第08讲 乘法公式与整式的化简（知识详解+7典例分析+习题巩固）2025-2026学年（浙教版）七年级数学下册同步讲义与测试

第08讲 乘法公式与整式的化简（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】平方差公式 1.平方差公式的推导： （1）用多项式乘法推导平方差公式 （提示：本节公式中的字母<m>a</m>,<m>b</m>可以是单项式，也可以是多项式） （2） 借助几何图形推导平方差公式图（1）中大长方形的面积为(a−b)(a+b) ； 将图（1）中阴影部分的小长方形变换到图（2）中的位置，图（2）的面积为a²−b² 。 由面积相等，得(a−b)(a+b)=a²−b²。 2.平方差公式： 平方差公式 (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎²−𝑏² 。两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。 特征 （1）等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。 示例1 利用平方差公式计算 教材延伸 平方差公式的变化及应用 变化形式 应用举例 （1）位置变化 (𝑏+𝑎)(−𝑏+𝑎)=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎²−𝑏²。 （2）符号变化 (−𝑎−𝑏)(𝑎−𝑏)=(−𝑏−𝑎)(−𝑏+𝑎)=(−𝑏)²−𝑎²=𝑏²−𝑎²。 （3）系数变化 (3𝑎+2𝑏)(3𝑎−2𝑏)=(3𝑎)²−(2𝑏)²=9𝑎²−4𝑏² 。 （4）指数变化 (𝑎³+𝑏²)(𝑎³−𝑏²)=(𝑎3)²−(𝑏²)²=− 。 （5）项数变化 (𝑎−𝑏+𝑐)(𝑎−𝑏−𝑐)=(𝑎−𝑏)²−𝑐² 。 （6）连用公式 (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)(𝑎²+𝑏²)=(𝑎²−𝑏²)(𝑎²+𝑏²)=− 。 【知识点02】完全平方公式 1.完全平方公式的推导： （1）用多项式乘法推导完全平方公式(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²。 (a−b)²=(a−b)(a−b)=a²−ab−ab+b²=a²−2ab+b²。 （3） 借助几何图形推导完全平方公式 图形 阴影面积 (𝑎+𝑏)² 或𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²  (𝑎−𝑏)²或𝑎²−2(𝑎−𝑏)𝑏−𝑏²=𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²  等量关系 各图中阴影部分的面积相等 结论 (𝑎+𝑏)²=𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²  (𝑎−𝑏)²=𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²  用图形解释完全平方公式的方法还有很多，割拼方式如下 (a+b)²=a²+2×(a+a+b)b=a²+2ab+b² (a−b)²=a²−2ab+b² 2.完全平方公式： 完全平方公式 两数和 (𝑎+𝑏)²=𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏² 。 两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差 (𝑎−𝑏)²=𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。 特征 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，两者仅有一个“符号”不同; （2）两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同。 示例 利用完全平方公式计算 【知识点03】整式的化简 与数的运算规则相同，整式的化简也遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序。能运用乘法公式的则运用公式，以简化运算过程。 整式化简的一般步骤： （1）观察所要化简的整式，明确所含的运算，确定运算顺序； （2）选择运算法则或公式； （3）按选定的运算法则或公式，依照运算顺序进行计算； （4）结果中有同类项的一定要合并，使结果最简。 【知识点04】应用整式解决实际问题 应用整式解决实际问题的一般步骤： （1）理解题意，根据题中的数量关系列代数式； （2）化简代数式； （3）代入字母的值求代数式的值。 【题型一】运用平方差公式进行运算 例1．（23-24七年级下·浙江金华·期中）一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积是（　　） A．4 B．4 C．2 D． 例2．（2023·浙江湖州·中考真题）计算：_____． 例3．（2025七年级下·浙江·专题练习）利用分解因式简便运算：． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，则的值为______． 变式3．（24-25七年级下·浙江温州·期末）在一些日历牌上，我们可以发现日期数满足某些规律．如图是2025年6月的日历牌．若任意选择纵向的连续三个日期数，计算第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方，发现：；． (1)根据题目所给规律，再选择一个试一试，看看结果是否都相同． (2)请用代数式运算的知识说明理由． 【题型二】平方差公式与几何图形 例4．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作： （1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段把纸片剪开． （2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（   ） A． B． C． D． 例5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知正方形和，点，，三点共线，，，则与的面积差是______． 例6．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）若图1正方形框中阴影部分（由边长为a和b的正方形围成）的面积与图2平行四边形的面积相等，求平行四边形的高h（结果用含，b的代数式表示）． 变式1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2024七年级下·浙江·专题练习）根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是__． 变式3．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 　　． A．     B． C．     D． (2)应用这个公式完成下列各题． ①已知，，求的值； ②计算：． 【题型三】运用完全平方公式进行运算 例7．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）计算等于（   ） A． B． C． D． 例8．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若，，则的值为_______． 变式1．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式：，，，其中满足条件的共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值为_________． 