5.5 教材回归专题(11) 与分式方程的增根有关的问题（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

教材回归专题(十一)　与分式方程的增根有关的问题

【教材母题】 (教材P132作业题第3题)

解方程：＝0。

解：方程的两边同乘(x2－4)，

得2(x＋2)－4x＝0，

去括号，得2x＋4－4x＝0，解得x＝2。

经检验，x＝2是原方程的增根，

∴原分式方程无解。

【思想方法】 要注意区分含待定字母的分式方程“有增根”问题和“无解”问题。解“有增根”问题，首先要确定增根，再把分式方程化为整式方程，然后把增根代入整式方程，求出待定字母即可。解“无解”问题要从两个方面考虑，第一个同上述增根问题；第二个则是通过所化的整式方程本身无解推出待定字母的值。

【变式1】 (确定分式方程的增根)

1.若关于x的方程有增根，则增根是(　B　)

A.x＝－1

B.x＝1

C.x＝－2

D.因为含有待定字母m，所以无法确定

【变式2】 (已知分式方程有增根或无解，求方程中的待定字母)

2.若关于x的方程无解，则m的值为(　D　)

A.0 B.4或6

C.6 D.0或4

【解析】 将分式方程化为整式方程，得2(2x＋1)＝mx，4x＋2＝mx，(4－m)x＝－2。

∵原方程无解，

∴x＝－＝－，或4－m＝0，

解得m＝0或m＝4。

3.若关于x的方程有增根，求m的值。

解：方程的两边同乘3(x－3)，得3x＝m2。

∵方程有增根，∴最简公分母3(x－3)＝0，

即增根是x＝3。

把x＝3代入3x＝m2，得m＝±3。

4.小华在解分式方程＋3＝时，由于印刷问题，有一个数“?”看不清楚。

(1)若她把这个数猜成5，请你帮小华解这个分式方程。

(2)小华的妈妈说：“我看到题目的答案是x＝2是方程的增根，原方程无解。”请你求出“?”代表的数。

解：(1)当“?”代表的数是5时，原方程为＋3＝。

方程的两边同乘(x－2)，

得5＋3(x－2)＝－1，解得x＝0。

经检验，x＝0是这个分式方程的解。

(2)设“?”代表的数是m。

方程的两边同乘(x－2)，得m＋3(x－2)＝－1。

∵x＝2是原分式方程的增根，

∴把x＝2代入上面的整式方程，得

m＋3×(2－2)＝－1，解得m＝－1，

∴原分式方程中“?”代表的数是－1。

【变式3】 (根据分式方程的特殊解求待定字母)

5.若关于x的分式方程＋5的解为正数，则m的取值范围是(　D　)

A.m＞－10

B.m≤－10

C.m≥－10且m≠－6