专题 4.2 提取公因式法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 4.2 提取公因式法（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】公因式 1 【知识点二】添括号法则 1 【知识点三】提公因式法 2 【题型 1】找公因式 2 【题型 2】添括号 4 【题型 3】直接提取公因式 5 【题型 4】整理变形后提取公因式 7 二.培优题型精析（教材挖掘） 10 【题型 5】先因式分解，再代入求值 10 【题型 6】提取公因式实际应用 12 【题型 7】提取公因式与规律问题 15 三.同步检测 19 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 19 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 23 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 26 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】公因式 一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫作这个多项式各项的公因式。 【要点提示】构成多项式公因式的基本条件：（1） 必须是各项都有，即每一项都包含，缺一不可；（2）相同的因式表示数字、字母、式子都要完全一样；（3）因式可以是数字、单项式、多项式，但不能是分式。 【知识点二】添括号法则 括号前面添“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面添“-”号，括到括号里的各项都变号。 【知识点三】提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法，叫作提取公因式法。 提公因式法基本步骤： （1）找：找出多项式中各项的公因式（系数、字母、指数），确定应提取的公因式； （2）除：用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； （3）检：把多项式写成这两个因式的积的形式，提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。 【要点提示】（1）系数取各项系数的最大公因数，指数取相同字母的最低次幂，公因数和字母的乘积就是公因数；（2）当首项的系数为负时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号。 （3）提公因式后，某一项被全部提走时，要留下1，不能丢项，这是易错的地方。 【题型 1】找公因式 【例题1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）给出下列四组代数式：①和；②和；③和；④和．其中没有公因式的一组是________．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键． 根据公因式的概念逐一判断选项即可． 解：①和的公因式是，不符合题意； ②和没有公因式，符合题意； ③和的公因式是，不符合题意； ④和的公因式是5，不符合题意； 故答案为：②． 【变式1】（24-25八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 解：∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组中，没有公因式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式的公因式，熟练掌握多项式的公因式是解题的关键． 将每一组因式分解，找到公因式即可得到答案． 解：A、，，有公因式，不符合题意； B、多项式与没有公因式，符合题意； C、由，得，有公因式，不符合题意； D、，有公因式，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 【答案】 【分析】公因式是指多项式的各项都含有的因式，据此求解即可． 解：（1）多项式中各项的公因式是； （2）多项式中各项的公因式是； （3）多项式中各项的公因式是． 【题型 2】添括号 【例题2】（25-26七年级上·河北张家口·期中）下面是一道关于整式运算的例题及解答过程，其中M，N是两个关于x的二项式． 先去括号，再合并同类项：． 解：原式 请确定，，． 【答案】M：；N：；P： 【分析】本题考查合并同类项，添括号，掌握相关知识是解决问题的关键．根据添括号法则，合并同类项法则进行计算即可． 解：， ， 故：；：；：． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式对整式进行变形，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行变形即可． 解： 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若，则代数式的值为___________． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是注意整体代入思想的应用．将变形为，再将整体代入计算即可． 解：， ∵， ∴原式． 故答案为：2026． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）按要求把多项式添上括号． （1）把后三项括到前面带有“-”号的括号里； （2）把四次项括到前面带有“+”号的括号里，把二次项括到前面带有“-”号的括号里． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是去括号与添括号，熟知添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号是解题的关键．根据添括号的法则进行解答即可． 解：（1）解： ； （2）解：． 【题型 3】直接提取公因式 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是提公因式法因式分解，理解整体公因式是解本题的关键． （1）提出公因式，即可求解； （2）提出公因式，即可求解； （3）提出公因式，即可求解； （4）提出公因式，即可求解． 解：（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·月考）若多项式可以因式分解成，则的值是______． 【答案】3或 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案． 解：∵可以因式分解成， ∴ ， 故，或，， 则或． 故答案为：3或． 【变式2】（24-25八年级上·河南驻马店·月考）若多项式可以因式分解成，则的值是______． 【答案】3或 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案． 解：∵可以因式分解成， ∴ ， 故，或，， 则或． 故答案为：3或． 【变式3】（24-25八年级上·重庆长寿·月考）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）依据题意，运用提公因式法即可分解因式得解； （2）依据题意，根据提公因式法进行分解可以得解． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【题型 4】整理变形后提取公因式 【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握先变形构造公因式，再提取公因式化简多项式是解题的关键． （1）先将变形为，使两项出现公因式，再提取公因式； （2）先将变形为，使两项出现公因式，再提取公因式； （3）先将变形为，使两项出现公因式，再提取公因式． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）把多项式因式分解得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查对因式分解-提公因式的理解和掌握，能正确变形并能找出公因式是解此题的关键． 通过提取公因式进行因式分解，注意符号变换. 解：原式为. 1. 处理符号：观察到， 原式可改写为： 2.提取公因式：两项均含公因式，提取后得： 3.验证选项： 选项B为，与上述结果一致. 其他选项符号或分解形式不符. 故选：B 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键． 检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行． 解：原式为， ∵， ∴正确变形应为， 但步骤①写为，符号错误， ∴ 开始出现错误的一步是①． 故选：A． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）分解因式： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将化为之后，提公因式即可； （2）将化为之后，提公因式即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 二.