变式3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）观察下列算式： ①；②；③；④_______； (1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来： (3)你认为第（2）小题中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 【题型四】完全平方公式在几何图形中的应用 例9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，正方形与正方形的面积和为，点在线段上，点在线段上，延长交于点．若，则长方形的面积为（    ）    A．21 B．24 C．34 D．42 例10．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）有两张正方形纸片，其中．若将这两个正方形纸片按图（1）所示的方式放置（点B和点F重合），产生了一个新的、周长为8的正方形．若将这两个正方形纸片按图（2）所示并排放置，其中，点B和点E重合，点A，B，F在同一条直线上，点P是线段的中点．连接，若三角形的面积是3．则图（2）中阴影部分的面积是________． 例11．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)图2中阴影正方形的边长　　（用，的代数式表示）． (2)观察图2，直接写出代数式，，之间的等量关系． (3)利用（2）中的结论，解决如下问题：若，，求的值． 变式1．（24-25七年级下·浙江·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，点M是的中点，点P在上，分别以，为边作正方形和正方形，连接，，，．设，，则阴影部分面积为（用含有的a，b的代数式表示）________． 变式3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两个边长分别为和的正方形按如图所示的方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为，若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），则两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为． (1)若，，求的值． (2)当时，求图③中阴影部分的面积的值． 【题型五】求完全平方式中的字母系数 例12．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若多项式是完全平方式，则的值为（   ） A．5或1 B． C．5 D．2 例13．（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）若是完全平方式，则的值为______． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若多项式是关于x的完全平方公式的展开式，则k的值为（　　） A． B．或8 C． D．4或 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知多项式是一个完全平方式，则实数m的值是_______． 【题型六】整式的混合运算 例14．（24-25七年级下·浙江台州·期中）如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则与满足的关系为（　　） A． B． C． D． 例15．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知存在99个连续正整数，它们的和等于4个质数（可以相同）的乘积，则这4个质数的和的最小值为_____． 例16．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）化简求值：，其中，． 变式1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，一个长方形被分成4部分，其中②号是正方形，③号与④号组成的图形是正方形，若①号与③号图形的周长已知，则下列条件中不能求出大长方形面积的是（    ） A．①与②的周长之和 B．②与③的面积之和 C．④与②的周长之差 D．④与③的面积之差 变式2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）边长分别为a，b的甲、乙两个正方形按如图所示的两种方式放置．记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．若，则的值是______． 变式3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先化简，再求值． (1)，其中，； (2)，其中x是从，0，1，2中选取一个合适的数． 【题型七】通过对完全平方公式变形求值 例17．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，，则（ ） A． B． C． D． 例18．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）若满足，则____． 例19．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知，，分别求和的值． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）设，，，，且，①当时，．②当时，．则下列正确的是（   ） A．①正确②错误 B．①正确②正确 C．①错误②正确 D．①错误②错误 变式2．（23-24七年级下·浙江衢州·期中）如图所示，大长方形中放入5张相同的小长方形，其中A、B、C在同一条直线上，若阴影部分的面积为48，大长方形的周长为36，则一张小长方形的面积为_________． 变式3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）基础体验：（1）若实数满足，求的值． 进阶实践：（2）若实数满足，求的值． 对于（2），甲和乙两位同学给出了以下看法，甲同学：已知条件中有一个方程，一个未知数，可以求出x的值，但是这个方程不是一元一次方程，有些困难．乙同学：本题中的x与隐含了一个数量关系，通过设元的方法可以将其转化为第（1）题的形式求解．请你参考甲、乙两位同学的看法，解答第（2）小题． 一、单选题 1．若是完全平方式，则的值是（    ） A． B． C．6 D． 2．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 3．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在边长为的正方形上剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（   ）    A． B． C． D． 5．设代数式的值为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，，则的值为（　　） A．14 B．7 C．6 D．3 7．设，，则等于（    ） A． B． C． D．3 8．若，则（   ） A． B． C． D． 9．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如果式子是一个整式的完全平方，则k的值为______． 11．若，且，则___________． 12．装裱是装饰书画类、碑帖等的一门特殊技艺．古代装裱等名称叫做“裱背和裱面”，亦称“装潢”，又称“装池”．如图，整个画框的长和宽均是，中间部分是长方形的画心，长为，宽为 ，则画心外阴影部分面积是________________． 13．