3.5 整式的化简（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

本讲义聚焦整式的化简这一核心知识点，系统梳理平方差公式、完全平方公式的直接应用，逐步过渡到综合化简、先化简再求值，延伸至实际问题（如超市销售额增长）和几何情境（图形面积分割）的应用，构建从基础到综合的学习支架。 该资料通过错误辨析题（小明化简过程）培养学生推理意识，结合几何直观题（图形分割求面积）发展空间观念，设置实际应用题提升应用意识。课中辅助教师突破公式运用难点，课后学生可通过分层练习查漏补缺，强化知识综合运用能力。

3.5　整式的化简 1.计算(3x－5)2－(2x＋7)2的结果是(　D　) A.13x2－26x＋74 B.5x2－2x－24 C.x2－6x＋74 D.5x2－58x－24 2.若a2＋4a＝5，则代数式2a(a＋2)－(a＋1)(a－1)的值为(　D　) A.1 B.2 C.4 D.6 3.计算：(1)9.8×10.2＝　99.96　；  (2)2012－402＋1＝　40 000　。  4.下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并解答问题。 化简：(2x－1)(2x＋1)＋(2x－3)(3－2x). 解：原式＝(2x)2－1－(2x－3)2……第一步 ＝4x2－1－(4x2－12x＋9)……第二步 ＝4x2－1－4x2－12x－9……第三步 ＝－12x－10。……第四步 (1)以上解题过程中，第二步用到的乘法公式用字母表示为　(a－b)2＝a2－2ab＋b2　；  (2)老师说小明的化简过程不正确，则小明从第　三　步开始出现错误，出现错误的原因是　去括号时，括号内的各项都要改变符号　，该整式化简的正确结果为　12x－10　。  5.化简： (1)(x＋1)2＋2(1－x)－x2； 解：原式＝x2＋2x＋1＋2－2x－x2＝3。 (2)(a＋b)2－(a－b)2＋a(1－4b)。 解：原式＝a2＋2ab＋b2－(a2－2ab＋b2)＋a－4ab＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＋a－4ab＝a。 6.先化简，再求值：(a＋3)2－a(a－2)，其中a＝1。 解：原式＝a2＋6a＋9－a2＋2a＝8a＋9。 当a＝1时，原式＝8＋9＝17。 7.先化简，再求值：(x＋2y)2－2(x－y)(x＋y)，其中x＝－2，y＝。 解：原式＝x2＋4xy＋4y2－2(x2－y2) ＝x2＋4xy＋4y2－2x2＋2y2 ＝－x2＋4xy＋6y2。 当x＝－2，y＝时， 原式＝－(－2)2＋4×(－2)×＋6×＝－4－4＋＝－。 8.(1)已知实数a，b满足a2＋b2＝13，a－b＝1，求(a＋b)2的值。 (2)已知实数a，b满足(a＋b)2＝16，(a－b)2＝4，求a2＋b2＋ab的值。 解：(1)∵a－b＝1，∴(a－b)2＝1。 又∵a2＋b2＝13， ∴－2ab＝(a－b)2－(a2＋b2)＝1－13＝－12， ∴ab＝6，∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝25。 (2)∵(a＋b)2＝16，(a－b)2＝4， ∴a2＋2ab＋b2＝16，① a2－2ab＋b2＝4，②∴①＋②，得a2＋b2＝10， ①－②，得ab＝3，∴a2＋b2＋ab＝13。 9.运用乘法公式计算： (1)(x－2y＋3z)2； 解：原式＝[(x－2y)＋3z]2 ＝(x－2y)2＋2(x－2y)·3z＋(3z)2 ＝x2－4xy＋4y2＋6xz－12yz＋9z2。 (2)(a＋b＋1)(a－b－1)。 解：原式＝[a＋(b＋1)][a－(b＋1)] ＝(a)2－(b＋1)2＝2a2－(b2＋2b＋1) ＝2a2－b2－2b－1。 10.如果m2＋m＝3，那么代数式m(m－2)＋(m＋2)2的值为(　B　) A.14 B.10 C.7 D.6 【解析】 原式＝m2－2m＋m2＋4m＋4 ＝2m2＋2m＋4。 ∵m2＋m＝3，∴原式＝2(m2＋m)＋4＝2×3＋4＝6＋4＝10。 11.把末位数是5的自然数表示成10n＋5的一般形式，其中n为自然数，则(10n＋5)2＝100n2＋100n＋25＝100n(n＋1)＋25，因此，在计算末位数是5的自然数的平方时，只要把n与n＋1相乘，并在积的后面写上25即可。例如：52＝25，152＝225，252＝625，352＝1 225，… (1)852＝　7 225　；  (2)1952＝　38 025　。  12.解下列方程： (1)(2x－1)(1＋2x)＋3(x＋2)(x－2)＝7(x－1)2； 解：去括号，得4x2－1＋3x2－12＝7x2－14x＋7。 移项、合并同类项，得14x＝20。 两边同除以14，得x＝。 (2)(3x＋1)(3x－1)＋2(x＋2)(x－2)＝11(x＋1)(x－3)。 解：去括号，得9x2－1＋2x2－8＝11x2－22x－33。 移项、合并同类项，得22x＝－24。 两边同除以22，得x＝－。 13.小明家在某市经营了甲、乙两个连锁超市，这两个连锁超市4月的销售额均为m万元，在5月和6月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减少x%。 (1)6月甲超市的销售额比乙超市的销售额多　4mx%或0.04mx　万元(用含m，x的代数式表示)。  (2)若m＝10，且6月甲超市的销售额比乙超市多0.8万元，求x的值。 解：两超市4~6月的销售额如下表： 4月 5月 6月 甲超市销售额 m m(1＋x%) m(1＋x%)·(1＋x%)＝m(1＋x%)2 乙超市销售额 m m(1－x%) m(1－x%)·(1－x%)＝m(1－x%)2 6月甲超市与乙超市的差额为m(1＋x%)2－m(1－x%)2＝4mx%(万元)。 (2)由题意，得4mx%＝4×10·x%＝0.8， 解得x＝2。 14.对于实数a，b，定义新运算“⊕”，规定如下：a⊕b＝(a＋b－1)2－2ab，如1⊕2＝(1＋2－1)2－2×1×2＝0。 (1)求3⊕5的值。 (2)若x为某一个实数，记x⊕3的值为m，1⊕(2－x)的值为n，请你判断m－n的值是否与x的取值有关?并说明理由。 解：(1)由题意，得3⊕5 ＝(3＋5－1)2－2×3×5 ＝72－30 ＝49－30 ＝19。 (2)m－n的值与x的取值无关。理由如下： 由题意，得m＝x⊕3 ＝(x＋3－1)2－2×x×3 ＝(x＋2)2－6x ＝x2＋4x＋4－6x ＝x2－2x＋4； n＝1⊕(2－x) ＝(1＋2－x－1)2－2×1×(2－x) ＝(2－x)2－(4－2x) ＝x2－4x＋4＋2x－4 ＝x2－2x， ∴m－n＝(x2－2x＋4)－(x2－2x) ＝x2－2x＋4－x2＋2x ＝4， ∴m－n的值与x的取值无关。 15.[几何直观]两个边长分别为a，b(a＞b)的正方形按如图1所示的方式放置，现取BD的中点P，连结PA，PE，把图形分割成三部分，分别标记为①，②，③，如图2，再把对应的图形面积分别记为S1，S2，S3。 (1)用含字母a，b的代数式分别表示S1，S2。 (2)若a－b＝2，ab＝15，求S1＋S2的值。 (3)若S1＋S2＝3，ab＝1，求S3的值。 第15题图 解：(1)由题意，得AB＝b，DE＝a，BP＝DP＝， ∴S1＝×(a＋b)×b ＝(ab＋b2) ＝ab＋b2， S2＝×(a＋b)×a ＝(a2＋ab) ＝a2＋ab。 (2)由(1)，得 S1＋S2＝(ab＋b2＋a2＋ab) ＝(a2＋2ab＋b2) ＝(a＋b)2 ＝[(a－b)2＋4ab]， ∴当a－b＝2，ab＝15时， S1＋S2＝(22＋4×15)＝16。 (3)由题意，得S3＝a2＋b2－(S1＋S2)。 ∵S1＋S2＝(a2＋2ab＋b2)＝3，ab＝1， ∴(a2＋b2＋2×1)＝3， ∴a2＋b2＝10， ∴S3＝10－3＝7。 学科网（北京）股份有限公司 $