3.4 第2课时 完全平方公式（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

本讲义聚焦完全平方公式核心知识点，通过公式识别（如区分与平方差公式）、结构分析（补全公式项）、几何验证（割补法面积）等学习支架，衔接前期平方差公式内容，从基础应用延伸至拓展（如杨辉三角），构建完整知识脉络。 资料亮点在于融合数学眼光与推理能力，第5题用割补法图形验证公式培养几何直观，第14题通过图形面积关系建立模型意识。分层练习助力课中教学，综合题（体积计算、杨辉三角）帮助课后查漏补缺，提升应用能力。

第2课时　完全平方公式 1.下列各式中，能用完全平方公式计算的是(　B　) A.(3a－2b)(－2b－3a) B.(3a＋2b)(－3a－2b) C.(3a＋2b)(－2a－3b) D.(3a－2b)(3a＋2b) 2.利用乘法公式计算正确的是(　B　) A.(2x－3)2＝4x2＋12x－9 B.(4x＋1)2＝16x2＋8x＋1 C.(a＋b)(a＋b)＝a2＋b2 D.(2m＋3)(2m－3)＝4m2－3 3.小萌在利用完全平方公式计算一个多项式的平方时，得到正确结果4x2＋20xy＋，但不小心把最后一项污染了，你认为它是(　D　) A.y2 B.5y2 C.10y2 D.25y2 4.设(a＋2b)2＝(a－2b)2＋A，则A＝(　A　) A.8ab B.－8ab C.8b2 D.4ab 【解析】 ∵(a＋2b)2＝(a－2b)2＋A，∴a2＋4ab＋4b2＝a2－4ab＋4b2＋A，∴4ab＝－4ab＋A， ∴A＝8ab。 5.如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是(　A　) 第5题图 A.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C.(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D.(ab)2＝a2b2 6.若(y＋a)2＝y2－6y＋b，则a，b的值为(　D　) A.a＝3，b＝9 B.a＝－3，b＝－9 C.a＝3，b＝－9 D.a＝－3，b＝9 7.计算： (1)(3x＋1)2； 解：原式＝9x2＋6x＋1。 (2)(2x－3y)2； 解：原式＝4x2－12xy＋9y2。 (3)(－4－a)2； 解：原式＝16＋8a＋a2。 (4)－x2＋(2x＋3)2。 解：原式＝－x2＋4x2＋12x＋9＝3x2＋12x＋9。 8.运用完全平方公式计算： (1)2012； 解：原式＝(200＋1)2 ＝2002＋2×200×1＋12 ＝40 000＋400＋1 ＝40 401。 (2)99.82。 解：原式＝(100－0.2)2 ＝1002－2×100×0.2＋0.22 ＝10 000－40＋0.04 ＝9 960.04。 9.先化简，再求值：(x＋y)2＋x(x－2y)，其中x＝1，y＝－2。 解：原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－2xy ＝2x2＋y2。 当x＝1，y＝－2时， 原式＝2×12＋(－2)2＝6。 10.下面是某同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务。 计算：(3x＋1)(3x－1)－(2x－1)2。 解：原式＝9x2－1－(4x2－2x＋1)……第一步 ＝9x2－1－4x2＋2x－1……第二步 ＝5x2＋2x－2。……第三步 (1)以上解题过程中，第一步需要依据　平方差　公式和　完全平方　公式进行运算，第　一　步开始出现错误。  (2)请你写出正确的解答过程。 解：原式＝9x2－1－(4x2－4x＋1) ＝9x2－1－4x2＋4x－1 ＝5x2＋4x－2。 11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项式(a＋b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”。 第11题图 根据“杨辉三角”计算(a＋b)8的展开式中从左起第四项的系数为(　B　) A.84 B.56 C.35 D.28 【解析】 按照规律，继续往下写，写到(a＋b)8，如答图。 (a＋b)0………………………　1 (a＋b)1……………………　1 　1 (a＋b)2…………………　1　 2　 1 (a＋b)3………………　1　 3　 3　 1 (a＋b)4……………　1　4　 6　 4 　1 (a＋b)5…………　1　5　10　10 　5 　1 (a＋b)6………　1　6　15　20　15　 6 　1 (a＋b)7……　1　7　21　35　35　21　 7 　1 (a＋b)8…　1　8　28　56　70　56　28 　8　1 第11题答图 由答图可知，(a＋b)8的展开式中从左起第四项的系数为56。 12.一个底面是正方形的长方体，高为6 cm，底面正方形边长为5 cm。如果它的高不变，底面正方形边长增加了a(cm)，那么它的体积增加了多少? 解：6(5＋a)2－6×52 ＝6(25＋10a＋a2)－6×25 ＝6×25＋60a＋6a2－6×25 ＝(60a＋6a2)cm3。 答：它的体积增加了(60a＋6a2)cm3。 13.(1)已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求xy和x2＋y2的值。 (2)若a2＋b2＝15，(a－b)2＝3，求ab和(a＋b)2的值。 解：(1)∵(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9， ∴x2＋2xy＋y2＝25，① x2－2xy＋y2＝9，② ∴①＋②，得2(x2＋y2)＝34， ∴x2＋y2＝17，∴17＋2xy＝25， ∴xy＝4。 (2)∵(a－b)2＝3， ∴a2－2ab＋b2＝3。 又∵a2＋b2＝15，∴15－2ab＝3， ∴－2ab＝－12，∴ab＝6。 又∵a2＋b2＝15， ∴a2＋2ab＋b2＝15＋12， 即(a＋b)2＝27。 14.[推理能力]如图1，长方形ABCD的边长分别为a，b，请观察图形，解答下列问题： (1)若用四个完全相同的长方形ABCD拼成如图2所示的正方形，请写出代数式(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关系： 　(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab　。  (2)根据(1)中的等量关系解决问题：若x＋y＝7，xy＝6，求x－y的值。 (3)若以长方形ABCD的各边为一边向外作正方形(如图3)，且四个正方形的周长之和为32，四个正方形的面积之和为20，求长方形ABCD的面积。 第14题图 解：(2)∵x＋y＝7，xy＝6， ∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝49－24＝25， ∴x－y＝±5。 (3)由四个正方形的周长之和为32，四个正方形的面积之和为20，得 4a×2＋4b×2＝32，2a2＋2b2＝20， 即a＋b＝4，a2＋b2＝10。 由(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，得 ab＝＝3， 即长方形ABCD的面积为3。 学科网（北京）股份有限公司 $