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B对角放置后构造新的正方形如图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和70，则正方形A，B的面积之和为________ 14．已知，，，则的值为________． 15．如图，在长方形中，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为_____．(用含的代数式表示) 16．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，则＋＝ _______；当＋＝40时，则图3中阴影部分的面积_________． 17．研究发现，我们从某个正整数开始，取四个连续的整数，然后将这四个整数的乘积加上1，结果可以表示为一个自然数的平方．例如将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是________；设，其中a为正整数，那么这个自然数________（用含a的代数式表示）． 三、解答题 18．证明：． 19．先化简，再求值： ，其中 ． 20．设 ，则M的最小值为多少 21．龙港市体育中心以"千帆竞渡"为造型，集多功能场馆集群与滨海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是浙南首个可承办国际赛事的滨水体育地标．体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体育场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成．田径体育场建在边长a的正方形中，室外活动场所建在边长b的正方形中，阴影部分建室内配套场所． (1)求室内配套场所（阴影部分）的面积；（用含a，b的代数式表示，并化简） (2)若米，米，那么室内配套场所面积为多少平方米？ 22．【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数． (1)【验证】______； (2)【证明】设两个正整数为m、n，请验证“发现”中的结论正确； (3)【拓展】请说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差． 23．如图是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．把图剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式：．    (1)请你通过对图的剪拼，画出三种不同拼法的示意图．要求： ①拼成的图形是四边形； ②在图上画剪切线（用虚线表示）； ③在拼出的图形上标出已知的边长． (2)感受平方差公式的无字证明，并用公式巧算下题： ①； ②． 24．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到 (1)写出由图2所表示的数学等式：________________________． (2)根据上面的等式，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若，求的值． (3)已知实数、、，满足以下两个条件：且，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 乘法公式与整式的化简（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】平方差公式 1.平方差公式的推导： （1）用多项式乘法推导平方差公式 （提示：本节公式中的字母<m>a</m>,<m>b</m>可以是单项式，也可以是多项式） （2） 借助几何图形推导平方差公式图（1）中大长方形的面积为(a−b)(a+b) ； 将图（1）中阴影部分的小长方形变换到图（2）中的位置，图（2）的面积为a²−b² 。 由面积相等，得(a−b)(a+b)=a²−b²。 2.平方差公式： 平方差公式 (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎²−𝑏² 。两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。 特征 （1）等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。 示例1 利用平方差公式计算 教材延伸 平方差公式的变化及应用 变化形式 应用举例 （1）位置变化 (𝑏+𝑎)(−𝑏+𝑎)=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎²−𝑏²。 （2）符号变化 (−𝑎−𝑏)(𝑎−𝑏)=(−𝑏−𝑎)(−𝑏+𝑎)=(−𝑏)²−𝑎²=𝑏²−𝑎²。 （3）系数变化 (3𝑎+2𝑏)(3𝑎−2𝑏)=(3𝑎)²−(2𝑏)²=9𝑎²−4𝑏² 。 （4）指数变化 (𝑎³+𝑏²)(𝑎³−𝑏²)=(𝑎3)²−(𝑏²)²=− 。 （5）项数变化 (𝑎−𝑏+𝑐)(𝑎−𝑏−𝑐)=(𝑎−𝑏)²−𝑐² 。 （6）连用公式 (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)(𝑎²+𝑏²)=(𝑎²−𝑏²)(𝑎²+𝑏²)=− 。 【知识点02】完全平方公式 1.完全平方公式的推导： （1）用多项式乘法推导完全平方公式(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²。 (a−b)²=(a−b)(a−b)=a²−ab−ab+b²=a²−2ab+b²。 （3） 借助几何图形推导完全平方公式 图形 阴影面积 (𝑎+𝑏)² 或𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²  (𝑎−𝑏)²或𝑎²−2(𝑎−𝑏)𝑏−𝑏²=𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²  等量关系 各图中阴影部分的面积相等 结论 (𝑎+𝑏)²=𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²  (𝑎−𝑏)²=𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²  用图形解释完全平方公式的方法还有很多，割拼方式如下 (a+b)²=a²+2×(a+a+b)b=a²+2ab+b² (a−b)²=a²−2ab+b² 2.完全平方公式： 完全平方公式 两数和 (𝑎+𝑏)²=𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏² 。 两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差 (𝑎−𝑏)²=𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。 特征 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，两者仅有一个“符号”不同; （2）两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同。 示例 利用完全平方公式计算 【知识点03】整式的化简 与数的运算规则相同，整式的化简也遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序。能运用乘法公式的则运用公式，以简化运算过程。 整式化简的一般步骤： （1）观察所要化简的整式，明确所含的运算，确定运算顺序； （2）选择运算法则或公式； （3）按选定的运算法则或公式，依照运算顺序进行计算； （4）结果中有同类项的一定要合并，使结果最简。 【知识点04】应用整式解决实际问题 应用整式解决实际问题的一般步骤： （1）理解题意，根据题中的数量关系列代数式； （2）化简代数式； （3）代入字母的值求代数式的值。 