5.5 教材回归专题(11) 与分式方程的增根有关的问题（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

本讲义聚焦分式方程的增根问题这一核心知识点，从教材母题出发，梳理增根的确定方法，区分“有增根”与“无解”的差异，通过变式训练构建从基础到综合的学习支架。 资料以教材母题为起点，通过对比“有增根”与“无解”培养推理能力，结合实际问题（如小华解分式方程）提升应用意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化数学思维与表达。

教材回归专题(十一)　与分式方程的增根有关的问题 【教材母题】 (教材P132作业题第3题) 解方程：＝0。 解：方程的两边同乘(x2－4)， 得2(x＋2)－4x＝0， 去括号，得2x＋4－4x＝0，解得x＝2。 经检验，x＝2是原方程的增根， ∴原分式方程无解。 【思想方法】 要注意区分含待定字母的分式方程“有增根”问题和“无解”问题。解“有增根”问题，首先要确定增根，再把分式方程化为整式方程，然后把增根代入整式方程，求出待定字母即可。解“无解”问题要从两个方面考虑，第一个同上述增根问题；第二个则是通过所化的整式方程本身无解推出待定字母的值。 【变式1】 (确定分式方程的增根) 1.若关于x的方程有增根，则增根是(　B　) A.x＝－1 B.x＝1 C.x＝－2 D.因为含有待定字母m，所以无法确定 【变式2】 (已知分式方程有增根或无解，求方程中的待定字母) 2.若关于x的方程无解，则m的值为(　D　) A.0 B.4或6 C.6 D.0或4 【解析】 将分式方程化为整式方程，得2(2x＋1)＝mx，4x＋2＝mx，(4－m)x＝－2。 ∵原方程无解， ∴x＝－＝－，或4－m＝0， 解得m＝0或m＝4。 3.若关于x的方程有增根，求m的值。 解：方程的两边同乘3(x－3)，得3x＝m2。 ∵方程有增根，∴最简公分母3(x－3)＝0， 即增根是x＝3。 把x＝3代入3x＝m2，得m＝±3。 4.小华在解分式方程＋3＝时，由于印刷问题，有一个数“?”看不清楚。 (1)若她把这个数猜成5，请你帮小华解这个分式方程。 (2)小华的妈妈说：“我看到题目的答案是x＝2是方程的增根，原方程无解。”请你求出“?”代表的数。 解：(1)当“?”代表的数是5时，原方程为＋3＝。 方程的两边同乘(x－2)， 得5＋3(x－2)＝－1，解得x＝0。 经检验，x＝0是这个分式方程的解。 (2)设“?”代表的数是m。 方程的两边同乘(x－2)，得m＋3(x－2)＝－1。 ∵x＝2是原分式方程的增根， ∴把x＝2代入上面的整式方程，得 m＋3×(2－2)＝－1，解得m＝－1， ∴原分式方程中“?”代表的数是－1。 【变式3】 (根据分式方程的特殊解求待定字母) 5.若关于x的分式方程＋5的解为正数，则m的取值范围是(　D　) A.m＞－10 B.m≤－10 C.m≥－10且m≠－6 D.m＞－10且m≠－6 【解析】 去分母，得3x＝－m＋5(x－2)， 解得x＝。 ∵方程的解为正数， ∴m＋10＞0，且x＝≠2， ∴m的取值范围是 m＞－10且m≠－6。 6.若方程＝－1的解是整数，求整数a的值。 解：去分母，得ax＋2＝1－x，解得x＝。 ∵解是整数，且a是整数， ∴a＋1＝1或a＋1＝－1，∴a＝0或a＝－2。 又∵x－1≠0，∴≠1，∴a≠－2，∴a＝0。 1.下列说法中，正确的是(　C　) A.解分式方程必定产生增根 B.若分式方程的根是0，则必定是增根 C.解分式方程必须验根 D.x＝3是方程＝2＋的解 2.若关于x的分式方程＝a有增根，则a的值为(　A　) A.－ B.0 C.－ 或0 D.－1或－ 3.若在去分母解分式方程时产生了增根，则k＝　－3　。  4.解下列方程： (1)＝1； 解：方程的两边同乘(x－2)， 得x＋x－4＝x－2，解得x＝2。 经检验，x＝2是原方程的增根， ∴原分式方程无解。 (2)＝－1。 解：方程的两边同乘(x2－4)， 得－(x＋2)2＋16＝4－x2。 去括号，得－x2－4x－4＋16＝4－x2， 解得x＝2。 经检验，x＝2是原方程的增根， ∴原分式方程无解。 5.当a为何值时，关于x的方程＝a无解? 解：方程的两边同乘(x＋1)， 得3a－2＝ax＋a。 移项，合并同类项，得ax＝2a－2。 ①当a＝0时，该方程无解； ②当分式方程有增根时，x＋1＝0，即x＝－1， ∴－a＝2a－2，解得a＝。 综上所述，a的值为0或。 6.当a为何值时，关于x的方程会产生增根? 解：方程的两边同乘(x2－4)， 得2(x＋2)＋ax＝3(x－2)。 整理，得(a－1)x＝－10。 ∵此方程的增根是x＝±2， ∴当x＝2时，(a－1)×2＝－10，解得a＝－4； 当x＝－2时，(a－1)×(－2)＝－10， 解得a＝6， ∴当a的值为－4或6时，关于x的方程会产生增根。 7.若方程＝－1的解是正数，求a的取值范围。关于这道题，有位同学作出如下解答： 解：去分母，得2x＋a＝－x＋2， 解得x＝。 ∵方程的解是正数，∴＞0，∴a＜2， ∴当a＜2时，方程＝－1的解是正数。 上述解法是否有错误?若有错误，请说明错误的原因，并写出正确的解答过程；若没有错误，请说出每一步解法的依据。 解：这位同学的解答过程有错误，因为该同学求出由分式方程所化得的整式方程的解x＝后，就认为x＝是原方程的解，事实上，当x＝＝2时，原方程无解，故应将x＝2＝排除。 正确的解答过程如下： 去分母，得2x＋a＝－x＋2，解得x＝。 ∵方程的解是正数且x≠2， ∴＞0，≠2，∴a＜2且a≠－4， ∴当a＜2且a≠－4时，方程＝－1的解是正数。 学科网（北京）股份有限公司 $