培优题型精析（教材挖掘） 【题型 5】先因式分解，再代入求值 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）先因式分解，再计算求值： （1），其中，． （2），其中，，． 【答案】（1）；；（2）； 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，代数式求值，掌握先提取公因式化简代数式，再代入数值计算，简化运算过程是解题的关键． （1）观察两项的公因式，提取公因式后化简代数式，再代入数值计算 （2）先将变形为，使两项出现公因式，提取公因式后化简，再代入数值计算． 解：（1）解：原式 ． 当，时， 原式． （2）解：原式 ． 当，，时， 原式 ． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·月考）若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【分析】把所求式子变形为，进一步可变形为，最后变形为，据此代入求值即可． 解：∵， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级上·山西晋城·期中）若，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解、代数式求值等知识点，掌握运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 先运用提取公因式法进行因式分解，然后将、整体代入计算即可． 解：∵，，， ∴原式． 故答案为． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）已知，，求的值； 变式题本质相同：逆向思维 若实数，满足，，则的值为_______． （2）已知方程组，求代数式的值． 【答案】（1）；变式题：；（2） 【分析】本题考查因式分解，以及代数式求值，解题的关键在于熟练掌握提公因式法分解因式． （1）利用提公因式先将变形为，再将，代入求解，即可解题； 变式题：根据将代入求解，即可解题； （2）利用提公因式先将变形为，再将，代入求解，即可解题． 解：（1）． 把，代入上式， 原式． 变式题：，， ，即， 故答案为：． （2）原式． 把，代入上式， 原式． 【题型 6】提取公因式实际应用 【例题6】（24-25七年级下·四川成都·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式分别表示出，，，即可得到答案； （2）根据（1）所求求出，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案； （3）根据题意可得，则；再证明，据此代值计算即可． 解：（1）由题意得，， ∴，， ∴； （2）∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 【变式1】．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可． 解：底面积为（b﹣2a）2， 侧面积为a•（b﹣2a）•4＝4a•（b﹣2a）， ∴M＝（b﹣2a）2﹣4a•（b﹣2a）， 提取公式（b﹣2a）， M＝（b﹣2a）•（b﹣2a﹣4a）， ＝（b﹣6a）（b﹣2a） 故选：A． 【点拨】本题考查了因式分解，灵活提取公因式是本题关键． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：______________________________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形体积的割补是解题的关键． 图②图形的体积有两种计算方法：（1）三个长方体体积相加；（2）大正方体体积减去小正方体体积，按要求列出式子，即可解答． 解：将图②分成三个长方体， 可得体积为 ， ． 故答案为：． 【题型 7】提取公因式与规律问题 【例题7】（24-25八年级上·山东东营·单元测试）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 分解因式：． 解：原式 ． （1）上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； （2）分解因式：； （3）猜想：分解因式的结果是_____． 【答案】（1）提公因式法，2；（2）；（3） 【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法以及多次使用提公因式的方法是解题的关键． （1）由题干提示的分解因式的方法可得答案； （2）逐步提取公因式，从而可得答案； （3）逐步提取公因式，从而可得答案． 解：（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次． 故答案为：提公因式法，2； （2）原式 ； （3）原式 ． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·山东泰安·月考）阅读下列因式分解过程，再回答所提出的问题： （1）上述因式分解的方法是 ，共应用了 次； （2）若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ． （3）观察规律直接写出结果：（n为正整数）． 【答案】（1）提公因式法；两；（2）2017；；（3） 【分析】本题考查了提公因式分解因式，要连续多次用到提公因式的方法，找到规律是解题的关键． （1）由解答过程即可完成解答； （2）通过例子找到规律即可作出解答； （3）连续多次提公因式即可． 解：（1）解：由例子解答过程知，运用了提公因式的方法分解因式，共应用了两次； 故答案为：提公因式；两； （2）解：观察解答过程知，中的最高次数为2次，则进行了两次提公因式方法，一般地，的最高次数为n次，则进行了n次提公因式；分解，则需应用提公因式方法2017次； ； 故答案为：2017；； （3）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：（n是正整数）______． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键，直接利用提取公因式法分解因式得出即可． 解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·山东青岛·期中）问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6 问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法： （1）仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程； （2）填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝　 　； 发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝　 　； 问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝　 　（结果用乘方表示）． 【答案】（1）（1+a）4；（2）（1+a）5；（1+a）n+1；47 【分析】（1）用提取公因式（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式； （2）通过前面（1）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式， 发现规律：是根据（1）（2）的结果写出结论； 问题解决：通过前面的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式． 解：（1）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3 ＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3 ＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3 ＝（1+a）3+a（1+a）3 ＝（1+a）3（1+a） ＝（1+a）4； （2）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4 ＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4 ＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4 ＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4 ＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4 ＝（1+a）4+a（1+a）4 ＝（1+a）4（1+a） ＝（1+a）5； 故答案为：（1+a）5； 发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1； 故答案为：（1+a）n+1； 问题解决：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6 ＝（1+3）6（1+3） ＝（1+3）7 ＝47． 