【题型一】运用平方差公式进行运算 例1．（23-24七年级下·浙江金华·期中）一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积是（　　） A．4 B．4 C．2 D． 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由长方形的面积公式可得，． 故选：． 例2．（2023·浙江湖州·中考真题）计算：_____． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，直接利用平方差公式进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 例3．（2025七年级下·浙江·专题练习）利用分解因式简便运算：． 【答案】9940 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．，不符合平方差公式的结构特征，故本选项不符合题意； B．，不符合平方差公式的结构特征，故本选项不符合题意； C．，括号内满足形式，可用平方差公式计算，结果为，故本选项正确； D．，不符合平方差公式的结构特征，故本选项不符合题意． 故选：C． 变式2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，则的值为______． 【答案】1 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式将变形后代入已知数值，计算整理后再代入已知数值即可求得答案．本题考查平方差公式的应用，将变形为是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：1 变式3．（24-25七年级下·浙江温州·期末）在一些日历牌上，我们可以发现日期数满足某些规律．如图是2025年6月的日历牌．若任意选择纵向的连续三个日期数，计算第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方，发现：；． (1)根据题目所给规律，再选择一个试一试，看看结果是否都相同． (2)请用代数式运算的知识说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，图形类规律探索，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合任意选择纵向的连续三个日期数，计算第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方，则，即可作答． （2）设连续的三个数分别为，再根据第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴结果都相同 （2）解：依题意，设连续的三个数分别为． 则 ． 【题型二】平方差公式与几何图形 例4．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作： （1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段把纸片剪开． （2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据两个图形面积相等，即可得出结果． 【详解】解：图1的面积为：， 图2的面积为：， ∵两个图形面积相等， ∴，故A正确． 故选：A． 例5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知正方形和，点，，三点共线，，，则与的面积差是______． 【答案】32 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的应用，设正方形和的边长为、，根据即可解答． 【详解】解：设正方形和的边长为、， ∵，， ∴， 又∵， ， ∴， 故答案为32． 例6．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）若图1正方形框中阴影部分（由边长为a和b的正方形围成）的面积与图2平行四边形的面积相等，求平行四边形的高h（结果用含，b的代数式表示）． 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形准确列式．由题意得，图①中阴影部分面积为：，图②平行四边形的面积是，进而列出等式即可解决问题． 【详解】解：∵    ∴ ∴ 变式1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．解题的关键在于根据题意正确的表示面积．根据图形面积得出答案即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 变式2．（2024七年级下·浙江·专题练习）根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是__． 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】此题主要考查了平方差公式的几何背景，正确得出图形面积是解题关键． 直接利用已知图形面积进而分析得出公式． 【详解】解：由图①可得，图形面积为：， 由图②可得，图形面积为：． 故这个公式是：． 故答案为：． 变式3．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 　　． A．     B． C．     D． (2)应用这个公式完成下列各题． ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)A (2)①；② 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景以及平方差公式的计算； （1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，而图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，可表示出面积为； （2）①用平方差公式分解，将已知值代入可求解； ②原式乘以，应用平方差公式展开后合并同类项即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 由图①，图②中阴影部分的面积相等可得，， 故选：A； （2）①， ， 又， ； ② ． 【题型三】运用完全平方公式进行运算 例7．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）计算等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算、积的乘方运算 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键，直接利用完全平方公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 例8．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若，，则的值为_______． 【答案】36 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式，将两式相加后利用完全平方公式即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴两式相加得：， ∴， 故答案为：36． 变式1．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式：，，，其中满足条件的共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，根据公式的特点逐个进行判断，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知， 是完全平方式，满足条件； 不是完全平方式，不满足条件； 是完全平方式，满足条件； 是完全平方式，满足条件， 所以满足题意的条件有个． 故选：． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值为_________． 【答案】1 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进一步可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 变式3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）观察下列算式： ①；②；③；④_______； (1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来： (3)你认为第（2）小题中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)一定成立．理由见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算、数字类规律探索 【分析】此题主要考查了规律型：数字的变化类，观察出算式中的数字与算式的序号之间的关系是解题的关键． （1）按照前3个算式的规律写出即可； （2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可； （3）先利用单项式乘多项式的法则与完全平方公式分别计算第n个式子左边的第一项与第二项，再去括号、合并同类项，所得结果与-1比较即可． 【详解】（1）∵①， ②， ③， ∴第4个算式为：④； 故答案为：； （2）第n个式子是：； （3）第（2）小题中所写出的式子一定成立．理由如下： ∵左边， 右边， ∴左边=右边， ∴． 【题型四】完全平方公式在几何图形中的应用 例9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，正方形与正方形的面积和为，点在线段上，点在线段上，延长交于点．若，则长方形的面积为（    ）    A．21 B．24 C．34 D．42 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式及运用，解题关键是运用整体思维求解，虽然不能将两个正方形的边长分别求出来，但可以利用它们之间的和与平方和的关系，根据，巧妙变形从而得到整体的值，而这个整体就是要求的长方形的面积，问题得解． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则． ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴长方形的面积为 故选A ． 例10．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）有两张正方形纸片，其中．若将这两个正方形纸片按图（1）所示的方式放置（点B和点F重合），产生了一个新的、周长为8的正方形．若将这两个正方形纸片按图（2）所示并排放置，其中，点B和点E重合，点A，B，F在同一条直线上，点P是线段的中点．连接，若三角形的面积是3．则图（2）中阴影部分的面积是________． 【答案】7 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，设，根据正方形的周长为8，可推出，根据三角形的面积是3，推出，再由线段中点的定义得到，根据列式求解即可． 【详解】解；设， ∵正方形的周长为8， ∴， ∴； ∵三角形的面积是3， ∴，即， ∵点P是线段的中点， ∴， ∴ ， 故答案为：7． 例11．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)图2中阴影正方形的边长　　（用，的代数式表示）． (2)观察图2，直接写出代数式，，之间的等量关系． (3)利用（2）中的结论，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用. （1）根据图形作答即可； （2）用两种方法表示出阴影部分面积，即可找出等量关系； （3）根据（2）中结论计算即可. 【详解】（1）解：图2中阴影正方形的边长； 故答案为：； （2）解：方法1：阴影部分面积为， 方法2：阴影部分面积为， ； （3）解：根据（2）中结论可得， ． 变式1．（24-25七年级下·浙江·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用完全平方公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，不符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选D． 变式2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，点M是的中点，点P在上，分别以，为边作正方形和正方形，连接，，，．设，，则阴影部分面积为（用含有的a，b的代数式表示）________． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查列代数式，掌握完全平方公式公式是解题的关键．分别求出两个正方形的边长，利用正方形的性质和三角形面积公式，根据计算即可． 【详解】解：∵，点M是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两个边长分别为和的正方形按如图所示的方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为，若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），则两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为． (1)若，，求的值． (2)当时，求图③中阴影部分的面积的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）分别表示出，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可； （2）分割法求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：由图可知，， 所以， 因为 所以； （2）由图可知 因为， 所以． 【题型五】求完全平方式中的字母系数 例12．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若多项式是完全平方式，则的值为（   ） A．5或1 B． C．5 D．2 【答案】A 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方式的结构，中间项为平方项两数乘积的2倍或倍，从而建立方程求解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：多项式是完全平方式，可表示为， 比较中间项系数得：，即， 解得：或， 因此，的值为5或1， 故选：A． 例13．（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）若是完全平方式，则的值为______． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据一次项系数和平方项系数的关系解答即可，熟练掌握完全平方式的结构特点是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若多项式是关于x的完全平方公式的展开式，则k的值为（　　） A． B．或8 C． D．4或 【答案】B 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的结构，将多项式与标准形式对比，确定中间项的系数关系，进而求解参数k的值． 【详解】解：∵多项式是完全平方公式的展开式． ∴， ∴时，解得． 时，解得． 则k的值为或8， 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知多项式是一个完全平方式，则实数m的值是_______． 【答案】7或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是明确完全平方公式的形式． 根据完全平方公式的形式，确定出一次项系数与常数项的关系，进而求出的值． 【详解】∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即， 解得：或， 故答案为：7或． 【题型六】整式的混合运算 例14．（24-25七年级下·浙江台州·期中）如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则与满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含，，的代数式表示出、和、是解题关键． 用含，，的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得、，代入进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：长方形的长为，宽为， 则，， ， ， ，， ， ，解得：， 与满足的关系为． 故选：D． 例15．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知存在99个连续正整数，它们的和等于4个质数（可以相同）的乘积，则这4个质数的和的最小值为_____． 【答案】70 【知识点】整式的混合运算、质数与合数 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键在于计算得到99个连续正整数的和． 设这99个连续正整数的第一个数为n，结合自然数求和公式推出这99个连续正整数的和为，再结合它们的和等于4个质数（可以相同）的乘积，推出为质数，最后根据这4个质数的和的最小值讨论求解，即可解题． 【详解】解：设这99个连续正整数的第一个数为n， 则99个连续正整数的和为： ， 又它们的和等于4个质数（可以相同）的乘积， 则为质数， n为正整数， 当时，，不是质数； 当时，，不是质数； 当时，，不是质数； 当时，，是质数； 即最小为， 则这4个质数的和的最小值为， 故答案为：． 例16．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）化简求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，先利用多项式除以单项式的法则，平方差公式进行计算，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可．掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 变式1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，一个长方形被分成4部分，其中②号是正方形，③号与④号组成的图形是正方形，若①号与③号图形的周长已知，则下列条件中不能求出大长方形面积的是（    ） A．①与②的周长之和 B．②与③的面积之和 C．④与②的周长之差 D．④与③的面积之差 【答案】D 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式运算的应用，设①的长为，宽为，周长和为；③的长为，宽为，周长和为；其中、为已知的常数，由已知条件可求，，各选项进行逐一判断，即可求解；能用整式表示出面积及周长是解题的关键． 【详解】解：设①的长为，宽为，周长和为；③的宽为，长为，周长和为；其中、为已知的常数， ， ， ②号是正方形，③号与④号组成的图形是正方形， ， ， A.设①与②的周长之和为（为已知的常数），则有， 整理得：，， 解得，， 大长方形面积为是常数， 大长方形面积能求出，故不符合题意； B.设②与③的面积之和为（为已知的常数）， 则有， ， 大长方形面积为是常数， 大长方形面积能求出，故不符合题意； C.设④与②的周长之差为（为已知的常数）， ， ， 解得：， 大长方形面积为是常数， 大长方形面积能求出，故不符合题意； D.设④与③的面积之差为（为已知的常数）， ， ， 无法求出， 大长方形面积为无法求出，故符合题意； 故选：D． 变式2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）边长分别为a，b的甲、乙两个正方形按如图所示的两种方式放置．记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．若，则的值是______． 【答案】－2 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．根据题意可得，，从而得出，求得． 【详解】解：，，， ， ， 故答案为：. 变式3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先化简，再求值． (1)，其中，； (2)，其中x是从，0，1，2中选取一个合适的数． 【答案】(1)，3； (2)，时为2． 【知识点】整式的混合运算、分式化简求值 【分析】（1）根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将，代入计算即可得解； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】（1）解：原式 ， 当，时； 原式； （2）解：原式 ， 由分式有意义的条件得，，， ∴，， 取得，原式． 【点睛】本题主要考查整式和分式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练掌握整式、分式的混合运算顺序和运算法则． 【题型七】通过对完全平方公式变形求值 例17．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，已知和，要求的值，利用完全平方公式的变形关系，结合已知条件直接计算． 【详解】解：， 又∵，， ∴， ∴． 故选：A． 例18．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）若满足，则____． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利用完全平方公式把原式转化为，即可化简求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例19．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知，，分别求和的值． 【答案】， 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 将两边同时平方并利用完全平方公式展开，然后将已知数值代入计算即可求得的值；再计算的值后求得其平方根即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， ， ． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）设，，，，且，①当时，．②当时，．则下列正确的是（   ） A．①正确②错误 B．①正确②正确 C．①错误②正确 D．①错误②错误 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、加减消元法 【分析】本题考查整式的混合运算、完全平方公式的应用，加减消元法解二元一次方程组，掌握完全平方公式的结构特征和整式加减的法则是解题的关键；当时，即，由，进而求出，，再代入求出的值即可判断①的正误；再利用公式变形，当时，求出相应的的值即可． 【详解】解：当时，即， ， ， 因此①正确； 当时即， 又， ， ， 因此②正确； 故选：B． 变式2．（23-24七年级下·浙江衢州·期中）如图所示，大长方形中放入5张相同的小长方形，其中A、B、C在同一条直线上，若阴影部分的面积为48，大长方形的周长为36，则一张小长方形的面积为_________． 【答案】6 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式，设小长方形的长为a，宽为b，根据题意列出二元一次方程组，得到，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】设小长方形的长为a，宽为b， 根据题意得， 整理得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴一张小长方形的面积为6． 故答案为：6． 变式3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）基础体验：（1）若实数满足，求的值． 进阶实践：（2）若实数满足，求的值． 对于（2），甲和乙两位同学给出了以下看法，甲同学：已知条件中有一个方程，一个未知数，可以求出x的值，但是这个方程不是一元一次方程，有些困难．乙同学：本题中的x与隐含了一个数量关系，通过设元的方法可以将其转化为第（1）题的形式求解．请你参考甲、乙两位同学的看法，解答第（2）小题． 【答案】（1）（2） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，则，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴ ∴．     （2）设， ∴， ∵， ∴， ∴ 一、单选题 1．若是完全平方式，则的值是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．根据规律可得答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 故选A． 2．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式把所求代数式整理成，再整体代入数据计算即可． 【详解】解： ， ∵a+2b=m， ∴原式， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，先对已知进行变形，再利用整体代入法求解，体现了整体代入的数学思想． 3．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差与完全平方公式的结构特点判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 4．如图，在边长为的正方形上剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方差公式，根据正方形和梯形的面积公式得到这两个图形阴影部分的面积相等，即可得到结论，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：左侧图形阴影部分的面积为：， 右侧图形阴影部分的面积为：． 根据两个图形面积相等得： ， 故验证的等式是， 故选：D． 5．设代数式的值为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式的应用．利用完全平方公式把变形为，利用即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵代数式的值为， ∴， 故选：A 6．若，，则的值为（　　） A．14 B．7 C．6 D．3 【答案】D 【分析】利用完全平方公式即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握是解题关键． 7．设，，则等于（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据完全平方公式表示出，，即可解得． 【详解】∵ ∴，， 又∵ ∴，， ∴ 故选：A． 【点睛】此题考查了完全平方公式，解题的关键是利用完全平方公式变形． 8．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式化简根号内的算式，即可求解． 【详解】解： , , 故选:B. 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，完全平方公式与平方差公式，正确的计算是解题的关键． 9．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程可变形为，利用完全平方式将化成，从而整体代入计算即可． 【详解】解： 由方程两边同时除以得，变形为， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式化简求值，利用完全平方公式变形并采用整体思想是解题关键． 二、填空题 10．如果式子是一个整式的完全平方，则k的值为______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【详解】解：∵是一个整式的平方， ∴= ∴k＝±6， 故答案为：±6 【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构是本题的解题关键． 11．若，且，则___________． 【答案】2 【分析】根据平方差公式可得，代入即可求解． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 12．装裱是装饰书画类、碑帖等的一门特殊技艺．古代装裱等名称叫做“裱背和裱面”，亦称“装潢”，又称“装池”．如图，整个画框的长和宽均是，中间部分是长方形的画心，长为，宽为 ，则画心外阴影部分面积是________________． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法在几何图形中的面积问题，灵活根据整式乘法运算表示出各部分面积是解题关键．阴影部分的面积等于正方形的面积减去长方形的面积，列出代数式，化简求值即可． 【详解】解：依题意，画心外阴影部分面积是 故答案为：． 13．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B对角放置后构造新的正方形如图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和70，则正方形A，B的面积之和为________ 【答案】74 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，根据题意正确列出代数式、掌握完全平方公式是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意求出，再根据计算即可． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由题意得， ， ， 故答案为：74． 14．已知，，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据已知条件式推出，进而计算出，则可以得到据此求解即可． 【详解】解： 得， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，解三元一次方程组，熟知完全平方公式的变形是解题的关键． 15．如图，在长方形中，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为_____．