥AB。 ∵AB∥CD，∴AB∥PQ∥CD， ∴∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠PCD， ∴∠APQ＋∠CPQ＝∠BAP＋∠PCD， 即∠APC＝∠BAP＋∠PCD。 选择小红的方法。说明如下： 延长AP，交CD于点M。 ∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠PMC。 又∵∠APC＝180°－∠MPC＝∠PMC＋∠PCD， ∴∠APC＝∠BAP＋∠PCD。 (2)∵∠AGE＝180°－∠PGE＝∠APE＋∠PEG，∠AGE＝∠PAC＋∠PEG， ∴∠APE＝∠PAC，∴AC∥EF。 (3)∵AH平分∠PAC，∠CAH＝25°， ∴∠PAC＝2∠CAH＝50°。 设∠PEG＝α， ∴∠PGE＝2∠CAH＋3∠PEG＝50°＋3α， ∴∠AGE＝180°－∠PGE＝130°－3α。 由(2)，得∠PAC＋∠PEG＝∠AGE， ∴50°＋α＝130°－3α，解得α＝20°， ∴∠PEG＝20°。 设∠PFH＝β。 ∵FH平分∠PFC， ∴∠PFC＝2∠PFH＝2β。 ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠PFC＝2β， ∴∠AEG＝∠AEF－∠PEG＝2β－20°， ∴∠AHF＝∠AEG＝2β－20°。 ∵由(2)，得AC∥EF， ∴∠AHF＝∠CAH＋∠PFH， ∴2β－20°＝25°＋β，解得β＝45°， ∴∠PFC＝2β＝90°。 学科网（北京）股份有限公司 $