故答案为：47． 【点拨】此题考查了数字类运算的规律，提公因式法分解因式，整式的混合运算法则，正确掌握提公因式法分解因式是解题的关键，同时还考查了类比解题的思想． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式． 解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为， ∴应提取的公因式为． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南南阳·月考）多项式和的公因式是（    ） A． B．x C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 将第二个多项式因式分解，提取公因式后得到，与第一个多项式对比，可知公因式为． 解：∵ ， ∵ 第一个多项式为， ∴二者的公因式为， 故选D． 3．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号与添括号的法则，按照去括号或添括号的法则进行即可． 解：A、，故添括号错误； B、，故添括号错误； C、，故去括号错误； D、，故去括号正确． 故选：D． 4．（24-25八年级上·全国·月考）计算：，结果正确的是（    ）． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题关键．先将原式变形为，再提取公因式，由此即可得． 解： ， 故选：C． 5．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）将多项式提公因式后，另一个因式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先利用提公因式法法进行因式分解，即可确定公因式和另一个因式． 解： ， ∴公因式是，另一个因式为． 故选：B 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）不改变代数式的值，下列添括号错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据添加括号法则分析判断即可． 解：根据添括号法则，可得 ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意，而C选项错误，符合题意； ，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了添加括号法则，理解并掌握添加括号法则是解题关键． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）把多项式因式分解得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查对因式分解-提公因式的理解和掌握，能正确变形并能找出公因式是解此题的关键． 通过提取公因式进行因式分解，注意符号变换. 解：原式为. 1. 处理符号：观察到， 原式可改写为： 2.提取公因式：两项均含公因式，提取后得： 3.验证选项： 选项B为，与上述结果一致. 其他选项符号或分解形式不符. 故选：B 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知实数满足，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，将已知数值代入并进行正确的计算是解题的关键．根据得出，将原式变形后整体代入即可求解． 解：已知， 则， 那么 ． 故选：C． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级下·吉林长春·月考）因式分解：________． 【答案】 【分析】找出多项式各项的公因式，提取公因式即可得到结果． 解：． 10．（24-25六年级下·山东烟台·期中）___________． 【答案】 【分析】先变形，再根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 解：统一底数：和互为相反数， 原式 ． 11．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如果，，那么的值为______． 【答案】3 【分析】先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知的和的值整体代入计算即可． 解：对因式分解，得， 将，代入上式，得 原式． 12．（25-26六年级上·山东烟台·期末）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的计算和整体代入法．化简代数式，然后将条件式整体代入即可． 解： ， ∵， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据长方形的周长和面积公式，得出和的值，然后将代数式因式分解后代入求值． 解：长方形的周长为，面积为， ，即，． 则． 故答案为：． 14．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是___________． 【答案】6 【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用、因式分解，理解题意是解题的关键．根据题意用表示出和，计算可得，根据的值能被13整除，得出是13的倍数，列出方程求出的值即可． 解：，， 则． 因为的值能被13整除，且11与13互质， 所以是13的倍数， 所以， 解得：， 故答案为：6． 15．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，长方形的面积公式，由题意得，，再将要求的式子变形为，代入求解即可，掌握提公因式法是解题的关键． 解：由题意得：，， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知，则的值为____． 【答案】0 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用提取公因式法因式分解是解题关键． 将变形为，再将代入所求式子中即可求解． 解：∵， ∴ ． 故答案为：0． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·山东济南·月考）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）把变形为，再提取公因式即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用因式分解进行计算： （1）； （2）． 【答案】（1）260；（2）2009 【分析】本题主要考查了运用提取公因式法分解因式、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用提取公因式是解题的关键． （1）先把39分解成，然后提取公因式13，再进行计算求值即可； （2）先提取公因式，然后再运用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）将化为，然后利用提公因式法因式分解即可； （2）将化为，然后利用提公因式法因式分解即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20．（25-26七年级上·湖北孝感·月考）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，化简的结果是_____． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的加减，解决问题的关键是运用整体思想；给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． （1）把看成一个整体，运用合并同类项法则进行计算即可； （2）把变形，得到，再根据整体代入法进行计算即可． 解：（1）解：把看成一个整体， 则 ； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.2 提取公因式法（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】公因式 1 【知识点二】添括号法则 1 【知识点三】提公因式法 2 【题型 1】找公因式 2 【题型 2】添括号 2 【题型 3】直接提取公因式 3 【题型 4】整理变形后提取公因式 4 二.培优题型精析（教材挖掘） 4 【题型 5】先因式分解，再代入求值 4 【题型 6】提取公因式实际应用 5 【题型 7】提取公因式与规律问题 6 三.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 9 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】公因式 一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫作这个多项式各项的公因式。 【要点提示】构成多项式公因式的基本条件：（1） 必须是各项都有，即每一项都包含，缺一不可；（2）相同的因式表示数字、字母、式子都要完全一样；（3）因式可以是数字、单项式、多项式，但不能是分式。 【知识点二】添括号法则 括号前面添“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面添“-”号，括到括号里的各项都变号。 【知识点三】提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法，叫作提取公因式法。 提公因式法基本步骤： （1）找：找出多项式中各项的公因式（系数、字母、指数），确定应提取的公因式； （2）除：用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； （3）检：把多项式写成这两个因式的积的形式，提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。 【要点提示】（1）系数取各项系数的最大公因数，指数取相同字母的最低次幂，公因数和字母的乘积就是公因数；（2）当首项的系数为负时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号。 （3）提公因式后，某一项被全部提走时，要留下1，不能丢项，这是易错的地方。 【题型 1】找公因式 【例题1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）给出下列四组代数式：①和；②和；③和；④和．其中没有公因式的一组是________．（填序号） 【变式1】（24-25八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组中，没有公因式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 【题型 2】添括号 【例题2】（25-26七年级上·河北张家口·期中）下面是一道关于整式运算的例题及解答过程，其中M，N是两个关于x的二项式． 先去括号，再合并同类项：． 解：原式 请确定，，． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若，则代数式的值为___________． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）按要求把多项式添上括号． （1）把后三项括到前面带有“-”号的括号里； （2）把四次项括到前面带有“+”号的括号里，把二次项括到前面带有“-”号的括号里． 【题型 3】直接提取公因式 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·月考）若多项式可以因式分解成，则的值是______． 【变式2】（24-25八年级上·河南驻马店·月考）若多项式可以因式分解成，则的值是______． 【变式3】（24-25八年级上·重庆长寿·月考）因式分解： （1）； （2）． 【题型 4】整理变形后提取公因式 【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： （1）． （2）． （3）． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）把多项式因式分解得（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）分解因式： （1）； （2） 二.培优题型精析（教材挖掘） 【题型 5】先因式分解，再代入求值 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）先因式分解，再计算求值： （1），其中，． （2），其中，，． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·月考）若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【变式2】（25-26八年级上·山西晋城·期中）若，，则的值为______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）已知，，求的值； 变式题本质相同：逆向思维 若实数，满足，，则的值为_______． （2）已知方程组，求代数式的值． 【题型 6】提取公因式实际应用 【例题6】（24-25七年级下·四川成都·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【变式1】．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：______________________________． 【题型 7】提取公因式与规律问题 【例题7】（24-25八年级上·山东东营·单元测试）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 分解因式：． 解：原式 ． （1）上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； （2）分解因式：； （3）猜想：分解因式的结果是_____． 【变式1】（24-25八年级上·山东泰安·月考）阅读下列因式分解过程，再回答所提出的问题： （1）上述因式分解的方法是 ，共应用了 次； （2）若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ． （3）观察规律直接写出结果：（n为正整数）． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：（n是正整数）______． 【变式3】（24-25八年级上·山东青岛·期中）问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6 问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法： （1）仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程； （2）填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝　 　； 发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝　 　； 问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝　 　（结果用乘方表示）． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南南阳·月考）多项式和的公因式是（    ） A． B．x C． D． 3．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·全国·月考）计算：，结果正确的是（    ）． A． B．2 C． D． 5．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）将多项式提公因式后，另一个因式为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）不改变代数式的值，下列添括号错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）把多项式因式分解得（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知实数满足，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．5 D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级下·吉林长春·月考）因式分解：________． 10．（24-25六年级下·山东烟台·期中）___________． 11．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如果，，那么的值为______． 12．（25-26六年级上·山东烟台·期末）若，则的值为______． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为_____． 14．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是___________． 15．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为_______． 16．（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知，则的值为____． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·山东济南·月考）因式分解： （1）； （2）． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用因式分解进行计算： （1）； （2）． 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： （1）． （2）． 20．（25-26七年级上·湖北孝感·月考）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，化简的结果是_____． （2）已知，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $