4.1 因式分解的意义（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

本讲义聚焦“因式分解的意义”核心知识点，系统梳理因式分解的定义、与整式乘法的互逆关系，通过辨析、计算、几何应用等学习支架，衔接整式乘法与后续因式分解方法，帮助学生理解本质。 资料设计辨析题区分因式分解与乘法培养抽象能力，结合简便计算和图形面积推导发展运算能力与几何直观，通过错误分析和规律探究提升推理意识。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固，查漏补缺。

第4章　因式分解 4.1　因式分解的意义 1.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是(　C　) A.a2＋3a－5＝a(a＋3)－5 B.(a＋2)(a－2)＝a2－4 C.a2－2a＋1＝(a－1)2 D.2a－2b＋2＝2(a－b) 2.对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形中，表述正确的是　(　C　) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 3.若把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)·(x－3)，则a，b的值分别为(　B　) A.2，3 B.－2，－3 C.－2，3 D.2，－3 【解析】 (x＋1)(x－3)＝x2－2x－3， ∴a＝－2，b＝－3。 4.下列计算中，不正确的是(　D　) A.642＋64×36＝64×100＝6 400 B.1782－782＝(178＋78)×(178－78)＝256×100＝25 600 C.492＋49＝49×(49＋1)＝49×50＝2 450 D.×＝81 【解析】 × ＝10×9＝90，D不正确。 A，B，C均正确。 5.(1)计算：(2x＋3)(2x－3)＝　4x2－9　，反过来分解因式　4x2－9　＝(2x＋3)(2x－3)；  (2)计算：(4x＋3)2＝　16x2＋24x＋9　，反过来分解因式　16x2＋24x＋9　＝(4x＋3)2。  6.利用因式分解的变形方法计算： (1)2 0252－2 025×25＝　4 050 000　；  (2)782－222＝　5 600　。  【解析】 (1)2 0252－2 025×25＝2 025×(2 025－25)＝2 025×2 000＝4 050 000。 (2)782－222＝(78＋22)×(78－22) ＝100×56＝5 600。 7.如图，把左、右两边相等的代数式用线连起来： 第7题图 解：如答图所示。 第7题答图 8.检验下列因式分解是否正确(写出检验过程)。 (1)6xy－3x2y2＝3xy(2－xy)； 解：∵3xy(2－xy)＝6xy－3x2y2， ∴因式分解正确。 (2)m3＋m2＋m＝m(m2＋m)； 解：∵m(m2＋m)＝m3＋m2≠m3＋m2＋m， ∴因式分解错误。 (3)x2－x－12＝(x－4)(x＋3)。 解：∵(x－4)(x＋3)＝x2＋3x－4x－12＝x2－x－12， ∴因式分解正确。 9.下面是一个正确的因式分解，但是其中一部分被墨水浸染看不清了。 2x2＋＝(x－2)(2x＋5)。 (1)求被墨水浸染的代数式。 (2)若被墨水浸染的代数式的值为2，求x的值。 解：(1)(x－2)(2x＋5)－2x2 ＝2x2＋5x－4x－10－2x2 ＝x－10， 即被墨水浸染的代数式为x－10。 (2)由题意，得x－10＝2，解得x＝12。 10.下列因式分解中，正确的是(　A　) ①2x2－xy＋x＝x(2x－y＋1)； ②x2－4y2＝(x＋4y)(x－4y)； ③x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)； ④2x2－4x＋1＝(2x－1)2。 A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④ 11.已知x2＋mx＋n＝(x－3)(ax＋5)，则3m－n＋a＝　22　。  【解析】 由x2＋mx＋n＝(x－3)(ax＋5)＝ax2＋(5－3a)x－15， 得a＝1，m＝2，n＝－15， ∴3m－n＋a＝3×2＋15＋1＝22。 12.找规律： 1×3＋1＝4＝22； 2×4＋1＝9＝32； 3×5＋1＝16＝42； 4×6＋1＝25＝52； … 请你把找出的规律用式子表示出来： 　n(n＋2)＋1＝(n＋1)2　。  13.如图1，某工人师傅在一个边长为a的正方形的四个角截去了4个边长为b的正方形，再沿图中的虚线把①，②两个长方形剪下来，拼成了如图2所示的一个大长方形.试根据图1与图2，写出一个关于因式分解的等式：　a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)　。  第13题图 【解析】 图1中阴影部分的面积为a2－4b2， 图2中①，②是两个相同的小长方形，长为(a－2b)，宽为b，因此图2中的大长方形的长为(a＋2b)，宽为(a－2b)，故图2中阴影部分的面积为(a＋2b)(a－2b)。 又∵图1与图2中阴影部分的面积相等， ∴a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)。 14.在分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解的结果为(x＋6)(x－1)；乙看错了b的值，分解的结果为(x－2)(x＋1)，求正确的a，b的值。 解：∵(x＋6)(x－1)＝x2＋5x－6， 甲看错了a的值，b的值未看错，∴b＝－6。 ∵(x－2)(x＋1)＝x2－x－2， 乙看错了b的值，a的值未看错，∴a＝－1， ∴正确的a，b的值分别是－1和－6。 15.将一个三位数的百位数字与个位数字互相交换位置，得到的新数与原数之差能被99整除吗?请说明理由。 解：能。理由如下： 设原三位数为100a＋10b＋c，则新三位数为100c＋10b＋a。 100c＋10b＋a－(100a＋10b＋c) ＝99c－99a＝99(c－a)。 ∵c和a都为整数，∴c－a为整数， ∴新三位数与原三位数之差能被99整除。 16.[创新意识，运算能力]仔细阅读下面的例题： 例：已知二次多项式x2－4x＋m有一个因式为x＋3，求另一个因式以及m的值。 解：设另一个因式为x＋n。 由题意，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)， 则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n， ∴解得 ∴另一个因式为x－7，m的值为－21。 请仿照上述方法解答下列问题： (1)若x2＋bx＋c＝(x－2)(x＋4)，则b＝　2　，c＝　－8　。  (2)已知二次多项式2x2＋5x＋k有一个因式为2x－3，求另一个因式以及k的值。 解：(1)∵(x－2)(x＋4)＝x2＋2x－8＝x2＋bx＋c，∴b＝2，c＝－8。 (2)设另一个因式为x＋p。 由题意，得2x2＋5x＋k＝(x＋p)(2x－3)， 即2x2＋5x＋k＝2x2＋(2p－3)x－3p， ∴解得 ∴另一个因式为x＋4，k的值为－12。 学科网（北京）股份有限公司 $