3.5 教材回归专题(8) 乘法公式的变形（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

本讲义聚焦初中数学乘法公式的变形，以平方差公式和完全平方公式为核心，通过教材母题引入，系统梳理位置、符号、系数等八大变形类型及常用等式变形，搭建从基础应用到综合拓展的学习支架。 资料以“母题-思想方法-变式练习”为主线，通过具体实例培养学生抽象能力与推理意识，如平方差公式的位置变化、完全平方公式的等式变形，助力学生理解公式本质。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升运算与应用能力。

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 教材回归专题（八） 乘法公式的变形 平方差公式的变形 【教材母题1】（教材P75作业题第2题） 下列计算对吗？如果不对，请改正。 (1)(2b+a(a-2b)=4b2-a2: 解：不对。 (2b+a)(a-2b)=(a+2b)(a-2b)=d2-4b2。 (2)(-2(-1一)=-m2-n2。 解：不对。 (一n)(一m-m)=(-n十m)(-n一m=n2-2。 【思想方法】①位置变化：(b十（一b十）=-b2; ②符号变化：（一a-b)(a一b)=b2-; ③系数变化： 3a+2b20-2b=20-9 ④指数变化：(+b)(a-b)=a一b4: ⑤增项变化：(a+b-c)(a-b+c)=-(b-c): ⑥增因式变化：(a十b)(a-b)(-a-b)·(-a+b)=(-b)(ad2-b=(d2-b; ⑦连用公式变化：(a-b)(a+b)(cd2+b)(a+b=a-b: ⑧逆用公式变化：(a-b+c一d2-(a十b一c十d)=-4a(b-c十d)。 【变式】（同类变式） 1.利用乘法公式计算： (1)2x-3)2-0y+3x)(3x-): 解：原式=4x2-12y+9y2-(9x2-y2） =4e2-12y+9y2-9x2+y2 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =-5x2-12y+10y2。 (2)(a-2b+3)(a+2b-3)。 解：原式=[a-(2b一3)][a+(2b一3)] =2-(2b-3)2 =a2-4b2+12b-9。 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 二完全平方公式的变形 【教材母题2】（教材P81作业题第7题） 已知x十y=3,xy=1,你能求出x2+y2的值吗？(x一y)呢？ 解：'x+y=3,.(x+y)}2=32,.x2+2y十y2=9。 又，y=1,.x2+y2=9一2y=9-2X1=7, .x一y)2=x2-2y+y2=7-2×1=5。 【思想方法】将完全平方公式适当变形，可以得到以下一些常用等式： ①(a+b)2=(a-b)2+4cb: ②(a-b)2=(a+b)2-4ab: ③(a+b)2+(a-b)2=2(a+b): ④(a+b)2-(a-b)2=4ab: ⑤2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab: ⑥b= jaybb-ja-b. 2 2: a+b2+c2+ab+bc+ac=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]; 1 a+b2+c2-ab-bc-ac-j[(a-b)+(b-c)+(c-a)]. 【变式】（同类变式） 2.已知a+b=2,b=一3，则a-b的值为(D) A.16 B.4 C.±3 D.±4 【解析】，a十b=2,ab=一3， '.(a-b)2=(a十b)2-4ab=4+12=16, '.a-b=±4。 3.已知(a十b)2=5,(a一b)2=3,求下列式子的值。 (1)㎡2+b2。 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)6ab。 解：(1).(a+b)2=5,(a-b)2=3, ∴.a2+2ab+b2=5,a2-2ab+b=3, .2(2+b3=8,∴.a2+b2=4。 (2).a2+b2=4,.4+2ab=(a+b)2=5, 解得ah=2,.6ab=3。 拓展性任务 1.下列计算中，正确的是(D) A.(3a+2)3b-2)=9ab-4 B.(3x-1)3x-1)=9x2-1 C.(3a+2)3a-2)=3a2-4 D.3-2(-3-2a)=4am2-9 【解析】(3a+2)3b-2)=9ab-6a+6b-4,A错误。 (3x一1)(3x一1)=9x2-6+1,B错误。 (3a十2)(3a-2)=9a一4，C错误。D正确。故选D。 2.已知a+b=一5，cb=-4,则㎡-ab+b的值为(D) A.21 B.29 C.33 D.37 【解析】a十b=-5, ∴.(a+b)2=d2+b2+2ab=25, 将ab=-4代入，得2+2=33， 则2-ab+b2=33一(-4)=37。 3.计算：(a-b)(a+b)(a2+b(a-b分=3-2ab4+b8。 【解析】(a一b)(a+b)(a2+b(ad-b) =(a2-b2(a2+b(a-b 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =(a-B(a-B =(ad-b42 =a8-2ab4+b。 4.计算 (1)3-4)(-4k-3): 解：原式=(-4)2-32=16一9。 (2)3x+2y-1)3x-2y+1): 解：原式=[3x+(2y-1)][3x一(2y-1)] =(3.x)2-(2y-1)2 =9x2-(4y2-4y+1) =9x2-4y2+4y-1。 (3)2a-b+c)2; 解：原式=[(2a-b)十c]2 =(2a-b)2+22a-b)·c+c2 =4a2-4ab+b2+4ac-2bc+c2 =4a2+62+c2-4ab+4ac-2bco (4)x2+y2(x2-y月2： 解：原式=[(2+ye2-y)]2 =(4-y =x8-2xy4+y。 (5)(5x+2y)5x-2)-(3x+2y)(3x-2y): 解：原式=25x2-42-(9x2-4y） =25x2-4y2-9x2+4y 独家授权侵权必究。 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =162。 5.(1)计算：(a-b)2+(b-c)2+(c-0: (2)已知a一b=10,b-c=5,利用(1)的结论，求a+b2+c2-ab-bc-ac的值。 解：(1)原式=a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+2+c2-2ac=22+2b2+2c2-2ab一 2bc-2aco (2).'a-b=10,b-c=5,.c-a=-15, .a+b2+c2-ab-bc-ac -2a-r+6-gr+c-a时] 1 =2×(100+25+225)=175。 6.阅读理解：若x满足(9一x)x一4)=4，求(9一x)十(x一4)2的值。 解：设9一x=4,x一4=b,则(9一x)x一4)=ab=4,a十b=(9一x)十(x-4)=5, .(9-x)2+x-42=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17. 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若x满足(x-10)x一20)=15，求x一10)+(x一20)2的值。 (2)若x满足(x-2025)2+(x-2026)2=33,求(x-2025)x-2026)的值。 (3)如图，已知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD,DC上的点，且AE =1,CF=3,长方形EMFD的面积是48，分别以MF,DF为边长作正方形 MFRN和正方形GFDH,求阴影部分的面积。 R E A M 第6题图 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解：1)设a=x-10,b=x-20,则a-b=x-10一x+20=10,ab=(x一10)·x -20)=15, ∴.(x-10)2+(x-20)2=a2+b =(a-b)2+2ab =100+30 =130。 (2)设11=x-2025,n=x-2026,则-n=x-2025-x+2026=1,m2+ n2=(x-2025)2+(x-2026)2=33, ∴.(x-2025)x-2026=um =2[m2+2-(m-)]=233-1)=16。 (3)由题意得，正方形GFDH的边长为x一3，正方形MFRN的边长为x一1，由 于长方形EMFD的面积是48，即（一3）c-1)=48, 设p=x-1,q=x一3，则p一q=x1一x+3=2,pq=(c一1)x一3)=48 .(p+q02=(-02+4pq =4+4×48 =196, 即p十q=14, .阴影部分的面积为一1)2-(c一3)2=p2-4 =(p+q0p一40 =14×2 =28。 ·独家授权侵权必究·