1.5 教材回归专题(2) 与平行线的判定和性质有关的计算与说理（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

本讲义聚焦初中数学平行线的判定与性质，以教材母题为起点，通过“由角定线”（如互补角推导平行）和“由线定角”（如平行推导角关系）梳理核心原理，结合条件结论互换、折叠方向改变等变式练习，构建从基础到应用的学习支架。 资料以母题变式结合为特色，用“由角定线”“由线定角”思想方法培养推理意识，折叠问题情境提升几何直观，练习题补充过程和探究题助力抽象能力。课中辅助教师梳理方法，课后帮助学生巩固应用，有效查漏补缺。

教材回归专题(二)　与平行线的判定和性质有关的计算与说理 一　与平行线的判定有关的计算与说理 【教材母题1】 (教材P28目标与评定第9题) 如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，∠1与∠2互补，判断HF与AB是否垂直，并说明理由。 教材母题1图 解：HF⊥AB。理由如下： ∵∠1与∠2互补， ∴∠1＋∠2＝180°。 ∵DE⊥AC，AC⊥BC， ∴DE∥BC， ∴∠1＝∠BCD， ∴∠2＋∠BCD＝180°， ∴FH∥CD， ∴∠HFD＋∠BDC＝180°。 ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∴∠HFD＝90°， ∴HF⊥AB。 【思想方法】 平行线的判定可用“由角定线”这四个字来概括，即通过说明某些角相等(或互补)来判定两条直线平行。 【变式】 (条件与结论互换) 1.如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，HF⊥AB，∠1＝48°，试求∠2的度数。 第1题图 解：∵AC⊥BC，DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∴∠DCB＝∠1＝48°。 ∵CD⊥AB，HF⊥AB， ∴CD∥HF， ∴∠2＝180°－∠DCB＝132°。 二　与平行线的性质有关的计算与说理 【教材母题2】 (教材P29目标与评定第14题) 如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠。设∠1为x度，请用关于x的代数式表示∠α的度数。 教材母题2图 解：如答图所示标注角。 教材母题2答图 ∵AB∥CD， ∴∠5＝∠1＝x°，∠3＝∠α。 由折叠，得∠4＝∠3＝(180°－∠5)＝90°－x°， ∴∠α＝∠3＝90°－x°。 【思想方法】 平行线的性质可用“由线定角”这四个字来概括，即通过某两条直线平行来说明某些角相等(或互补)。 【变式】 (改变折叠方向，变为探究型问题) 2.如图1，将一条两边沿互相平行的纸带折叠(AM∥BN，AD∥BC)，AB为折痕，AD交BN于点E。 (1)试说明：∠MAD＝∠NBC。 (2)设∠MAD的度数为x，试用含x的代数式表示∠ABE的度数。 (3)若按图2所示的方式折叠。 ①请问(2)中的关系式是否仍然成立?并说明理由。 ②若∠ABE的度数是∠MAD度数的两倍，求∠MEC的度数。 　 第2题图 解：(1)∵AM∥BN，AD∥BC， ∴∠MAD＝∠NED，∠NED＝∠NBC， ∴∠MAD＝∠NBC。 (2)如答图1，延长MA至点F。 ∵AM∥BN， ∴∠ABE＝∠BAF，∠MAD＝∠BEA＝x。 由折叠，得∠FAB＝∠BAE， ∴∠ABE＝∠BAE。 又∵∠BEA＝x， ∴∠ABE＝。 第2题答图 (3)①(2)中的关系式仍然成立。理由如下： 如答图2，延长NB至点F。 ∵AM∥BN， ∴∠ABF＝∠BAE，∠BEA＝∠MAD＝x。 由折叠，得∠FBA＝∠ABE， ∴∠ABE＝∠BAE， ∴∠ABE＝。 ②∵∠ABE的度数是∠MAD度数的两倍， ∴∠ABE＝2x。 又∵∠ABE＝， ∴2x＝， 解得x＝36°， ∴∠MAD＝36°。 又∵AD∥BC， ∴∠MEC＝∠MAD＝36°。 1.如图，FG∥CD，∠1＝∠3，∠B＝60°，求∠BDE的度数。 第1题图 请把下面的解答过程补充完整。 解：∵FG∥CD(已知)， ∴∠1＝　∠DCB　(　两直线平行，同位角相等　)。  又∵∠1＝∠3(已知)， ∴∠3＝　∠DCB　(等量代换)，  ∴BC∥　DE　(　内错角相等，两直线平行　)，  ∴∠B＋　∠BDE　＝180°(　两直线平行，同旁内角互补　)。  又∵∠B＝60°(已知)， ∴∠BDE＝　120　°(等式的性质)。  2.如图，在四边形纸片ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°。把纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AD上的点B'处，AE是折痕，则∠AEB的度数为　65　°。  第2题图 3.如图，点D在∠BAC的平分线上，E是射线AC上一点，过点D作射线EF，若∠CAD＋∠ADF＝180°，试说明： (1)AB∥EF。 (2)2∠ADE＝∠CEF。 第3题图 解：(1)∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠DAB。 又∵∠CAD＋∠ADF＝180°， ∴∠DAB＋∠ADF＝180°， ∴AB∥EF。 (2)∵AB∥EF， ∴∠ADE＝∠DAB，∠CEF＝∠CAB。 ∵AD是∠BAC的平分线， ∴2∠DAB＝∠CAB， ∴2∠ADE＝∠CEF。 4.如图，D，E，F三点分别在AB，AC，BC上，连结DE，DF，G是线段DF上的点，连结EG，已知∠1＋∠2＝180°。 (1)判断AB与EG的位置关系，并说明理由。 (2)若DE∥BC，EG平分∠DEC，∠C＝70°，求∠B的度数。 第4题图 解：(1)AB∥EG。理由如下： ∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠ADF＝180°， ∴∠2＝∠ADF， ∴AB∥EG。 (2)∵DE∥BC，∠C＝70°， ∴∠DEC＝110°。 又∵EG平分∠DEC， ∴∠DEG＝55°。 又∵AB∥EG， ∴∠ADE＝∠DEG＝55°。 又∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE＝55°。 5.已知：AB∥CD，E，G是AB上的点，F，H是CD上的点。 (1)如图1，若∠1＝∠2，试说明：EF∥GH。 (2)如图2，过点F作FM⊥GH，交GH的延长线于点M，作∠BEF，∠DFM的平分线，二者相交于点N，EN交GH于点P，求∠N的度数。 　 第5题图 解：(1)∵AB∥CD， ∴∠2＝∠AEF。 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠AEF， ∴EF∥GH。 (2)如答图，过点N作NK∥CD， 第5题答图 则KN∥CD∥AB， ∴∠KNE＝∠BEN，∠DFN＝∠KNF。 设∠BEN＝x，∠DFN＝y。 ∵EN，FN分别平分∠BEF，∠DFM， ∴∠ENK＝∠FEN＝∠BEN＝x，∠KNF＝∠MFN＝∠DFN＝y。 又∵AB∥CD， ∴∠EFD＝180°－(∠BEN＋∠FEN)＝180°－2x。 ∵FM⊥GH，EF∥GH， ∴EF⊥FM， ∴∠EFM＝90°， ∴180°－2x＋2y＝90°， ∴x－y＝45°， ∴∠ENF＝∠ENK－∠KNF＝x－y＝45°。 学科网（北京）股份有限公司 $