(用含的代数式表示) 【答案】/ 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是通过设未知数表示出相关线段长度，利用完全平方公式将两个正方形的面积和转化为含的代数式．设，先根据长方形的边长性质和已知条件表示出和的长度，结合长方形的面积得到，再利用完全平方公式，将两个正方形的面积和转化为含的式子，代入计算即可得出结果． 【详解】解：设， ∵四边形是长方形，，， ∴，，． ∵长方形的面积为， ∴． ， 根据完全平方公式：， 令，，则， ∴． 故答案为：． 16．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，则＋＝ _______；当＋＝40时，则图3中阴影部分的面积_________． 【答案】 34 20 【分析】①分别用代数式表示出和，利用完全平方公式的变形化简，即可求得； ②利用两个正方形的面积减去2个三角形的面积即得,运用①中的结论，即可求得． 【详解】①， ＋＝ ＋＝ ② ＋＝=40 ， 故答案为：34；20． 【点睛】本题考查了完全平方公式，几何图形的面积，整式的乘法，熟悉完全平方公式是解题的关键． 17．研究发现，我们从某个正整数开始，取四个连续的整数，然后将这四个整数的乘积加上1，结果可以表示为一个自然数的平方．例如将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是________；设，其中a为正整数，那么这个自然数________（用含a的代数式表示）． 【答案】 5 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 根据题意，列出式子，然后对式子进行分解因式，最后根据分解因式的结果即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：5；． 三、解答题 18．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先分别求出等式左边和右边，然后再进行比较即可． 【详解】证明：∵左边， 右边， ∴左边右边． 19．先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】，1 【分析】本题考查了整式的乘除混合运算、平方差公式以及化简求值：先根据平方差公式算乘法、以及根据多项式乘多项式法则展开运算，再合并同类项，得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解： 把代入上式 得 20．设 ，则M的最小值为多少 【答案】最小值为 【分析】本题考查了配方法的应用，解题关键是把整式化成完全平方的形式． 把M化成完全平方的形式，再求出其最小值即可． 【详解】 ， 无论x、y取何值， 当，时，M有最小值， 当且仅当，时，M有最小值为， 21．龙港市体育中心以"千帆竞渡"为造型，集多功能场馆集群与滨海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是浙南首个可承办国际赛事的滨水体育地标．体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体育场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成．田径体育场建在边长a的正方形中，室外活动场所建在边长b的正方形中，阴影部分建室内配套场所． (1)求室内配套场所（阴影部分）的面积；（用含a，b的代数式表示，并化简） (2)若米，米，那么室内配套场所面积为多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)48300平方米 【分析】此题考查了完全平方公式的实际应用以及代数求值， （1）根据阴影部分面积等于总面积减去室外活动场所面积和田径体育场面积求解即可； （2）将米，米代入求解即可． 【详解】（1） 答：阴影部分面积为平方米； （2）当，时，（平方米） 答：阴影部分面积为48300平方米． 22．【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数． (1)【验证】______； (2)【证明】设两个正整数为m、n，请验证“发现”中的结论正确； (3)【拓展】请说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差． 【答案】(1)12 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据平方差公式计算出的结果为，即可得出结论； （3）由（2）结论可求出，结合题意可得出，同为偶数，即得出，都为整数，即说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差． 【详解】（1）解：． 故答案为：12； （2）解： ． 因为m、n都为正整数， 所以为4的倍数， 所以是4的倍数； （3）解：由（2）可知， 所以． 因为两个正整数m、n同为偶数或同为奇数， 所以，同为偶数， 所以，都为整数， 所以这两个数的积可以表示为两个整数的平方差． 23．如图是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．把图剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式：．    (1)请你通过对图的剪拼，画出三种不同拼法的示意图．要求： ①拼成的图形是四边形； ②在图上画剪切线（用虚线表示）； ③在拼出的图形上标出已知的边长． (2)感受平方差公式的无字证明，并用公式巧算下题： ①； ②． 【答案】(1)见解析 (2)①；②5050 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，将整式运算与几何图形结合是解题关键． （1）拼法一：将原图片剪成两部分，它们分别是边长为、和、的矩形，可以拼成一个边长为、的矩形； 拼法二：沿对角线将原图分成两个直角梯形，将它们得高重合，拼成一个等腰梯形； 拼法三：将原图沿小正方形的边剪开，分成三个矩形，将三个矩形拼成一个大矩形； （2）①将2拆成，再根据平方差公式依次计算即可； ②将相邻两个整数的平方差按公式展开，化为连续的整数和计算即可e． 【详解】（1）解：拼法一：    拼法二：    拼法三：      （2）解：① ； ② ． 24．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到 (1)写出由图2所表示的数学等式：________________________． (2)根据上面的等式，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若，求的值． (3)已知实数、、，满足以下两个条件：且，求的值． 【答案】(1) (2)；的值为1或9． (3)2或6． 【分析】（1）把大正方形面积和小矩形面积之和表示出来，根据大正方形面积也等于各个小矩形面积之和写出相应关系式； （2）根据提示可得，仿照（1）中的公式即可写出展开式，将展开为，根据题意及平方根的计算即可求解； （3）运用换元法，简化计算，有助于快速解出题目． 【详解】（1）大正方形面积＝，大正方形面积也等于各个小矩形面积之和即：， ∴． 故答案为：． （2）根据（1）中公式， 即 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴或3 ∴或9． （3）∵， ∴， 令A＝a＋1，B＝b−2，C＝c＋3，可得， ∴a＝A−1，b＝B＋2，c＝C−3， ∴a＋b−c＝A−1＋B＋2−（C−3）＝A＋B−C＋4， （a＋1）（c＋3）＋（b−2）（c＋3）＝（a＋1）（b−2）变形得， ． ∴ ， ∴A＋B−C＝−2或2， ∴a＋b−c＝A＋B−C＋4＝2或6． 【点睛】本题考查了灵活运用完全平方式，以及运算能力，转换变形是本题得关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $